《复变函数论》课程教学课件（PPT讲稿）多连通区域上的复势函数方法

多连域中复势的一般形式函数()和V(z)在多连通域中可能是多值的。而应力和位移总是单值的。如何选择这些复变函数，保证应力和位移的单值性？考察如图3-2所示多连通体，先考虑仅有一个内边界s 和一个外边界sm+1的情形。1应力单值条件由式(3-8) α, +α,=4Re()知, Pi(z)的实部单值。 虚部可多值。绕Sk一周，虚数增量为2元Ai考察Akln（z-z，其中zZk是边界sh之外的任意一点A, In(z - z) = A, In(I z- zk lei0)= A, Inz -z| + A,i烧一周后，右边有增量2元iAk。令Pi(z) = A, ln(z - zk) + P*(z)

多连域中复势的一般形式 1  ( )z 1 函数 和  ( )z 在多连通域中可能是多值的。而应力 和位移总是单值的。如何选择这些复变函数，保证应力 和位移的单值性？考察如图3-2所示多连通体，先考虑仅 有一个内边界s k和一个外边界sm+1的情形。 1 应力单值条件 k s 一周，虚数增量为 由式(3-8) 1 4Re ( ) y x    + =  z 知， 1 ( )z 的实部单值。虚部 可多值。绕 考察Ak ln (z-zk )，其中zk是边界sk之外的任意一点。 ln( ) ln | | ln ( ) i A z z A z z e A z z A i k k k k k k k  − = − = − +  绕sk一周后，右边有增量 2 k  iA 。令   1 1*   ( ) ln ( ) z A z z z = − + k k ( ) (1) 2 Aik 

式中%()全纯。积分，得(2)= A [(z-zk)In(z -zk)-(z-zk)]+ ( pit(z)dz +常数(2)Zo为弹性体内的任选定点，如图3-2所示。[ Pi(z)dz=c, ln(z-zk)+全纯函数。代入式(2)，并将-Aln (z-z)与SetCkln(z-z合并写成 In(z-zk)， 即得0-0O=P(z) = A,zln(z - zk)0-(3)+ Yk In(z - zk) +P1*(z),0其中P*（)全纯。Yk为复常数。xX图3-2

积分，得 x y 1 z 0 z 2 z k z m z 1 s 2 s k s m s N m 1 s + 图3-2 o z0为弹性体内的任选定点，如图3-2所 示。 * 0 1 ( )d ln( ) z k k z  z z c z z = −  +全纯函数。 代入式(2)，并将-Ak zk ln (z-zk )与 ck ln(z-zk )合并写成 ln( ) k k  z z − ，即得 其中 1*  ( )z 全纯。 k  为复常数。 1 1 ( ) ln( ) ln( ) ( ), k k k k z A z z z z z z     = − + − + (3)   0 1 1* ( ) ( )ln( ) ( ) ( )d z k k k k z   z A z z z z z z z z = − − − − + +   常数. (2) 式中 ( ) 全纯。 ' 1*  z

又由式(3-9) -,+2it,=2[p(z)+yi(z)] 可知，函数y(2)在多连域全纯。类似地(4)Vi(z) = rh ln(z- zk) +y*(2)k为复常数，1(2)全纯。2 位移单值条件位移单值对9()及y(2)的要求。 将3.2.1 中的(1)、(3)、(4)三式代入式(3-10）有E3-v0(2) -z0(2) -V(2)u+iv1+v-V3-VA,z ln(z -zk)+ n(z -zk)+ Pix(2)(u+iv)1+1-zA, In(z -z)+p(2) /- Y, ln(z-zk)+u(2)

k   为复常数， ( ) 1 z   全纯。 又由式(3-9) 2 y x xy    − + = i 2 ( ) ( ) z z z   1 1   +  可知，函数 1 ( )z 在多 连域全纯。类似地 2 位移单值条件 位移单值对 1  ( )z 1 及  ( )z 的要求。将3.2.1中的(1)、(3)、(4) 三式代入式(3-10)有 ' 1 1 1 3 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 E u iv z z z z       − + = − −   − +    1  3 ( ) ln( ) ln( ) ( ) 1 1 k k k k k E u iv A z z z z z z      − + = − + − + − + ' ' 1 1 ln( ) ( ) ln( ) ( ) k k k k k − − + − − + z A z z z z z z        1 1* ( ) ln( ) ( ) k k    z z z z = − +  (4)

