《复变函数论》课程教学课件（PPT讲稿）第三章 复变函数的积分 3.2 柯西积分定理与原函数

$ 3.2柯西积分定理与原函数果一柯西定理及其推论1825年柯西证明了解析函数的积分与路径无关（Cauchy定理）设f(z)在单连通域E内解定理3.2析，C为E内任一简单闭曲线，则c f(z)dz = 0证明：只就f(z）“在E内连续”的条件下进行证明令 z=x+iy, f(z)=u(x,y)+iv(x,y)Φ f(z)dz = Φ_udx - vdy +id_ vdx + udy则

§3.2 柯西积分定理与原函数 一、柯西定理及其推论 1825年柯西证明了解析函数的积分与路径无关。 定理3.2 （Cauchy定理）设 f (z)在单连通域E内解 析, C为E内任一简单闭曲线，则 ( )d 0 C f z z =  证明：只就 f z ( ) “在E内连续”的条件下进行证明。 令 z x iy = + , f z u x y v x y ( ) ( , ) i ( , ), = + 则 ( )d d d i d d C C C f z z u x v y v x u y = − + +   

由 f'(z)在E内连续有u(x,y)v(x,y)的偏导数在E果内连续，并适合C一R条件：OuOvOv OuOxay'ayax所以由格林公式得f.udx - vdy = 0_ vdx + udy = 0即P_ f(z)dz = 0

由 f z ( ) 在E内连续有 u x y v x y ( , ) ( , ) 、 的偏导数在E 内连续，并适合C－R条件： , u v u v x y y x     = = −     所以由格林公式得 d d 0 d d 0 C C u x v y v x u y − = + =   即 ( )d 0 C f z z = 

果定理3.3如果函数f(2)在单连通域E内解析;（。f(z)dz只与起点与终点有关，而与那么C的路径无关

定理3.3 如果函数 f (z)在单连通域E内解析， 那么 c f z z ( )d  只与起点与终点有关，而与 C的路径无关

例 I设C是正向圆周z=1,则以下积分都等于0。果(1)Φ_ze'dz(2)dz-21(3) dz9cz2 +2z +4

例1 设C是正向圆周 z =1, 则以下积分都等于0。 (1) e dz C z z  (2) 1 d C 2 z z −  (3) 2 1 d C 2 4 z z z + + 

二、原函数与不定积分果若在E内固定点zo，而让终点z在E内变化，C为(f(2)dz 就定义了连接z与z的任意曲线，则，记为：一个单值函数，F(z)= (cf(z)dz= ( f(S)dg设f(2)在单连通域E内解析，点 z。EE,定理3.4则F(2)= f(5)d 在E内解析，且F(z) = f(z)

二、原函数与不定积分 若在E内固定点 0 z , 而让终点 z 在E内变化， ( ) ( ) 0 ( ) d d z C z F z f z z f =     连接 0 z 与 z 的任意曲线， 则 ( )d C f z z  就定义了 一个单值函数， 记为： 定理3.4 设 f (z)在单连通域E内解析， 0 点 z E  , 则 ( ) 0 ( ) d z z F z f =    且 F z f z ( ) ( ) = C为 在E内解析

r(x,y)(x,y证: F(z) = ( f(z)dz :vdx + udyudx -ydy2果J(xo,yo)(xo,yo)= P(x,y) +iQ(x, y)因f(2)在E内解析，由定理2，F(2)与路径无关所以P(x,J)与从而P(x，y)与Q(x，y)路径无关，Q(x,J)在E内可微，并且有dP = udx - vdy,dQ = vdx + udyapaQapaQ从而有axayaxdy所以 F()为解析函数，且apaQu+iv= f(z)+axax

