《抽象代数》课程教学资源（课件讲稿）2.1 群 2.2 群中元素的阶 2.3 子群

抽象代数2.1~2.3

抽 象 代 数 2.1~2.3

在自习室里学弟：做我女朋友吧！学妹：如果1×11，我就答应你。我抄起你的世递给男孩，《抽象代数》界，由你来定义。加油吧，学弟，学长只能帮你到这儿了

在自习室里 学弟：做我女朋友吧！ 学妹：如果1×1≠1，我就答应你。 我抄起《抽象代数》递给男孩，“你的世 界，由你来定义。” 加油吧，学弟，学长只能帮你到这儿了

2.1群教学内容：1.理解群、半群、单位元、逆元的定义2.群中单位元唯一，逆元唯一，消去律成立3.知道一些群的例子4.了解半群是群的条件

2.1 群 教学内容： 1. 理解群、半群、单位元、逆元的定义 2. 群中单位元唯一，逆元唯一，消去律成立 3. 知道一些群的例子 4. 了解半群是群的条件

2.1群如果非空集合G，有代数运算，且满足1)结合律成立，即对任意的 α,b,cEG，有(ab)oc=a(boc);2)G中有元素e，叫做G的左单位元，满足对任意的 αEG，有ea=a;3)对任意的α EG，在G中有元素a-l，叫做a的左逆元，满足a-loa=e；则称G对这个代数运算作成一个群

2.1 群 如果非空集合G，有代数运算◦，且满足 1) 结合律成立，即对任意的 ，有 (a◦b)◦c=a◦(b◦c)； 2) G中有元素e，叫做G的左单位元，满足对任意 的 ，有e◦a=a； 3) 对任意的 ，在G中有元素a -1，叫做a的 左逆元，满足a -1 ◦a=e； 则称G对这个代数运算作成一个群。 a b c G , ,  a G a G

2.1群如果对任意的 α.b E G，有aob=boa则称群G为交换(Abel)群，否则群G称为非交换群

2.1 群 如果对任意的 ，有 a◦b=b◦a 则称群G为交换(Abel)群，否则群G称为非交换 群。 a b G , 

2.1群例1：全体非零有理数对数的普通乘法作成非零有理数乘群全体正有理数对数的普通乘法作成正有理数乘群整数集Z对数的普通乘法不作成群，数域F上全体n阶满秩方阵对矩阵的普通乘法作成群，称为n阶线性群，记为GL,(F)

2.1 群 例1：全体非零有理数对数的普通乘法作成非零 有理数乘群。 全体正有理数对数的普通乘法作成正有理数乘群。 整数集Z对数的普通乘法不作成群。 数域F上全体n阶满秩方阵对矩阵的普通乘法作 成群，称为n阶线性群，记为GLn (F)

2.1群例2：整数集Z关于运算aob=a+b+4是一个群。例3：正整数集Z+关于运算ab=ab不是一个群。例4：n次单位根群：2k元2k元U, =(cosk =1,2,..,n-1)+isinnn关于数的普通乘法是群，含有n个元素

2.1 群 例2：整数集Z关于运算a◦b=a+b+4是一个群。 例3：正整数集Z+关于运算a◦b=ab不是一个群。 例4：n次单位根群： 关于数的普通乘法是群，含有n个元素。 2 2 {cos sin 1, 2, , 1} n k k U i k n n n   = + = −

2.1群四元数群：集合G={1,i,j,k，-1,-i,-i,-k运算1K11k1-1k-j1-k-1jkk-1i(-x)y=x(-y)=-xy,-(-x)=x, 其中 x, y E (1, i, j,k

2.1 群 四元数群：集合G={1, i, j, k, -1, -i, -j, -k} 运算 (-x)•y=x•(-y)=-x•y，-(-x)=x，其中 • 1 i j k 1 1 i j k i i -1 k -j j j -k -1 i k k j -i -1 x y i j k , {1, , , } 

2.1群1）群定义中包含4个条件：有运算、满足结合律、有左单位元、有左逆元，2)群包含一个集合、一个运算，二者作为一个整体才是群。3)群中的运算常称为“乘法”，在不引起混淆时，ab也可记为ab

2.1 群 1) 群定义中包含4个条件：有运算、满足结合律、 有左单位元、有左逆元。 2) 群包含一个集合、一个运算，二者作为一个 整体才是群。 3) 群中的运算常称为“乘法”，在不引起混淆时， a◦b也可记为ab

2.1群4)群中包含的元素可能有限，也可能无限，如果一个群包含有限多个元素。就称为有限群，否则称为无限群5)有限群G包含n个元素时，称n为群G的阶，并记为G=n，无限群的阶为无限。群G的阶即为集合G的阶

2.1 群 4) 群中包含的元素可能有限，也可能无限，如果 一个群包含有限多个元素。就称为有限群，否则 称为无限群。 5) 有限群G包含n个元素时，称n为群G的阶，并 记为 ，无限群的阶为无限。 群G的阶即为集合G的阶 G n=