当z绕Sk一周后，增量为3(2元iA,=+2元i)+2元izA +2元i,=2元|3-1+1Az+-V+241+V1+V令增量为零，即3-VYk+X=0A=0，且(5)1+V3有限多连域的复势确定应力函数(3)和(4)式中的复常数及，需将式(3-11)应用于整个内边界S，积分一周得，(2)+ zp(2) +V(2) =i(Fx, +iF,(6)V+是Sk上面力主矢量。z沿S绕行的方向必须是顺时针

当z绕sk一周后，增量为： 3 ' (2 2 ) 2 2 1 k k k k iA z i izA i         − + + + + 3 3 2 1 1 1 k k k i A z            − − = + + +          + + 令增量为零，即 3 有限多连域的复势 确定应力函数(3)和(4)式中的复常数 k  k 及   ,需将式(3-11) 应用于整个内边界sk ,积分一周得, k k F iF x y + 是sk上面力主矢量。z沿sk绕行的方向必须是顺时针 Ak = 0 , 且 3 0 1 k k     − + = + (5) 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) k k k x y s      z z z z i F iF + + = +    (6)

转向（使外法线向右），将式(1),(3)(4)代入式(6)得-2元i(-)=i(Fx, +iF,(7)由式(5)及式(7)求得1+v3-F+iFFA = 0, Yk二ykXkYK本8元8元将它们代入式(3)及式(4)，得I+v≥(F, +iF, )n(2-z)+9.(2),0(2) =8元k-l(3-13)3-VZ(F, -iF,)n(2-z)+V(2)V;(2)=8元k=l式中*(2）、(z)在多连域全纯

转向（使外法线向右），将式(1),(3),(4)代入式(6)得 由式(5)及式(7)求得 ( ) ( ) 1 3 0, , 8 8 k k k A F iF F iF k k x yk k x y       + − = = − + = −  将它们代入式(3)及式(4)，得 2 ( ) ( ) k k k k x y − − = +    i i F iF  (7) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ln ( ), 8 3 ( ) ln ( ). 8 k k k k m x y k k m x y k k z F iF z z z z F iF z z z          =  = +  = − + − +    −  = − − +    (3-13) 式中 1* (z) 、 1* (z)在多连域全纯

4无限多连域的复势考察函数Pi(2)及V(2)在无限远邻域的性态。原点为圆心，作半径为R的大圆周SR，所有内边界S到Sm包围在其内，对于Sr之外的任意一点zIn(z - zk)= ln z + ln| 1 - k)=in=--()-()=lnz+ 在SR之外的解析函数。式(3-13可写为1+vF, +iF,)In z +P1(z),Fp(2) :=8元ze|>R(1)3-VF -iF,)lnz+V(z),V(2)8元当R趋于零时为原点作用集中力解XY

4 无限多连域的复势 考察函数 1  ( )z 1 及  ( )z 在无限远邻域的性态。 原点为圆心，作半径为R的大圆周sR ，所有内边界s1到sm 包围在其内，对于sR之外的任意一点z 在 之外的解析函数。 式(3-13)可写 为 ( ) ( ) 1 1** 1 1** 1 ( ) ln ( ), 8 3 ( ) ln ( ), 8 x y x y z F iF z z z F iF z z         +  = − + +   −  = − +  (1) z z R   当R 趋于零时为原点作用集中力解. 2 3 1 1 ln( ) ln ln 1 ln 2 3 k k k k k z z z z z z z z z z z z       − = + − = − − − −             ln R = +z s

