《复变函数论》课程教学课件（PPT讲稿）第三章 复变函数的积分 3.1 复变函数的积分

果第三章复变函数的积分$ 3.1复变函数的积分$ 3.2柯西积分定理$ 3.3柯西积分公式$ 3.4解析函数的高阶导数

第三章 复变函数的积分 §3.1 复变函数的积分 §3.2 柯西积分定理 §3.3 柯西积分公式 §3.4 解析函数的高阶导数

83.1复变函数的积分果一、复变函数积分的定义定义 3.1设函数の=f(z)在C上连续,C为复平面上以A为起点B为终点的有向光滑(或逐段光滑)曲线将C任意分成n个弧段，设分点为：A=Z0,21,22....Zk-1,k....Zn = BBJ在每个弧段 Zk-1kZ1Zkk上任取一点Sk,作和Zk-1S, =f(Gk)(zk- zk-1)Ak=12ZoZf(5)Azk0xk=1

§3.1复变函数的积分 一、复变函数积分的定义 定义 3.1 设函数  = f z( ) 在C上连续，C为复平面上 以A为起点B为终点的有向光滑(或逐段光滑)曲线， O x y A B 将C任意分成 n 个弧段，设分点为： 0 z 1 z 2 z k 1 z − k z n z 0 1 2 1 , , , , , k k n z z z z z z A = − = B 在每个弧段 k k 1 z z − 上任取一点 , k  k  作和 1 1 ( )( ) n n k k k k s f z z  − = = −  1 ( ) n k k k f z  = =  

其中△z=zzk-1，记△s,为zk-k的弧长，若不论盅对C的分法如何取法如何，只要=max{△sk}→0Sn都有相同的极限,则称此极限为f(z)在C上的积分(cf(z)dz, 即记为nZf()Azkc f(z)dz = lim1→0k=1fcf(z)dz若C为闭曲线时，记为

其中 1 , k k k z z z  = − − 记 k k k 1 s z z  为 − 的弧长，若不论 对C的分法如何，  k 取法如何，   1 max k k n  s   只要 =  → 0 n s 都有相同的极限，则称此极限为f (z)在C上的积分 记为 ( ) , c f z dz  即 0 1 ( )d lim ( ) n k k C k f z z f z   → =  =   若C为闭曲线时，记为 ( )d c f z z 

二、积分的存在性及其计算果设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 在逐段定理3.1光滑的曲线C上连续，则f(z)在C上的积分存在，[ cf(z)dz =[ cudx - vdy+if vdx + udy将曲线C任意分成n个弧段，设分点为证明Zk = X +iyr(k = 0,1,..",n) 则Nzk = zk - zZk-1 = △xk + iAyk在每个弧段上任意取点Sk=k+ink(k=1,2,,n)并记入为n个弧段长度的最大值，则

二、积分的存在性及其计算 定理3.1 设函数 f z u x y v x y ( ) ( , ) i ( , ) = + 在逐段 光滑的曲线C上连续，则 f (z)在C上的积分存在， ( ) i c c c f z dz udx vdy vdx udy = − + +    证明 将曲线 C 任意分成 n 个弧段， 设分点为 i ( 0,1, , ) k k k z x y k n = + = 则 1 i k k k k k z z z x y  = − =  +  − 在每个弧段上任意取点 i ( 1,2, , ), k k k    = + = k n 并记λ为n 个弧段长度的最大值，则

Zf(sk).Azklim果1→>0k=11Z[u(sk,nk) + iv(sk,nk)].[Ax +iAya]= lim1-→0k=1Z[u(5k,nk)Axk -v(5k, nk)Ayk]= lim元→0k=l+i2[v(5k,nk)Ax +u(5k,nk)Ay ]k=1由,f()的连续性知,u(x,J)、v(x,J)也是连续的,这样上述等式右边的两个和式的极限存在（正好是第二类曲线积分)，从而左边极限也存在，此即为(f(2)dz, 所以Jef (z)dz = J,udx- vdy +if, vdx + udy

( ) 0 1 lim n k k k f z   → =    ( ) ( )   0 1 lim , , n k k k k k k k u iv x i y      → = = +   +      ( ) ( ) 0 1 lim , , n k k k k k k k u x v y      → =  =  −         第二类曲线积分)， 由 f (z)的连续性知，u(x , y) 、v(x , y)也是连续的， 这样上述等式右边的两个和式的极限存在（正好是 从而左边极限也存在，此即为 ( )d , c f z z  ( ) ( ) 1 i , , n k k k k k k k v x u y     =  +  +        所以 ( ) c c c f z dz udx vdy i vdx udy = − + +   

