《复变函数论》课程教学课件（讲稿）解析函数

复变函数导数与微分定义2.1设函数w=f(）在点z.的某邻域内有定义二0+△-是邻域内任意一点，Aw=f(zo+4z)-f(zo),如果Awf(zo + 4z)- f(zo)=A(有限值)limlim4z4z-04z4z-0则称函数f(z）在z.处可导，A称为函数f(z）在z处的导数，记为f（z），即f(zo+Az)-f(zo)f'(z)= lim=Az4z-0

一、复变函数导数与微分 是邻域内任意一点， 设函数 在点 的某邻域内有定义 z z w f z z , +  = 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 有限值 ，如果 A z f z z f z z w w f z z f z z z = + − = = + − → →         0 0 0 导数，记为 ，即 则称函数 在 处可导， 称为函数 在 处的 '( ) ( ) ( ) f z f z z A f z z z f z z f z f z z    ( ) ( ) '( ) lim 0 0 0 0 + − = → 定义2.1

由此可得W=(z）z+z（z→0)称f（zo）Az为函数f(z）在z.处的微分，也称函数）在z处可微。记作df(zo)= f'(zo)dz说明：（11=按任意方式趋于零；2)F（-）在z，可导与f(-）在z，可微等价；3）诺f（-）在z处可导，则f（）在z处连续，(4)当→0时,的极限不存在，称(=)在≥不可导Az

'( ) (| |) ( z 0) 由此可得w = f z0 z + o z  → ( ) d f (z ) f (z )d z f z z f z z f z z 0 0 0 0 0 '( ) ( ) =  在 处可微。记 作 称  为函数 在 处的微分，也称函数 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f (z) z . z w ( ) z f z z f z z ; f z z f z z ; Δz 当 时， 的极限不存在，称 在 不可导 若 在 处可导，则 在 处连续 在 可导与 在 可微等价 0 0 0 0 0 4 0 3 2    → (1) 按任意方式趋于零； 说明：

例1证明f(z)=Rez在复平面上的任何点都不可导证明对于复平面上任意一点=。ArAfRe(zo+)-Re(zo)x+4x-xAzAzAr+iAyAx+iAy当△z取实数趋于0时，Af/z→1;Af不存在limAz-0Az当z取纯虚数趋于0时，fz→0即f）在z不可导，由于z的任意性，f(）在复平面上任何点都不可导注意：f(z）在整个复平面上处处连续

例1 证 明 f (z) = Re z在复平面上的任何点都 不可导. z Re( z z ) Re( z ) z f z  +  − =   0 0 证明 对于复平面上任意一点 0 x i y x x x    + + − = x i y x  +   =       →    → z , f z ; z , f z ; 0 0 0 1 当 取纯虚数趋于 时 当 取实数趋于 时 . z f lim z 不存在     →0 ( ) ( ) . f z z z f z 任何点都不可导 即 在 0 不可导，由于 0 的任意性， 在复平面上 注意：f (z )在整个复平面上处处连续

二、解析函数的概念与求导法则1、解析函数的概念定义2.2如果f(z)在z.及z.的某邻域内处处可导则称f(z)在z.处解析.如果f(z)在z.不解析，则称为f（z）的奇点。如果f（z）在区域内处处解析，则称（z）在D内解析，我们也说z是D内解析函数如果f（z）在区域G内解析，而闭区域上每一点都属于G那么称f（z）在闭区域D上解析

二、解析函数的概念与求导法则 称 为 的奇点。 则称 在 处解析如果 在 不解析，则 如果 在 及 的某邻域内处处可导， ( ) ( ) . ( ) ( ) 0 0 0 0 0 z f z f z z f z z f z z z D f (z) D . f (z ) D f (z ) 在 内解析，我们也说 是 内解析函数 如 果 在区域 内处处解析，则称 G, f (z ) D . f (z ) G D 一点都属于 那么称 在闭区域 上解析 如 果 在区域 内解析，而闭区域上 每 定义2.2 1、解析函数的概念

