《复变函数论》课程教学课件（PPT讲稿）第二章 解析函数 2.3 初等解析函数

$ 2. 3初等函数果浴将一元实变初等函数u= f(x)推广为初等复变函数の= f(z)的要求：1)当z=x 为实数时，有の=f(z)=u=f(x)完全与原实变函数相同。北尽量使推广后的复变初等函数仍保留原实变初等函火学数的某些重要性质(如连续性、可导性等等

§2.3 初等函数 将一元实变初等函数 u f x = ( ) 推广为初等复变 函数  = f z( ) 的要求： ① 当 z x = 为实数时，有  = = = f z u f x ( ) ( ) 完全与原实变函数相同。 ② 尽量使推广后的复变初等函数仍保留原实变初等函 数的某些重要性质(如连续性、可导性等等)

一、指数函数果春初等实指数函数e*的一些重要性质：处处可导且有(e）=e;1对任意的实数Xi,X2，有ei+x2=e.e"2对任意的实数x ER,有 e*>0。3北现在我们将指数函数的定义域推广到整个复数集中，使其尽可能将这些特性保持下来。即新大兴的指数函数应满足处处可导且有(e"）=e;1)2当Imz=0 即z为实数时有 e=ef (z)=e*(cosy+isin y

一 、指数函数 初等实指数函数 e x 的一些重要性质： ① 处处可导且有 (e e ; ) x x  = ② 对任意的实数 1 2 x x, , 有 1 2 1 2 e e e ; x x x x + =  ③ 对任意的实数 x R , 有 e 0 x  。 现在我们将指数函数的定义域推广到整个复 数集中，使其尽可能将这些特性保持下来。即新 的指数函数应满足 ① 处处可导且有 (e e ; ) z z  = ② 当 Im 0 z = 即 z 为实数时有 e e z x = ( ) (cos sin ) x f z e y i y = +

定义1对于复数z= x＋iy，称果の =e" =expz =e"(cosy+isin y春为复指数函数。性质1°指数函数の= f(z)=e在整个z平面上都有定义北且处处解析,导函数为 f(z)=e";2°对任意的复数Z1,Z2，有e"+2=e".e;大头3°当Imz=0 即z为实数时有 e"=e";4°の=e"是以2元i为周期的周期函数，即有e*+2ki =e"k =0,±1,±2,..5° [o=e"|= e*,Argの = y+2k元,k =0,±1,±2

定义1 o 1 对于复数 z x y = + i , 称 exp cos sin ( ) z x  = = = + e z e y i y 为复指数函数。 性质 指数函数 ( ) z  = = f z e 在整个 z 平面上都有定义， 且处处解析，导函数为 ( ) ;z f z e  = o 2 对任意的复数 1 2 z z, , 有 1 2 1 2 e e e ; z z z z + =  o 3 当 Im 0 z = 即 z 为实数时有 e e ; z x = o 4 z  = e 是以 2πi 为周期的周期函数，即有 2 π i e e 0, 1, 2, z k z k + = =   o 5 e e ,Arg 2 , 0, 1, 2, z x    = = = + =   y k k

比较盅1°e"≠0，但e>0一般不成立。茶例1求e3+i和e-ie3+ri解= e3 (cos元+isin元)北3儿元大学cose+isinH22-ie

比较 o 1 e 0, z  但 e 0 z  一般不成立。 例1 3 πi e 求 + 和 π 1 i 2 e − 解 ( ) 3 π 3 e e cosπ+isinπ + i = 3 = −e π 1 2 1 π π e =e cos +isin 2 2 − i           − −         = −ie

二、 对数函数盅春定义2 指数函数z=e°(z≠O)的反函数，称为对数函数，记为の=Lnz。注1 这里 の= Lnz实际上是关于の的方程z=e的所有解。北注2对数函数的定义域(zzEC,zO设 z=e°=rei, の=Lnz=u+iv大学z= e'+iv = e"ei" = reio,则有于是有 r =e",v= +2k元= Argz从而 の= Lnz=u+iv=lnr+i(0+2kπ)= ln |z/+iArgz= ln|z|+i(argz +2k元)k = 0,±1,±2,.:

二、对数函数 定义2 指数函数 z z e ( 0)  =  的反函数，称为对数 函数，记为  = Ln z。 的所有解。 注1 这里  = Ln z 实际上是关于  的方程 z e  = 注2 对数函数的定义域 z z z | C, 0    设 i z r e e ,   = =  = = + Ln i z u v 则有 i i i e e e e , u v u v z r +  = = = 于是有 e , 2 π Arg u r v k z = = + =  从而   = = + = + + Ln i ln i( 2 z u v r kπ) = + ln | | i Arg z z= + + ln | | i(arg 2 z z kπ) k =   0, 1, 2

对数函数盅@=Lnz = ln|z[+iArgz春= ln |z[+i(arg z +2k元) k =0,±l,±2,:注意：1对数函数是一个多值函数，同一个z的任意两北个函数值之间相差2k元i:，不是周期函数②对每一个固定的k值,可得一个单值函数，称为大学の=Lnz的一个单值分支:特别地称k=0对应的分支为对数函数的主值分支，记为の= lnz=ln|z|+iargz负数也有对数，如ln(-1) = ln / -1 /+iarg(-1)= i元

