《复变函数论》课程教学课件（PPT讲稿）第三章 复变函数的积分 3.3 Cauchy积分公式

S3.3Cauchy积分公式果设f(z)在单连域D内解析，z。E D,则函数f(2)在z处不解析。由复合闭路定理，设Cz- Zo是以z。为中心,为半径的正向圆周，,则对任f(2)意的s>0,积分Φdz 取相同的积分值。C Z-Z0若让S→0,则z→zo,形式地有f (zf(zo)dz→2dz=f(=)§2--)dz-Z0-Zo= f(zo)·2元i

§3.3 Cauchy积分公式 设 f (z)在单连域D内解析， 0 z D  , 则函数 ( ) 0 f z z z − 在 z0 处不解析。由复合闭路定理，设C 0 是以 z 为中心，  为半径的正向圆周，则对任 意的   0, ( ) 0 d C f z z z z − 积分  取相同的积分值。 若让  → 0, 0 则 z z → ， 形式地有 ( ) 0 d c f z z z z −  ( 0 ) 0 d c f z z z z → −  ( 0 ) 0 1 d c f z z z z = −  =  f z( 0 ) 2πi

一、柯西积分公式盅E7 设,f(z)在区域D内处处解析，C为D内的定理3.7任何一条正向简单曲线，它的内部完全含于D.zo为C内的任一点，则：f(z)dz(3.3.1)f(zo2元i Yc(z-z0)证明由于f(z)在zo 连续，任意K给定8>0,必存在一个S>0RZACD当z-z<时，有[(2)-f(zo)/<8现以z为中心,R为半径作圆周K:|z-zo|=R，使其全部包含在C的内部,且R<S,则有

D 0 0 1 ( ) ( ) d (3.3.1) 2πi ( ) C f z f z z z z = −  一 、柯西积分公式 定理3.7 设 f (z)在区域D内处处解析，C为D内的 任何一条正向简单曲线，它的内部完全含于D, z0为C内的任一点，则： 证明 K 0 z R z 由于 f (z)在z0 连续， 给定   0, 任意 必存在一个   0, 当 0 z z −   时，有 f z f z ( ) −  ( 0 )  现以z0为中心， 0 R 为半径作圆周K：z z R − = , 全部包含在C的内部， 使其 且 R  , 则有 C

Nf(zdzNdz盅SZ-Z0+f(z)-f(zo)1Cdzdz +KK7z-Zo20=2元if(z)+Φ,()-()dzKz-Zo[f(2)-f(z0)f()-()d<Φ大ds而[z - zolZ-Zo8ds = 2元8dRJK)-f(zo)f(z)由ε的任意性，有dz = 0JKz- ZoT所以dz = 2元if(zo)cz-Zo

( ) ( ) 0 0 d d c K f z f z z z z z z z = − −   ( ) ( ) ( 0 ) 0 0 2πi d K f z f z f z z z z − = + −  ( 0 0 ) ( ) ( ) 0 0 d d K K f z f z f z z z z z z z − = + − −   ( ) ( ) ( ) ( 0 ) 0 0 0 d d K K f z f z f z f z z s z z z z − −  − −   2 K ds R   =   而 ( ) ( 0 ) 0 d 0 K f z f z z z z − = −  所以 ( ) 0 0 d 2πi ( ) c f z z f z z z = −  由  的任意性，有

说明忠1设区域D是简单闭曲线C的内部,f(z)在D内解析，在闭区域D=D+C上连续则Cauchy积分公式(3.3.1)仍然成立。2上述简单闭曲线可以是一个复合闭路即D不必是单连域。Cauchy积分公式(3.3.1)表明，解析函数3f(z)在C内部任意一点的值，完全由它在其边界上的值所确定

说明 ① 设区域D是简单闭曲线C的内部，f (z)在 D内解析，在闭区域 D D C = + 上连续， 则Cauchy积分公式(3.3.1)仍然成立。 ② 即D不必是单连域。 上述简单闭曲线可以是一个复合闭路， ③ Cauchy积分公式(3.3.1)表明，解析函数 f (z)在C内部任意一点的值， 在其边界上的值所确定。 完全由它

dz果例1 计算积分=(z - 1)(z - 2)其中:1）C是正向圆周「z|=1/2|z-1|=1/42）C是正向圆周/z|=33）C是正向圆周解：1）I=0（Cauchy积分定理)11=Φdz2)(z -1)(z - 2)[z1]=1/4 1(z-2)-2元idz=2元iz-1z-2z-1|=1/47=

例1 计算积分 d ( 1)( 2) C z I z z = − −  其中： 1）C是正向圆周 | z|=1 2 2）C是正向圆周 | z −1|=1 4 3）C是正向圆周 | z|= 3 解：1） I = 0 (Cauchy积分定理) 2） | 1| 1 4 1 d z ( 1)( 2) I z − = z z = − −  | 1| 1 4 1 ( 2) d z 1 z z − = z − = −  1 1 2πi 2πi 2 z z = = = − −

1113)果z-2z-1(z -1)(z - 2)1dzJ (z=3 (z -1)(z - 2)d2dzJ Iz/=3 z 2[2=3=2元i－2元i=0

1 1 1 ( 1)( 2) 2 1 z z z z = − − − − − | | 3 | | 3 1 1 d d z z 2 1 z z z z = = = − − −   3) | | 3 1 d ( 1)( 2) z z z z =  − −  =−= 2πi 2πi 0

求下列积分的值：例2果sinzdz(2) 9(=-2(9-2)(1)dzCZ+iz=2Zsin z解 (1) Φdz = 2元 isinz ==0 = 0=2Z(2) 9(=2 (9 -2dz+i-9-dz2=2元72元5

例2 求下列积分的值： 2 sin z z dz z  = (1) ( )( ) 2 2 9 z z dz z z i = − + (2)  解 (1) 2 sin d z z z z  = 0 2 sin 0 z  i z = = = (2) ( )( ) 2 2 9 z z dz z z i = − +  ( ) 2 2 9 z z z dz z i = − = − −  2 2 9 5 z i z i z  = =  = − −

例3 设果 $ (*+1)sin ds,f(z) =5-z15]=2求f'(i)和 f'(2+3i)解：由Cauchy积分公式和Cauchy积分定理，有2元i(z? + 1)sin z[| 2f'(i) = 4元iz sin z + 2元i(z2 + 1)cos z= -4元 sin 1f(2 +3i) = 0

例3 设 2 | | 2 ( 1)sin f z( ) d , z      = + = −  解：由Cauchy积分公式和Cauchy积分定理，有 2 2πi( 1)sin 2 ( ) 0 2 z z z f z z  +  =    2 i (i) 4πi sin 2πi( 1)cos z f z z z z =  = + + 求 f (i) 和 f (2 3i) + f (2 3i) 0 + = = -4 sin1