注1“解析”有时也称“全纯”、“正则”注2函数解析性不是函数在一个孤立点的性质，而是函数在一个区域上的性质注3若函数在一点解析，则一定在这个点可导，反之，在一个点的可导不能得到在这个点解析但函数在区域内解析与在区域内处处可导是等价的注4#闭区域上的解析函数是指在包含这个闭区域的一个更大的区域内解析

注1 “解析”有时也称“全纯” 、 “正则” . 注2 函数解析性不是函数在一个孤立点的性质， 而是函数在一个区域上的性质. 注3 若函数在一点解析，则一定在这个点可导，反 之，在一个点的可导不能得到在这个点解析. 但函数在区域内解析与在区域内处处可导是等 价的. 注4 闭区域上的解析函数是指在包含这个闭区 域的一个更大的区域内解析

2、求导法则（1）四则运算法则如果f（z）和g(z）在区域D内解析则(z)±g(z), f(z)g(z),)只(g(z)±0)在区域D内解析，g(z并且有[r(z)± g(z)] = f(z)±g'(z)[r(z)g(2)] = f'(z)g(z)+ f(z)g'(z)'(2)g(2)- f(2)g'(2)()g(2)

（1）四则运算法则 如 果f (z)和g(z)在区域D内解析,则 ( ) ( ) 并且有 ( g(z ) )在区域D内解析， g z f z f (z ) g(z ) , f (z )g(z ) ,  0  ( ) ( )  ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) '( ) '( ) '( ) f z g z f z g z f z g z f z g z f z g z = +  =    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g (z) f z g z f z g z g z f z 2  −  =          2、求导法则

（2）复合函数求导法则设函数=f（z）在区域D内解析，函数w=g(E)在区域G内解析，又f(D)CG((D)则复合函数=g(f(z）)=h(z）在区域D内解析，并且有：h(z) =[g(f(z))I'= g'(f(z) f'(z)

（2）复合函数求导法则 在区域 内解析，又 ， 设函数 在区域 内解析，函数 w g( ) G f ( D ) G( f ( D ) ) f (z ) D =    = h'(z) = [g( f (z))]'= g'( f (z))f '(z) 并且有： 则复合函数w = g( f (z ) ) = h(z )在区域D内解析

（3）反函数求导法则设函数v=f（z）在区域D内解析且f（z）±0，又反函数z=f-(w）=P(w）存在且为连续则有：DF(2)-g(m) = F(0(w)

（3）反函数求导法则 且 ，又反函数 设函数 在区域 内解析，  0 = f'(z ) w f (z ) D '( ( )) 1 '( ) 1 '( ) ( ) f z f w w z w    = = = 则有： z = f −1 ( w ) = ( w )存在且为连续

三、函数解析的一个充分必要条件定理2.1设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内有定义，那么f(z）在点z=x+ivED可微的必要与充分条提(l)u(x,y)和v(x,y)在点(x,y)处可微(2）u(x,y）和v(x,)在点(x,y)处满足柯西-黎曼方程（简称C-R方程）：==-Ov1axaxOyOy

三、函数解析的一个充分必要条件 (1) u(x, y)和v(x, y)在点(x, y)处可微， 程（简称 方程）： 和 在点 处满足柯西 黎曼方 C R u x y v x y x y − (2) ( , ) ( , ) ( , ) - x v y u y v x u         = = − 那 么 在 点 可微的必要与充分条件是 设函数 在区域 内有定义， f z z x iy D f z u x y iv x y D = +  = + ( ) ( ) ( , ) ( , ) 定理2.1

证明（必要性）设f(z)在z=x+iy处可导，记作()=a+ib则有f(z + z)- f(z) = (a +ib)z +o(/ z D= (a +ib)(4x +iAy)+ o(/ Az D其中f（z+z-f（z）=Au+v，按实部和虚部整理得：

证明（必要性） 则 有 设f (z)在z = x + i y处可导，记作f '(z) = a + i b， ( )( ) (| |) ( ) ( ) ( ) (| |) a ib x i y o z f z z f z a ib z o z       = + + + + − = + + 和虚部整理得： 其 中f (z + z )− f (z ) = u + iv，按实部