)(a≤t≤b)2 设曲线C的方程为z(t) = x(t)+iy(t)果则 cf(z)dzF' (u(x(t), y(t) x(t) - v(x(t), y(t) y(t)dt+if (v(x(t), y(t) x(t) + u(x(t), y(t) y(t) dtJ' (u+ iv(x(t), y(t)(x(t) + iy'(t)dt(~ J[z(t)]z'(t)dt即有( 。f(z)dz = (° f[z(t)]dz(t)= [~ f[z(t)]z(t)dt

2 设曲线C的方程为 z t x t y t a t b ( ) ( ) i ( ) ( ), = +   则 即有 ( ) c f z dz  i ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) d  ( ) ( )  b a + + v x t y t x t u x t y t y t t    [ ( )] ( )d b a = f z t z t t    ( ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) d ) ( )  b a = − u x t y t x t v x t y t y t t     i ( ), ( ) ( ) i ( ) d ( )  b a = + + u v x t y t x t y t t    ( ) c f z dz  [ ( )]d ( ) b a = f z t z t  [ ( )] ( )d b a = f z t z t t  

三、复积分的基本性质惠复变函数的积分与线积分性质类似：1)] 。f(z)dz = -J 。 f(z)dz2)[ 。kf(z)dz= k 。f(z)dz,为常数3)[ [f(z)±g(z)]dz = [ f(z)dz±[ cg(z)dz4)J cf(z)dz = J e, J(z)dz + J c J(z)dz其中 C=Ci+C25)若曲线c的长度为L，函数f(z)在c上满足I f(z)<M, 则 I / f(z)dz≤ (l f(z)|ds ≤ ML

复变函数的积分与线积分性质类似： 1) ( ) ( ) c c f z dz f z dz = − −   2)  c k f (z)dz = k  c f (z)dz,为常数    f z  g z dz = f z dz  g z dz c c c 3) [ ( ) ( )] ( ) ( ) 1 2 4) ( ) ( ) ( ) c c c f z dz f z dz f z dz = +    1 2 其中 c = c + c 三、复积分的基本性质 5)若曲线c的长度为L，函数 f (z)在c上满足 | f (z)| M, 则 | ( ) | | ( ) | c c f z dz f z ds ML    

例1 计算从α=-i到β=i积分「lz|dz的值,其中C为果1）线段αβ2）左半单位圆；000xXX3）右半单位圆。解：1）C的参数方程 z=ti，-1≤t≤1.. J l z | dz = f", It | idt = 2if dt = i3元元-i0Az=eV2）C的参数方程L22?3元2e-10/3元/2z |dz =(-i)d9== 2ie元/2元/2元元i00<L3）C的参数方程Z=一22元/2e10元/2H2i z /dz =(i)de=一元/2

其中C为 2）左半单位圆； 解：1） C的参数方程 z t t = −   i, 1 1 1 1 1 0 | | d | | id 2i d i c z z t t t t −  = = =    2）C的参数方程 i 3 e , 2 2 z     − =   3 2 i 2 | | e ( i)d c z dz     −  = −   1）线段  例1 i −i −i O x O y x i −i i O x y −i 3）右半单位圆。 计算从 i i | | d 的值, c   = − = z z 到 积分 3）C的参数方程 i e , 2 2 z    = −    2 i 2 | | e (i)d c z dz     −  =   3 2 i 2 e    − = = 2i 2 i 2 e   − = = 2i

dz其中c为以Z。为中心计算例2盅(z - z.)n+1r为半径的正向的圆周，n为整数。解c: z = Zo + reio0≤0≤2元Z - Z=reiodz = irei°dedz2元 irei°d00)n+1(rei°)n+10Zde2元21"e-ind dia(rei°)"n2元in=00n±0

例2 计算  − +1 0 ( ) c n z z dz r 为半径的正向的圆周，n为整数。 解 i c z = z + re 0 : 0   2   dz ire d i = i z − z = re 0 2 i 0 1 e di n n r    − =  0 其中c为以 z 为中心， 1 0 ( ) c n dz z z + −  2 1 0 i ( ) i i n re d re     + =  2 i 0 d i ( e )n r    =  2 0 0 0 i n n   = =   

盅例3计算积分1)J。(z -1)/ dz |;2)。lz－1ldz其中c为单位圆上半圆周正向。解: 1)c:z=eio 0≤≤ dz=ie"°do ldz}=d0[。(z -1)|dz|= J" (ei° -1)d0 = 2i-π2){c/z-1ldz|=fo|eio -1|d00d0 = 42sin-(=2

例3 计算积分 1） 2） 其中c为单位圆上半圆周正向。 解：1）  (z −1)| dz|; c  | z −1|| dz| c i c :z = e 0     dz ie d i = | dz|= d  − =  − = −   (z 1)| dz| 0 (e 1)d 2i  i c 4 2 2sin | 1|| | | 1| 0 0 =  =  − =  −       d z dz e d i 2） c