《复变函数论》课程教学资源（书籍文献）你知道哥德巴赫猜想吗？

目录引言特征与 Gaus 和第一章L多1.特征1S$2.Gauss和24第二章特征和估计与大筛法，32321最简单的特征和估计52.经典的特征和均值估计342多3．大筛法·4，新的特征和均值估计·49第三事函数与L函数的中值公式555551，些引理·$2.5函数的四次中值公式，6.353、L函数的四次中值公式6754.L函数的二次中值公式.毓四章零点分布（一）7.41.函数与L函数的零点密度估计1822、函数零点密度估计的改进第五章线性素变数三角和估计91$1，BHHorpanoB方法9110352.零点密度估计方法+1093.复变积分法多4对小9的线性素变数三角和估计115119第六章三数定理1.Goldbach问题中的圆祛11912232.非实效方法·12853.实效方法1.奇数表为三个几乎相等的奇素数之和133

55.N名++136第七章SELBERG筛法.·:148SI.筛函数148多2.最简单的Selberg上界筛法154.≤ 3.函数 G(,2)和G,()159$4.筛函数估计的两个基本定理1705 5.函数 F(u)和(u)17556.Jurkat-Richert 定理183第八章算术数列中素数分布的均值定理2005I.Bombieri-BHHorpaao定理20652.一类新的均值定理209..+225第九章陈景润定理-51命题{1,2].….225238多2.D（N）上界估计的改进253第十章零点分布（二）253S1.L函数的若干引理.门2572.Turin方法26293.L函数非零区域的扩展27354.L函数在直线α1附近的零点密度估计279第十一章 Goldbach 数 (一).2791.E（）的初步估计.287$2.B(*）的进一步估计$3.小区间上的Goltbach数306.A313Goldbach 数(二)第十二章2314-1.一些引理32052.定理的证明.n参考文献324:2u

引言gi1742,年，德国数学家ChristianGoldbach（1690—1764）在和他的好朋友、大数学家LeonhardEuler（1707-1783）的几次通信中，提出了关于正整数和素数之闻关系的两个推测，用现在确切的话来说，就是：（A）每一个不小于6的偶数都是两个奇素数之和；（B）每一个不小于9的奇数都是三个奇素数之和。这就是著名的Goldbach猜想。我们把猜想（A）称为“关于偶数的Goldbach猜想”，把猜想（B）称为"关于奇数的Goldbach猜想”由于2n + 1 ± 2(n-1) + 3,所以，从猜想（A）的正确性就立即推出猜想（B）亦是正确的，Euler虽然没有能够证明这两个猜想，但是对它们的正确性是深信不凝的，1742年6月30日，在给Goldbach的一封信中他写遵：我认为这是一个肯定的定理，尽管我还不能证明出来。Goldbach猜想提出到今天已经有237年了，可是至今还不能最后地肯定它们的真伪。人们积累了许多宝贵的数值资料，都表明这两个猜想是合理的，这种合理性以及猜想本身所具有的极其简单，明确的形式，使人们和Eiler一样，也不由得不相信它们是正确的，因而，二百多年来这两个猜想一直吸引了许许多多数学工作者和数学爱好者，特别是不少著名数学家的注意和兴趣，并为此作出了艰巨的努力，但是，直至本世纪，对这两个猜想的研究才取得了一系列引人瞩目的重大进展。迄今得到的最好结果是，（1）1937年，苏联数学家H.M.BIHorpanoBL132)证明了：每一个1）例如，Shea MokKang验证了想（A)对于所有不翅过33×10°的偶数是正确的