对 数 函 数 的 主 值 与 主 值  = = + Ln ln | | i Arg z z z = + + ln | | i(arg 2 z z kπ) k =   0, 1, 2, 对数函数 注意： ① 对数函数是一个多值函数，同一个z的任意两 个函数值之间相差 2kπi; ② 对每一个固定的k值，可得一个单值函数，称为  = Ln z 的一个单值分支；特别地称k=0对应的 分支为对数函数的主值分支，记为  = ln z = + ln | | iarg z z ③ 负数也有对数，如 ln( 1) ln | 1| iarg(-1) − = − + = iπ 不是周期函数

例2求下列各式的值。来春(2) Ln(1+ V3i)n(ie)(1)元解 (1)ln(ie) = ln|ie |+iarg(ie)= 1 +=i2(2) Ln(1+ /3i) = In |1+ /3i]+i(arg(1 + /3i)+2k元北元= ln2 +i("+ 2k元)3k = 0,±1,±2,:例3大兴解下列方程.元(2) lnz = 1+ i元(l) lnz=-i"2心元2得z=e解(1）由lnz==-121+i元 = -e(2) 由 ln z = 1+ iπ得 z = eli

例2 求下列各式的值。 ln ie ( ) Ln 1 3 ( + i) 解 (1) ln ie ln | ie | iarg(ie) ( ) = + (1) (2) π 1 i 2 = + (2) Ln 1 3i ln |1 3i|+i arg(1 3i)+2k ( + = + + ) ( π) π ln 2 i( 2kπ) 3 = + + 例3 解下列方程 π (1) ln i ; 2 z = − (2) ln 1 i z = + π 解 (1) π ln i 2 由 z = − ,得 π i 2 z e − = = −i (2) 由ln 1 i z = + π得 1 iπ z + = e = −e k =   0, 1, 2

对数函数的性质浴?当z = Rez= x>0 时, ln|z= ln x,argz = 0,这时对数函数的主值lnz就是原实变数对数函数lnxLnz = lnz +2k元i,k = 0,±l,±2,.2注意，这些等式Ln(z,z 2) = Ln zi + Ln z23北右端必须取适当的分支才能等于= Lnz, - Lnz 2Ln左端某一分支。大学若仅对一分支结论是不一定成立的。例如25元i7元iIe2 ln(e3")+ln(e2=ln(e66

对数函数的性质 ① ② ③ 当 z z x = =  Re 0 时， ln ln ,arg 0, z x z = = 这时对 数函数的主值 ln z 就是原实变数对数函数 ln x。 Ln ln 2 z z k k = + =   πi, 0, 1, 2, Ln Ln Ln (z z z z 1 2 1 2 ) = + 1 1 2 2 Ln Ln Ln z z z z   = −     注意，这些等式 右端必须取适当 的分支才能等于 左端某一分支。 若仅对某一分支 结论是不一定成 立的。  例如 5πi 6 − = 7πi 6 = 2 1 πi πi 3 2 ln(e ) e 2 1 πi πi 3 2 ln(e ) ln( ) + e

4在除去原点及负实轴的平面内主值支和其他盅分支处处连续、处处解析;且有春(Lnz)'= !(lnz)=1说明：仅就主值支 lnz=ln|z|+argz而言，lnz|在除去原点外的复平面内处处连续，而argz在原点及负实轴上不连续。所以，函数lnz在除去原点及负实轴的复平面上处处连续。又因为z=e°在区域一π<argz<内的反函数の=lnz是单值的，文头-1由反函数的求导法则可知(lnz)eoedZ所以，函数lnz在除去原点及负实轴的平面内解析。类似可得：Lnz的各个单值分支在除去原点及负实轴的平面内也是解析的，并且有相同的导数值

类似可得：Lnz的各个单值分支在除去原点及负实 ④ 在除去原点及负实轴的平面内主值支和其他 分支处处连续、处处解析;且有 ( ) 1 ln z z  = ( ) 1 Ln z z  = 仅就主值支 ln ln | | arg z z z = + 而言， ln | | z 在除去原点外的复平面内处处连续， 说明： 而 arg z 在原 点及负实轴上不连续。所以，函数 ln z 在除去原点 及负实轴的复平面上处处连续。又因为 z e  = 在 区域 −     arg z 内的反函数  = ln z 是单值的， 由反函数的求导法则可知 1 1 1 (ln ) ( ) z e e z    = = =  所以，函数 ln z 在除去原点及负实轴的平面内解析。 轴的平面内也是解析的，并且有相同的导数值

例4验证下列式子并不成立。果Lnz2 =2Lnz浴设z= reio, 则z2 = r2e2i0证明Lnz2 = ln22|+i(20+2k元) =2lnr+i(20+2k,元)2 Lnz = 2ln|2|+2i(0+2k,元)= 2ln|2|+i(20+4k,元)北k = 0,±1,±2,...可见,2Lnz的值是Lnz2的值的值每隔一个取一个，大兴故任取Lnz2一个分支所给的值,2Lnz不一定有对应的值与之相等

例4 验证下列式子并不成立。 2 Ln 2 Ln z z = 证明 i z re ,  设 = 2 2 2i z r e ,  则 = ( ) 2 2 Ln ln i 2 2 1 z z k = + +  π = + + 2ln i 2 2 r k (  1π) 2Ln 2ln 2i 2 z z k = + + ( 2 π)= + + 2ln i 2 4 z k (  2 π) k =   0, 1, 2, 可见， 2Ln z 的值是 2 Ln z 的值的值每隔一个取一个， 故任取 一个分支所给的值， 2 Ln z 2Ln z 不一定有对 应的值与之相等