证 0 ( ) ( )d z z F z f z z =  0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) d d i d d x y x y x y x y = − + + u x v y v x u y   = + P x y Q x y ( , ) i ( , ) 因 f (z)在E内解析，由定理2 ，F (z) 与路径无关， 从而P (x , y)与Q (x , y)路径无关，所以P (x , y)与 Q (x , y)在E内可微，并且有 d d d , P u x v y = − d d d Q v x u y = + 从而有 , P Q u x y   = =   = , P Q v y x   − = −   所以 F (z)为解析函数， 且 ( ) i i ( ) P Q F z u v f z x x    = + = + =  

原函数与不定积分盅定义3.2设函数f(z)在区域D内连续,若D内的函数Φ(z) 满足条件@(z)=,f(z), 则称 Φ(z) 为f()在D内的一个原函数，f()的全体原函数称为f(2)的不定积分。f(2)的任两个原函数只相差一个常数。定理3.5若函数f(z)在区域D内解析，G(z)是f(2)在D内的一个原函数,Zo,zi E D，则 f(z)dz = G(z) -G(zo)N

 = ( ) ( ), z f z f (z)的任两个原函数只相差一个常数。 若函数 f (z)在区域D内解析， f (z)在D内的一个原函数， 原函数与不定积分 定义3.2 设函数 f (z)在区域D内连续，若D内的函 数 ( )z 满足条件 则称 ( )z 为 f (z) 在D内的一个原函数， 的不定积分。 f (z)的全体原函数称为 f (z) 定理3.5 G z( ) 是 0 1 z z D , ,  则 1 0 1 0 ( )d ( ) ( ) z z f z z G z G z = − 

果证明：： F(z)= f(z)dz为f(2) 的一个原函数. (~ f(z)dz = G(z) + C令z = Z 得C =-G(zo)f(z)dz = G(z) -G(zo)令得 f(z)dz = G(z) -G(zo)Z = Z)

0 ( ) ( )d z z F z f z z =  0 ( )d ( ) z z  = + f z z G z C  0 z z = 0 C G z = − ( ) 0 0 ( )d ( ) ( ) z z  = − f z z G z G z  1 z z = 1 0 1 0 ( )d ( ) ( ) z z f z z G z G z = −  为 f (z) 的一个原函数 令 得 令 得 证明：

例2计算下列积分果元+2i+cos()dz1)2."dzze"JO1元+2i?元+2i解：1)cos(=)dz = 2sin(==e+eJo220l+i1+i1+ie"dzze'dz2)ze=l+i=(1 +i)el+iePz=1.1+i= le

例2 计算下列积分 π 2i 0 1) cos( )d 2 z z +  1 i 1 2) e dz z z +  解：1） π 2 i π 2 i 0 0 cos( )d 2sin( ) 2 2 z z z + + =  1 e e− = + 2） 1 i 1 i 1 i 1 1 1 e d e e d z z z z z z z z + + + = = −   1 i 1 i 1 (1 i)e e ez z + + = = + − − 1 i ie + =

（柯西定理的推广）三、复合闭路定理果复合闭路c区域D内一条正向1C2简单闭曲线Co与c。内部的有CoG00D限条互不包含互不相交的负Cn向闭曲线ci,c2.,c,组成,D即有C=C+C, +C, +...+C（复合闭路定理）如果f(z)在多连通域定理3.6D内解析,复合闭路C=C。十C+C,十...十C所围成的区域全包含于D中，那么f. f(z)dz = 0, f(2)dz =, f(2)dz即k=1

三、复合闭路定理（柯西定理的推广） 复合闭路c区域D内一条正向 简单闭曲线 0 c 与 0 c 内部的有 限条互不包含互不相交的负 向闭曲线 1 2 , , , n c c c − − − 组成， 即有 − − − = + + + + n c c c c  c 0 1 2 0 c 1 c 2 c n c D 定理3.6 （复合闭路定理）如果 f (z)在多连通域 D内解析， − − − = + + + + n c c c c  c 复合闭路 0 1 2 所围成的区域全包含于D中，那么 ( )d 0 c f z z =  即 0 1 ( )d ( )d k n c c k f z z f z z =   = 