充分大的奇数都是三个奇素数之和；（2）1966年，我国数学家陈景润18证明了：每一个充分大的偶数都可以表为一个素数与一个不超过两个素数的乘积之和，这是两个十分杰出的成就，BaHorpaⅡOB的结果基本上证明了猜想（B）是正确的）.所以，现在说到Goldbach猜想时，总是只指猜想（A），即关于偶数的Goldbach猜想.下面我们简要地谈一谈研究Goldbach猜想的历史，从提出Goldbach猜想到十九世纪结束这一百六十年中，然许多数学家对它进行了研究，但并没有得到任何实质性的结果和提出有效的研究方法。这些研究大多是对猜想进行数值的验证，提出一些简单的关系式或一些新的推测(见L，E.Dickson：Histo-ry of theTheory of Numbers,，421--425)总之，数学家们还想不出如何着手来对这两个猜想进行哪怕是有条件的极初步的有意义的探讨。但我们也应该指出：古老的筛法，以及在此期间内Euler，Gauss，Dirichlet，Riemann，Hadamard等在数论和函数论方面所取得的辉煌成就，为二十世纪的数学家们对猜想的研究提供了强有力的工具和奠定了不可缺少的坚实基础。1900年，在巴黎召开的第二届国际数学会上，德国数学家DHilbert在其展望二十世纪数学发展前景的著名演讲中，提出了二十三个他认为是最重要的没有解决的数学问题，作为今后数学研究的主要方向，并期待在这新的一个世纪里，数学家们能够解决这?些难题，Goldbach猜想就是Hilbert所提出的第八问题的一部分。但是，在此以后的一段时间里，对Galdbach猜想的研究并未取得什么进展1912年，德国数学家E.Landau在英国剑桥召开的第五届国际数学会上十分悲观地说：即使要证明下面较弱的命题（C），也是当代数学家所力不能及的：1）后来，BopO3JK"具体计算出，当奇数N≥160"时，就一定可以表为三个奇素数之和。ca16.是一个比10的400万次方还要大的数（目前知道的最天素数是Mersenpe素数231ror二1，这只是一个6533位数）。而对于如此巨大的数字，我们根本没有可能来一一验证对所有小于它的每一个奇数来说，猜想（B）是否一定成立，所以，BHHorpanoB是基本上解决了猜想（B）

(C）存在一个正整数，使每一个≥2的整数都是不超过充个素数之和,1921年，英国数学家G，H.Hardy在哥本哈根数学会作的一次讲演中认为：Goldbach猜想可能是没有解决的数学问题中的最困难的一个。就在一些著名数学家作出悲观预言和感到无能为力的时候，他们没有料到，或者没有意识到对Goldbach猜想的研究正在开始从几个不同方向取得了为以后证明是重大的突破，这就是：1920年前后，英国数学家Hardy，Littlewood和印度数学家Ramanujan所提出的“圆法”[41]42]；1920年前后，挪威数学家Brun[9】所提出的"筛法”;以及1930年前后，苏联数学家IIlHHpeJbMaz(109)所提出的“密率”，在不到50年的时间里，沿着这几个方向对Goldbach猜想的研究取得了十分惊人的丰硕成果，同时也有力地推进了数论和其它一些数学分支的发展，(一)圆法首先我们来谈谈圆法，从1920年开始，Hardy和Littlewood以总标题为《Some problemsof"Partitio.numerorum"》发表了七篇论文，在这些文章中，他们系统地开创与发展了堆垒素数论中的一个辑新的分析方法。其中1923年发表的第II，V二篇文章就是专门讨论Goldbach猜想的L42]。这个新方法的思想在1918年Hardy和Ramanujan[41的文章中已经出现过．后来人们就称这个新方法为Hardy-Littlewood-Ramanujan 圆法。对于Goldbach猜想来说，圆法的思想是这样的：设m为整数，由于积分c(ma)dα=ll, m= 0;(1)10，m午0，公其中e（）一znx，所以方程N-p+pPsp≥3(2)的解数

