《复变函数论》课程教学资源（书籍文献）应力和位移的复势函数方法

力与位移的复势表达可化为面力1.复势应力函数平面弹性平衡，体力为常量，应力函数U，满V=0引^z=x+iy z=x-iyazOzOzOz=i,-(1)axaxayoy可得aaauauau ozOzU.XazOzaxOz axOzOx(3-1)a0auaU ozau ozU.二OzOzOyOz Oyoz oy

力与位移的复势表达 1. 复势应力函数 0 4  U = 平面弹性平衡，体力为常量，应力函数U，满 足 可化为面力 引入 z x iy = + z x iy = − 1, ; 1, z z z z i i x y x y     = = = = −     (1) 可得 , , U U z U z U x z x z x z z U U z U z i U y z y z y z z           = + = +                         = + = −              (3-1)

auauauauauau(3-2)zOxOyOzaxOy由(3-1)式，得：auaUaaaaU,U(3-3)ax2OzOzOzOzaUV?U4(3-4)Ozoz相容方程V4U =0为4U=0(3-5)Oz Qz ?积分两次

积分两次 2 2 4 . U U z z   =   (3 -4) 0 2 2 4 =   z zU (3 -5) 由(3 -1)式，得 ： 2 , 2 . U U U U U U i i x y z x y z       + = − =       (3 -2) 2 2 2 2 2 2 , , U U U U x z z y z z           = + = − −               (3 -3) 相容方程 0 4  U = 为

U = fi(z)+f,(z)+ f;() +zf4()(2)其中fi、、f、f均表示任意函数。左边U是实函右边四项一定两两共轭，即f,()= f(2), f<(2)= f(2)故 U = f(z)+f,(2)+ f(2)+zf(z)令(2)==0(2),f()=9(2)，得古萨公式U = Re[Zg(2) +(2)](3-6)(2),Q()称之为复势应力函数。应力和位移的复势

故 1 2 1 2 U f z zf z f z z f z = + + + ( ) ( ) ( ) ( ) 其中f 1、f 2、f 3、f 4均表示任意函数。左边U是实函数， 右边四项一定两两共轭，即 3 1 4 2 f z f z f z f z ( ) ( ), ( ) ( ) = = 令 1 1 2 1 1 1 ( ) ( ), ( ) ( ) 2 2 f z z f z z = =   ，得古萨公式 1 1   ( ), ( ) z z 称之为复势应力函数。 2应力和位移的复势 1 2 3 4 U f z zf z f z zf z = + + + ( ) ( ) ( ) ( ) (2) U z z z = + Re ( ) ( )    1 1  (3-6)

应力复势不计体力a"UaUaU(3-7)Oax?OxoyOy注意到式(3-4)得a?UaUaU4a,+aax?ay2OzOz将式(3-6)代入得, +, = 2[0*(2)+0(z)] = 4 Re(z)(3-8)由式(3-7)aUaUaUaCU2iO, -o,+2itxax?ay?axaxOyay

应力复势 不计体力 注意到式(3-4)得 2 2 2 2 2 y x 4 U U U x y z z      + = + =     将式(3-6)代入得 由式(3-7) 2 2 2 2 2 2 2 2 y x xy U U U i i i U x y x y x y           − + = − − = −           2 2 2 2 2 , , x y xy U U U y x x y       = = = −     (3-7) 1 1 1 2[ ( ) ( )] 4Re ( ) y x      + = + =    z z z (3-8)

注意到式(3-2)得(), -0x + 2itx, = 2[zl(z)+0(z)]设 (2) =0(z2), - 0, +2it x, = 2[zpl(2) +yi(z)](3-9)式(3-8)和(3-9)平面应力分量的复势形式。位移复势平面应力，由几何方程与广义虎克定律QuE=x -vo, =(α, +,)-(1+v)o,(2)DE, -vox =(ox+,)-(1+v)o,(3)=Cay

注意到式(3-2)得 1 1 设   ( ) ( ) z z =  式(3-8)和(3-9)平面应力分量的复势形式。 位移复势 平面应力，由几何方程与广义虎克定律      y x xy − + = + 2 2 ( ) ( ) i z z z  1 1    (1)      y x xy − + = + 2 2 ( ) ( ) i z z z  1 1    (3-9) ( ) (1 ) x y x y y u E x        = − = + − +  (2) ( ) (1 ) y x x y x v E y        = − = + − +  (3)

之之GEOvOu(4)xj2(1 + v) ( 0xOy1将式(1-8)和(1-7)分别代入(2)和(3)式，积分得：auEu= 2[g(2) + 0(2)]-(1 + v)+ fi(y),ax(5)auEv= -2i[ gi(2) - (2) -(1 + v)+ f,(x),ay式中f及f为任意函数。将式(5)代入式(4)，用式(1-7)的第三式及式(1-1)，得di(v)_ di(α) = (常数)dxdy积分得刚体位移:fi(y)=uo一のy,f2(x)=V+のx

