《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第四章 向量组的线性相关性

第四章向量组的线性相关性

第四章 向量组的线性相关性

4.1向量组及其线性组合4.2向量组的线性相关性4.3向量组的秩线性方程组的解的结构4.434.5向量空间

4.1 向量组及其线性组合 4.2 向量组的线性相关性 4.3 向量组的秩 4.4 线性方程组的解的结构 4.5 向量空间

S11向量组及其线性组合

§1 向量组及其线性组合

一、基本概念定义1：n个有次序的数a,a2..a,所组成的数组称为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量，第i个数a.称为第i个分量口分量全为实数的向量称为实向量。口分量全为复数的向量称为复向量备注：V本书一般只讨论实向量（特别说明的除外）：行向量和列向量总被看作是两个不同的向量所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时，都当作列向量本书中，列向量用黑色小写字母ab.α.β等表示，行向量则用abTαT,βT表示

定义1：n 个有次序的数 a1 , a2 , ., an 所组成的数组称为n 维向 量，这 n 个数称为该向量的n 个分量，第 i 个数 ai 称为第 i 个分量．  分量全为实数的向量称为实向量．  分量全为复数的向量称为复向量． 备注： ✓ 本书一般只讨论实向量（特别说明的除外）． ✓ 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量． ✓ 所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时，都当作列向量． ✓ 本书中，列向量用黑色小写字母a, b, a, b 等表示，行向量则用a T , b T , a T , b T 表示． 一、基本概念

定义2：若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集合称为向量组：注：（1）向量组中的向量必须是同型向量(2）一个向量组可含有限多个向量，也可含无限多个向量例如(1)aN(2)当R(A)<n时，齐次线性方程组Ax=0的全体解组成的向量组含有无穷多个向量·如25/3X-4/3x.CER,C,ER0x01

定义2：若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集合 称为向量组． （2） 当R(A) < n 时，齐次线性方程组 Ax = 0 的全体解 组成的向量组含有无穷多个向量．如 例如          − =           =           = − 4 0 7 , 3 5 2 , 0 1 1 （1） a1 a2 a3 注: (1) 向量组中的向量必须是同型向量. (2)一个向量组可含有限多个向量，也可含无限多个向量. , , 1 0 4 / 3 5/ 3 0 1 2 2 1 2 1 2 4 3 2 1 c c c R c R x x x x                 − +               − =              

二、矩阵与向量组有限向量组时R园(12(13(4=(αj,α2,α3,α.) =an2(23a24(2)a.aa34A结论1：含有限个向量的有序向量组与矩阵车一一对应问：(α2,α,α3,α4)? A答：(α2,1,a3,4)±A

11 12 13 14 34 21 22 23 24 31 32 33 34 a a a a A a a a a a a a a     =       = (a a a a 1 2 3 4 , ) 1 2 3 T T T b b b     =       结论1：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应． 有限向量组 问: ? (a2 ,a1 ,a3 ,a4 ) = A 答: (a2 ,a1 ,a3 ,a4 )  A 二、矩阵与向量组

三、向量组的线性组合定义3：给定向量组A：ai,2…,am，对于任何一组实数kj,k2,...,km，表达式kjar+kza,+...+kmam称为向量组A的一个线性组合ki，kz，...,k称为这个线性组合的系数定义4：给定向量组A：a1,a2，,am和向量b，如果存在一组实数元，元2，….，元m，使得b=aai+aa,+...+amam则向量b是向量组A的线性组合，这时称向量b能由向量组A线性表示福

三、向量组的线性组合 定义3：给定向量组 A：a1 , a2 , ., am ， 对于任何一组实 数 k1 , k2 , ., km ，表达式 k1a1 + k2a2 + . + kmam 称为向量组 A 的一个线性组合． k1 , k2 , ., km 称为这个线性组合的系数． 定义4：给定向量组 A：a1 , a2 , ., am 和向量 b，如果存在 一组实数 l1 , l2 , ., l m ，使得 b = l1a1 + l2a2 + . + l mam 则向量 b 是向量组 A 的线性组合，这时称向量 b 能由向量组 A 线性表示．

ei,e2,eg的例：设E=(线性组合那么b=2+7线性组合的系数必有一般地，对于任意的n维包量hbr0001b2001b,+b,+bb==b0.;.0b.001

例：设 ( 1 2 3 ) 1 0 0 , , 0 1 0 0 0 1 E e e e     = =       1 0 0 2 0 3 1 7 0 0 0 1             = + +                   1 2 3 = + + 2 3 7 e e e 2 3 7 b     =       那么 线性组合的系数 e1 , e2 , e3的 线性组合 一般地，对于任意的 n 维向量b ，必有 1 2 3 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 n b b b b                         = + + +                                 1 2 3 n b b b b b       =          

06001b,·十h+htbb=b=b0n维单位坐标向量有几个？n阶单位矩阵E，的列向量叫做n维单位坐标向量

n 阶单位矩阵 En 的列向量叫做 n 维单位坐标向量． 1 2 3 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 n b b b b                         = + + +                                 1 2 3 n b b b b b       =           1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 En       =           n 维单位 坐标向量 有几个?

四、向量组之间线性表示的判断法回顾：线性方程组的表达式1.一般形式2.增广矩阵的形式[3x +4x, -x, =53415X -X +2x,=-1向量方程的形式向量组线性组合的形式北+x+x51()(韩方程组有解向量是否能用

四、向量组之间线性表示的判断法 回顾：线性方程组的表达式 1. 一般形式  向量方程的形式 2. 增广矩阵的形式 4. 向量组线性组合的形式 1 2 3 1 2 3 3 4 5 2 1 x x x x x x  + − =   − + = − 3 4 1 5 1 1 2 1   −     − − 1 2 3 3 4 1 5 1 1 2 1 x x x       −       =       − −     1 2 3 3 4 1 5 1 1 2 1 x x x         −         + + =         − − 方程组有解？ 向量 是否能用 线性表示？ 3 4 1 , , 1 1 2       −             − 5 1       −