《复变函数论》课程教学课件（讲稿）调和函数

调和函数的概念定义2.3若二元实变函数p(x，）在D内具有二阶连续偏导数且满足Laplace方程：aa=0OV则称(x，y）为D内的调和函数定理2.3若f(z)=u(xy）+iv(x,y）在区域D内解析则u=u(x,y)，v=v(x,y)是D内的调和函数

( x, y ) D . x y Laplace : ( x, y ) D 则称 为 内的调和函数 续偏导数且满足 方程 若二元实变函数 在 内具有二阶连  =    +     0 2 2 2 2 定义2.3 一、 调和函数的概念 定理2.3 则 ， 是 内的调和函数。 若 在区域 内解析 u u( x, y ) v v( x, y ) D f (z ) u( x, y ) iv( x, y ) D = = = +

证明：设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析，则OuOvQua由C-R方程axaxOyaya'ua21a'u从而有ax2Ov2ayaxaxayava2y因ayaxaxdya'ua'u故在D内有0，同理有ax2a

证明：设f (z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域D内解析，则 x v y u y v x u C R   = −     =   由 − 方 程 x y v y u y x v x u    = −      =   2 2 2 2 2 2 从而有 2 2 v v x y y x   =     因 D 0, 2 2 2 2 =   +   y u x u 故在 内有 0 2 2 2 2 =   +   y v x v 同理有

即u=u(x,)，v=v(x,y)是D内的调和函数。定义2.4设函数p(xy)及y(x,y)均为D内的调和函数，且满足C-R方程apyapayaxaxay'ay则称y(x)是p(x,y)的共轭调和函数定理2.4f（z）=u(xy）+iv(x,y）在D内解析←在D内v(xy）必为u=u(xy）的共轭调和函数

( , ) ( , ) . , , 2.4 ( , ) ( , ) 则称 是 的共轭调和函数 内的调和函数 且满足 方程 定义 设函数 及 均为 x y x y x y y x D C R x y x y           = −     =   − 即u = u(x, y)，v = v(x, y)是D内的调和函数。 D v( x, y ) u u( x, y ) . f (z ) u( x, y ) i v( x, y ) D 在 内 必为 的共轭调和函数 定理 在 内解析 = 2.4 = + 

二、解析函数与调和函数的关系现在研究反过来的问题：若u，v是任意选取的在区域D内的两个调和函数则u+iv在D内就不一定解析例如：v=x+y与u=x+y是两个调和函数但是f()=u(x,y)+iv(x,y）不解析

二、解析函数与调和函数的关系 . , , 一定解析 区 域 内的两个调和函数则 在 内就不 若 是任意选取的在 D u i v D u v + 现在研究反过来的问题 ： 但 是 ( ) 不解析。 例如： 与 是两个调和函数 f z u( x, y ) iv( x, y ) v x y u x y . = + = + = +

偏积分法：根据定理2.4，利用调和函数和它的共轭调和函数作出一个解析函数已知一个解析函数的实部u（x，y),利用C-R方程可求得它的虚部(x),得解析函数u+iv.同理：已知虚部(x,y),求实部u(x,y)得解析函数u+iv

( ) ( ) . , , , . ( , ), ( , ), u i v v x y u x y u i v C R v x y u x y + + − 得解析函数 同理：已知虚部 求实部 ， 函 数 方程可求得它的虚部 得解析 已知一个解析函数的实部 利 用 根据定理2.4，利用调和函数和它的 共轭调和函数作出一个解析函数 偏积分法：

曲线积分法：已知u（x，y）是单连通区域内的调和a'ua'u则函数！-0aay0即在D内有连续一阶偏导数ax且auaau由C-R条件，有ayaxaxavavdududv(x,y)dx+dydx+dyayayaxaxQuQu(x,y)dy+cv(x,y)dx二Vaxay(xo,yo)

0 2 2 2 2 =   +   y u x u , u( x, y ) D 函 数 则 已 知 是单连通区域 内的调和 即 在D内有连续一阶偏导数 x u , y u     − d y x u d x y u d y y v d x x v v( x, y ) ), x u ( x ) y u ( y   +   = −   +   = −     =   −   d 且 由C R条件，有 ( , ) ( ) ( , ) ( , ) +    +   = −  d y c x u d x y u v x y x y x y 0 0 曲线积分法：

则（*）式所确定的v(xy）使得f（z）=u+iv在D内解析avauouOv同理由dudx+dxdyaxaxayay然后两端积分得：(x,y)v',dx-vdy+c(**)u(x,y)=Xo.Vo则（**）式所确定的u（xy）,使得f（z）=u+iv在D内解析

u u v v du dx dy dx dy x y y x     = + = −     同理由 然后两端积分得: 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( ) x y y x x y u x y v dx v dy c = − +     D . ( ) v( x, y ), f ( z) u iv 在 内解析 则  式所确定的 使得 = + D . ( ) u( x, y ), f ( z ) u iv 在 内解析 则   式所确定的 使得 = +

例1验证u(x)=x3-3xy是平面上的调和函数并求以u(xy）为实部的解析函数f()使得f(o)=i解： ux(x,y)=3x2-3y2u,(x,j)=-6xyux (x,y)=6xuy(x,y)=-6x,有=0ax2Ov

例1 验证 是平面上的调和函数, 并求以 为实部的解析函数 使得 ( ) 3 2 u x, y = x − 3xy u(x, y) f (z) f (0) = i 解： ( ) 2 2 u x, y 3x 3y x = − u (x y) xy y , = −6 uxx (x, y) = 6x uyy (x, y) = −6x,有 2 0 2 2 2 + =     y u x u

故u(xy）为平面上为调和函数．得auQu)- -dy+Cdx+ayaxx,06xydx+(3x2-3y2)ly1(x,y)6xydx+(3x2-3y2)y/+C=3xy-y3+C一J(o0)f(2)=u(x,y)+iv(x,y)=x3-3xy?+i(3xy-y3+C)=z +ic要合f(o)=i，必C=1故f(）=z+i

故 u(x, y) 为平面上为调和函数. 得 ( ) ( ) ( ) d y C x u d x y u v x y x y +   +   = −  , 0,0 , ( ) ( ) xydx ( x y )d y x 2 2 ,0 0,0 = [ 6 + 3 − 3  ( ) ( ) xydx ( x y )d y ] C x , y , + + − +  2 2 0 0 6 3 3 = x y − y +C 2 3 3 f (z) = u(x, y)+ iv(x, y)= x − xy + i x y − y + C = z + iC 3 2 2 3 3 3 (3 ) 要合 f (0) = i ，必 C = 1 故 f (z) = z + i 3

例2由下列条件求解析函数z）=u+ivu=x?-y?+xyf(i)=-l+iQuOvOuav解1：2x+y-2V+xaxaxayOvavavdvdy=(2y-x)dx+(2x+y)dyaxay((s,n)'(2y-x)dx+(2x+y)dy+c(x,)=0.0-f-xdx+f'(2x+y)dy+c大+2xy++C22

u x y xy f i i f z u iv = − + = − + = + ( ) 1 ( ) 2 2 例 2 由下列条件求解析函数 d y y x d x x y d y yv d x xv d v y x yu xv x y xu yv (2 ) (2 ) 2 2 = − + +  +  = = − +  =  = + −  =  解  1 : c y x y x xdx x y d y c v x y y x d x x y d y c x y o x y = − + + + = − + + + = − + + +    2 2 2 (2 ) ( , ) (2 ) (2 ) 2 2 0 ( , ) (0,0)