:D(N) -- ( s(a, N)e(-Na)da;(3)方程(4)N=i+ + =3的解数(5)T(N) -s(a, N)e(-Na)da,其中(6)s(α N) - e(αp).这样，猜想（A）就是要证明：对于偶数N≥6有(7)D(N) ≥> 0;猜想（B）就是要证明：对于奇数N≥9有(8)T(N)≥ 0因此，Goldbach猜想就被归结为讨论关系式（3）及（5）中的积分诊了，显然，为此就需要研究由（6）所确定的以素数为变数的三角和。他们猜测三角和（6）有如下的性质：当‘和分母“较小”的既约分数"较近”时，S(α，N）就取“较大”的值；而当α和分母“较大”的既约分数“接近”时，S（α，N）就取“较小"的值（这里的“较小”“较大”、“较近”的确切含义将在下面作进一步的说明）。进而他们认为，关系式（3）及（5）中积分的主要部分是在以分母“较小的既约分数为中心的一些“小区间”（即那些和它距离“较近”的点组成的区间）上，而在其余部分上的积分可作为次要部分而忽略。这就是圆法的主要思想，为了实现这一方法，首先就要把积分区间分为上述的二部分，其次把主要部分上的积分计算出来，最后要证Y明在次要部分上的积分相对于前者来说可以忽略不计，下面我们+ +更具体地来加以说明。设9，为二个正数，(9)IAOATAN.1考虑 Farcy数列a(10)(a,g)-1,0≤g≤0a网

并设1[-+](11)E(g, a) =以及)(12)U E(q,a),E- U14450f6551[-1,1-1](13)EE,=容易证明，满足条件(14)203<t时，所有的小区间E（9，a）是二二不相交的（第六章51).我们称E，为基本区间（Major ares），E，为余区间（Minorares）．如果一个既约分数的分母不超过，我们就说它的分母是“较小”的，反之就说是“较大”的。如果两个点之间的距离不超过一，我们就说是“较近”的，显然，当αEE1时，它就和一分母“较小”的既约分数“接近”.可以证明（见第六章51引理2），当αEE时，它一定和一分母“较大”的既约分数“接近”，这样，利用Farey数列就把积分区间一，1一分成了圆法所要求的二部分E,和E2"因而，我们有S(α, N)e(-Nαa)dα - D(N) + D,(N), (15)D(N其中D(N)- (, S(α, N)e(-Na)da, i=1, 2;以及1) 有讨亦取(4,0=[%-六号+六]OF2）U与】是集合的和与差的符号。由于被积函数的周期为1，为方便起见，我们把积分区间 [0,11 改为[-, 1-]3）这种方法通常称为Farey分制

S(α, N)e(--Nα)dα -- T(N) + T2(N), (16)T(N)1其中S(α, N)e(-Na)da.i=- 1,2.T(N)=T圆法就是要计算出D（N）及T(N)，并证明它们分别为D(N）及3T(N)的主要项，而D(N）及T(N)分别可作为次要项而忽略不1计,Hardy-Litlewood[42.uI首先证明了一个重要的假设性结果：如果存在一个正数 <三，使得所有的 Dirichlect L 函数的全体零4点都在半平面。≤上，则充分大的奇数一定可以表为三个奇素数之和，且有渐近公式N216(N)T(N) ~ .(17)N-→8,log'N2其中1S(N)= 1(18)(p -- 1)（力同时他们猜测[42,],对于偶数N应该有ND(N) ~ 6(N)(19)N→8,log"N其中15S(N)- 2 1I(20)12PN力Hardy-Litlewoodlz,v还证明了一个假设性结果：如果广义Riemaan猜测成立，那末几乎所有的偶数都能表为二个奇素数之1.和，更精确的说，若以E()表示不超过×且不能表为二个奇素数之和的偶数个数，他们在GRH下证明了nmnE(x) < xt+(21)其中6为一任意小的正数。可以看出，圆法如果成功的话，是十分强有力的，因为它不但

