《常微分方程》课程教学资源（课件讲稿，共五章）

常微分方程1dxdtdyx-xz-ydtdzxy-bzdt

常微分方程1 ( ), , . dx y x dt dy rx xz y dt dz xy bz dt σ  = −     =−−   = −  

1.1微分方程的概念与实例了解常微分方程模型的一些例子理解微分方程的基本概念

1.1 微分方程的概念与实例 了解常微分方程模型的一些例子 理解微分方程的基本概念

1.1微分方程的概念与实例★对复杂的问题，不能直接得到变量间的关系★有时可以得到变量及其导数的关系---微分方程★通过求解微分方程、求近似解、分析解的性态等手段可以掌握变量的变化规律

1.1 微分方程的概念与实例 ★对复杂的问题，不能直接得到变量间的关系。 ★有时可以得到变量及其导数的关系-微分方程。 ★通过求解微分方程、求近似解、分析解的性态 等手段可以掌握变量的变化规律

1.1微分方程的概念与实例例1：镭的衰变镭是一种放射性物质，其质量是时间的函数在时刻t镭的质量记为R(t)。已发现其裂变速度与它的现存量成正比，且已知t=0时，镭的质量为Ro，试确定在时刻t镭的质量R(t)。dR=-kRR(t) = R,e-ktdtR(0) = Ro

1.1 微分方程的概念与实例 例1：镭的衰变 镭是一种放射性物质，其质量是时间t的函数， 在时刻t镭的质量记为R(t)。已发现其裂变速度与 它的现存量成正比，且已知t=0时，镭的质量为 R0，试确定在时刻t镭的质量R(t)。 0 (0) dR kR dt R R   = −    = 0 () e kt Rt R − =

1.1微分方程的概念与实例例2：SIS型传染病模型假设总人口为常数N，分为易感者S(t)和感染者I(t)，假设易感者与感染者接触后变为感染者,感染者恢复后，没有免疫力，从而变为易感者BSINS2IB12dlBSIB(N-I)I-元I =(β- 2)I -21NNdtN

1.1 微分方程的概念与实例 例2：SIS型传染病模型 假设总人口为常数N，分为易感者S(t)和感染者 I(t)，假设易感者与感染者接触后变为感染者， 感染者恢复后，没有免疫力，从而变为易感者。 2 ( ) ( ) dI SI N I I I I II dt N N N β β β λ λ βλ − = −= −=− −

1.1微分方程的概念与实例例3：已知曲线上点P(x,y)处的法线与x轴的交点为Q，且线段PQ被y轴平分，求该曲线方程y=y(x)所满足的微分方程yy'+2x = 0

1.1 微分方程的概念与实例 例3：已知曲线上点P(x, y)处的法线与x轴的交点 为Q，且线段PQ被y轴平分，求该曲线方程y=y(x) 所满足的微分方程。 yy x ′ + = 2 0

1.1微分方程的概念与实例含有自变量、未知函数以及未知函数导数(或微分）的方程称为微分方程如果未知函数只与一个自变量有关，则称为常微分方程；如果未知函数与两个或更多个自变量有关，则称为偏微分方程本课程介绍的都是常微分方程，有时简称微分方程或方程

1.1 微分方程的概念与实例 含有自变量、未知函数以及未知函数导数(或微 分)的方程称为微分方程。 如果未知函数只与一个自变量有关，则称为常微 分方程；如果未知函数与两个或更多个自变量有 关，则称为偏微分方程。 本课程介绍的都是常微分方程，有时简称微分方 程或方程

1.1微分方程的概念与实例在一个常微分方程中，所包含的未知函数最高阶导数的阶数，称为方程的阶如果微分方程中未知函数和它的各阶导数都是线性的，则称为线性微分方程，否则称为非线性微分方程。线性方程的一般形式qn-!dxd"xx+a,(t)- (t)+an(t)x = f(t)dtQdtn-1dtn

1.1 微分方程的概念与实例 在一个常微分方程中，所包含的未知函数最高阶 导数的阶数，称为方程的阶。 如果微分方程中未知函数和它的各阶导数都是线 性的，则称为线性微分方程，否则称为非线性微 分方程。 线性方程的一般形式 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 a t x f t dt dx a t dt d x a t dt d x n n n n n n + + + − + = − − 

1.1微分方程的概念与实例例4:dy01L(1)ky= 0yxdxd220Unl(2)xydxaxQ41L04(3)3y=sin xyXdr4dr?d'udu2?0t(4)uF(t,umdt?dtavavPL(5)1Vs, tV-asato"uauaP=02L(6)uX, y, zax?Qy?Oz?

1.1 微分方程的概念与实例 例4：

1.1微分方程的概念与实例n阶微分方程的一般形式dnydy隐式方程F(x,y,=0dxdxn解出最高阶导数ddyd"yV显式方程f(x,ydxn-1dxndx

1.1 微分方程的概念与实例 n阶微分方程的一般形式 ( , , , ) = 0 n n dx d y dx dy F x y  1 1 (, , , ) n n n n d y dy d y f xy dx dx dx − − =  解出最高阶导数 显式方程 隐式方程