7mS及FHP1*（)及（z)可展为罗朗级数二F-ZF1yik=lk=l8081(2)=Ea,z",V/(2) =Eb,z"(2)将式(1)中的第一式代入式(3-8)，然后再将式(2)中的第一式代入，得+iFn(a,zn-l+g,+a,=)T8元8元Z因无限远处应力有界(3)a, =0. (n≥2)由式(3-9)，2一→80时，应力有限，必有b, =0. (n≥2)(4)

1 k m x x k F F = = 及 = = m k y y k F F 1  1** (z) 及 ** 1  ( )z 可展为罗朗级数 将式(1)中的第一式代入式(3-8)，然后再将式(2)中的第一 式代入，得 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 2 . 8 8 n n y x x x x y n n F iF F iF n a z a z z z        − − −   + + + = − + − − + +      因无限远处应力有界 由式(3-9)， z →  时，应力有限，必有 1** 1** ( ) , ( ) n n n n   z a z z b z   − − = =   (2) 0. ( 2) n a n =  (3) 0. ( 2 n b n =  ） (4)

于是+ +iF,)Inz+(B+iC)z+p'(2),D.Z8元(5)3--iF)Inz+(B'+iC')z +y(z),y(2):8元式(5)可简化为1+v(F, +iF)lnz+ Bz+(z)P(2)=8元(3-14)3-v(F, -iF,)lnz+(B'+iC')z +y(z)yi()8元

于是 式(5)可简化为 其中 ( ) ( ) 0 1 1 0 1 1 1 ( ) ln ( ) ( ), 8 3 ( ) ln ( ) ( ), 8 x y x y z F iF z B iC z z z F iF z B iC z z         +  = − + + + +   −    = − + + +  (5) 0 1 1 0 1 1 1 ( ) ( )ln ( ), 8 3 ( ) ( )ln ( ) ( ), 8 x y x y z F iF z Bz z z F iF z B iC z z         +  = − + + +   −    = − + + +  (3-14)

aap°(z)ZZ(3-15)bbAy°(z) =+Z再由式(3-8)及式(3-9)，在无限远处，冬>00(6), +,= 4B, ,-, +2it=2(B'+iC)设0及0，为无限远处的主应力，，与x轴之间的夫角为α，由坐标变换B=(o, +o2),B' + iC'=-(o, -0,)e-2ia(3-16)值得指出，公式(3-14)和(3-15)只能描述多连域的远场(SR之外只含有一个圆孔时，才是该域复应力函数的精确无限多连通域的复势可由式（3-13给出，其中P = Bz + g° () Vi,=(B +iC)z +wi (2)

设σ1及σ2为无限远处的主应力，σ1与x轴之间的夹角 为α，由坐标变换 值得指出，公式(3-14)和(3-15)只能描述多连域的远场(sR 之外)，只含有一个圆孔时，才是该域复应力函数的精确 公式。无限多连通域的复势可由式(3-13)给出，其中        = + + = + + ( ) , ( ) , 2 0 1 2 1 2 0 1 2 1   z b z b z z a z a z   (3-15) 4 , 2 2( )      y x y x xy + = − + = + B i B iC   (6) ( ) 2 1 2 1 2 1 1 ( ), 4 2 i B B iC e      − = + + = − −   (3-16) 再由式(3-8)及式(3-9)，在无限远处，令 z → ( ) 0   1 1 Bz z  = + ( ) ( ) ' ' 0   1 1 B iC z z  = + +

对于无限多连域，应为1+VZ(Fx +iFh)ln(z- z)+ Bz+β°(z)P(2)=8元k=1E3-Z(Fx -iFh)In(z-zk)+(B +iC')z+y(z)V(2) =8元k=l

对于无限多连域,应为 0 1 1 1 ' ' 0 1 1 1 1 ( ) ( )ln( ) ( ) 8 3 ( ) ( )ln( ) ( ) ( ) 8 m xk yk k k m xk yk k k z F iF z z Bz z z F iF z z B iC z z         = = + = − + − + + − = − − − + + +  