证明了猜想的正确性，而且进一步得到了表为奇素数之和的表法个数的渐近公式，这是至今别的方法都不可能做到的虽然Hardy-Littiewood没有证明任何无条件的结果，但是他们所创造的圆法及其初步探索是对研究Goldbach猜想及解析数论的至为重要的贡献，为人们指出了一个分有成功希望的研究方向1937年，T.Esterman(27)证明：每一个充分大的奇数一定可以表为两个奇素数及一个不超过两个素数的乘积之和1937年，利用Hardy-Littlewood圆法，M.M.BHHOrpanoE终于以其独创的三角和估计方法无条件地证明了：每一个充分大的奇数都是三个奇素数之和，且有渐近公式（17）成立，这就基本上解决了猴想（B），是一个重大的贡献，递常把这一结果称为Gold-bach-BHHorpanoB定理，简称三素数定理，Page在1935年（见第十章引理5）及Siegel在1936年（见第十章引理9）证明了关于L函数例外零点的两个十分重要的结果，由此可推出相应的算术级数中素数分布的重要定理（见第六章多2引理2及3引理7）BHHOrpanOB首先利用这两个结果之-一（用任意一个结果都可以）：证明了：对适当选取的Q及，有T(N) ~ 16(N) ,N2(22)N- 8.log'N2（见第六章52定理1）。而他的主要贡献是在于利用他自已创造的紫变数三角和估计方法，证明了Hardy-Littlewood关于三角和S(α，N）性质的猜测，简单地说，他证明了：对适当选取的9和T，当EE时有N(23)S(aN) ≤log'N（见第五章1）由此容易推出NZN(24)T(N)≤ S(a,N)da《.log'Nlog'NJ这表明相对于T(N）来说，T(N）是可以忽略的次要项：这样，由（16），（22），（24）就证明了三数定理（见第六章52，当用Page的结果时情况要复杂一些，见第六章53）

BrHorpal1oeL134,L138],L139]创造和发展了一整套估计三角和的方法，利用他的强有力的方法使解析数论的许多著名问题得到了重要的成果，他对数论的发展作出了重要贡献，1938年，华罗庚[47]证明了更一般的结果：对任意给定的整数，每一个充分大的奇数都可表为十+修，其中，为奇素数（见第六章55定理4）在BMHorpanoB的证明中，有一点稍为不调和的地方。他创连的线性素变数三角和估计方法，从本质上来说是一种筛法。这样一来，处理基本区间E，上的积分T(N）用的是分析方法，而处理余区间Ez上的积分T(N）用的却是初等的非分析方法为了消除这种不一致性，就需要用分析方法来得到线性素变数三角和S(α，N)的估计式(23)1945年，IO.B.JHHHk(74,75],[76)提出了所谓L函数零点密度估计方法，他利用这一方法同样证明了估计式（23），从而对三素数定理给出了一个有价值的新的完全分析的证明，JIXHHIK的方法在解析数论的许多问题中都有重要应用。他原来的证明是十分复杂的，后来一些数学家122),[8215]进一步简化了JIHHHAK的证明（见第四章1，第五章$2），但也仍然是利用零点密度估计方法并要用到比较复杂的分析结果。1975年，Vaughana不用L函数零点密度估计方法，给出了估计式（23）一个分析证明，但他仍需用到复杂的L函数的四次中值公式。M1977年，潘承彪93仅利用L函数的初等性质及简单的复变积分法对估计式（23）给出了一个新的简单的分析证明（见第五章53）。一些作者还讨论了有限制条件的三素数定理。例如，证明了充分大的奇数可以表为三个几乎相等的素数之和41,184],]吴方46及一些数学工作者还讨论了其它形式的推广，由上所述，圆法对于猜想（B）的研究是极为成功的。而用它来研究猜想（A2却收效甚微，得不到任何重要的结果，在BXHO-rpauoB证明了三素数定理后不久，利用他的思想，一些数学1) 最近 R. C.Vaughan(C. R. Acad. Sc. Paris, Ser. A, 285 (1977),981--983)文给出了一个漂亮的初等证明