将式(1-8)和(1-7)分别代入(2)和(3)式，积分得： 式中f1及f2为任意函数。将式(5)代入式(4)，用式(1-7)中 的第三式及式(1-1)，得 d ( ) d ( ) 1 2 d d f y f x y x − = = (常数) 积分得刚体位移： 1 0 2 0 f y u y f x v x ( ) , ( ) = − = +   1 1 1 1 1 2 2 ( ) ( ) (1 ) ( ), 2 ( ) ( ) (1 ) ( ), U Eu z z f y x U Ev i z z f x y         = + − + +          = − − − + +        (5) 2(1 ) xy E v u x y         + = +     (4) G xy 

若不计刚体位移，由式(5组合得（注：强度问是与刚体位移无关人auauE(u+iv)=4g(2)-(1+v)(6)axay将式(1-2)中的第一式及式(1-6)代入式(6)右边，两边）(1+ v)E3-vVp(z) - zpi(z) -yi(z)u+iv)(3-10)1+v1+v这就是位移复势。E对平面应变，E一→1 -v2

若不计刚体位移，由式(5)组合得 （注：强度问题 与刚体位移无关） 将式(1-2)中的第一式及式(1-6)代入式(6)右边，两边除以 (1+ν) 这就是位移复势。 对平面应变， 2 1 E E  → − 1    → − ( ) ( ) ( ) 1 4 1 U U E u iv z i x y       + = − + +       (6) ( ) 1 1 1 3 ( ) ( ) ( ) 1 1 E u iv z z z z       − + = − −  + + (3-10)

复应力函数的确定程度（数学上完全确定，力学上看哪些部分不影响应力和位移）1应力确定时，由式(3-8)和(3-9)可知，4Rei(z)=0, +0x)(1)(2)2[zp'(z)+yi(z)] =0, -0x + 2itx设4Reβ2(z)=, +0x,(1)2[zp(z)+y2(z)] =0 -0x + 2it xy(2')可见2(2)与(2)具有相同的实部，只可能相差一个任虚常数P2(2) =p(z) +iC,3

复应力函数的确定程度(数学上完全确定，力学上看 哪些部分不影响应力和位移) 1 应力确定时，由式(3-8)和(3-9)可知， 设 2 ( )z 1 可见 与 ( )z 具有相同的实部，只可能相差一个任意 虚常数 4Re , 1 ( ) y x     z = + (1) 2 ( ) ( ) 2  1 1  y x xy z z z i        + = − + (2) 4Re , 2 ( ) y x     z = + (1’) 2 ( ) ( ) 2  2 2  y x xy z z z i        + = − + (2’)   2 1   (z z iC ) = + ( ) , (3)

C为任意实常数。积分得P2(z) = P(z) + iCz + y(4)Y=A+iB，比较式(2)与(2)可由式(3)有 (z) =p(z)见2(2) =y((2)(5)积分得V2(2) =yi(2)+y(6)'= A'+iB'故Pi(z) 代以 Prz)+iCz +,(A)yi(z) 代以 y(z)+

C为任意实常数。积分得  = + A iB 由式(3)有 2 1     ( ) ( ) z z = ，比较式(2)与(2')可 见 积分得     = + A iB 故 2 1    ( ) ( ) z z iCz = + + (4) 2 1     ( ) ( ) z z = (5)    2 1 (z z ) = + ( )  (6) 1 1 1 1 ( ) ) , ( ) ( ) , z z iCz z z       + +   +   代以 代以 (A)

(A)型代换不改变应力。（常设其为零或Q(0)=0)2：位移确定时，则应力完全确定，不容许有（A)型以代换。考察(A)型代换如何才不致改变位移。将式进行（A）型代换E4iCz3-V9,(2) - zp(2) -V;(2) (u+iv)=1+v1+v1+v位移确定，必须3-v且C=0,(8y=0和中1+V只有一个为任意常数设为，由不改变位移只能将确定

3 0, 0 1 C     − = − =  + 且 ' (8)    '  (A)型代换不改变应力。（常设其为零或 1  (0) 0 = ） 2：位移确定时，则应力完全确定，不容许有(A)型以外 代换。考察(A)型代换如何才不致改变位移。将式(1 进行(A)型代换 位移确定，必须 不改变位移只能将 1 1 1 3 4 3 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 E iCz u iv z z z z            − −   + = − − + + −     + + + +   (7) 和 中 只有一个为 任意常数,设 为 , 由 确定