《复变函数论》课程教学资源（书籍文献）高次方程的求根方法

动高次方程的求根公式测高于四次的一般代数方程没有求根公式。如前所述，关于三次和四次方程的求根公式早在16世纪中叶都已经得到了解决，下一个问题自然就是继续寻求五次或更高次数方程的求根公式，在此后的200多年里，虽然有许多大数学家如欧拉和拉格朗日等人都曾为此付出了巨大的努力，但都无一例外地失败了.然而，就在这许多次失败的尝试当中，拉格朗日终于发现了问题的奥秘所在，并迈出了关键的第一步拉格朗日在1770年发表的长达200多页的论文《关于代数方程解法的思考》中，首先给自已提出了一个明确的任务：仔细分析以前人们发现的解三次方程和四次方程的各种解法，看看为什么这些方法能够把方程解出来，以及这些方法对求解更高次的方程能够提供些什么线索，通过深人的分析和研究，拉格朗日在三次和四次方程众多巧妙的解法中总结出了一个统一的方法，并且正确地指出根的置换（或排列）的理论是解代数方程的关键所在，或借用他自已的话来说是“整个问题的真正哲学”142

以二次方程为例说明拉格朗日是如何使用根的置换思想来统一求解方程的.设二次方程x+ax+b=0的两个根为x1，x2，因为二次单位根为1，-1，故它们和根有两种组合方式：x1-*2和-x1+x2.把它们乘起来得到一个根函数：p(x,x2)=(x1-x2)(—x+x2)=—(x1x2)2显然这个根函数（x1，x2）互换x1和x2的位置并不改变，也就是说在根的任意一个排列下都不变，从而中为二元对称多项式，根据对称多项式的基本性质（见问题047），Φ可用基本对称多项式x+x2和*2表出.但由韦达定理可知x1+x2=-,x1x2=b,所以可用方程的系数表示出来.事实上，p(x1,x2)=-（xi+x2)2+4xix2=-a2+4b.由此解出x1-x2=±Va_46最后结合x+x2=-a即可求出二次方程的求根公式为(- α±VQ2-46).X1,x2=2对三次和四次方程也可类似地求解.例如，考虑三次方程x3+ax2+bx+c=0,三个根设为x1，x2，x3.令三次单位根（即×3=1的全部根）为1，w，2其中w=（-1+-3）/2.仍然考虑这些三次单位根与方程三个根之间所有形如p(x1,x2,x3)=x1+ax2+wx的组合.因为x1，x2，x3的排列共有3！=6个，对每一个根的排列都对应一个函数，把所得到的根函数分别记为，中2，…，.同样根据韦达定理和对称多项式的基本定理，可以把方程的三个根仅用两个根函数（例如）表示出来，从而把根的求解问题归143

结成求这两个根函数，而后者的确能够求解.有关的细节较为复杂，就不再叙述了，总之，拉格朗日发明的根的置换理论确实统一地给出了三次和四次方程的解法，但是，当他用该方法试图去解一般五次方程时又遭遇了失败，他被迫得出结论说，用代数方法求解一般的高次方程看来是不可能的挪威天才的数学家阿贝尔（N.H.Abel,1802-1829）早在中学时就开始潜心研读高斯和拉格朗日等人关于代数方程求根的著作，终于在1824年第一次严格地证明了高于四次的代数方程没有求根公式，这是古典代数学里程碑式的成就，而且阿贝尔的思想和观念对现代数学产生了深远的影响虽然阿贝尔证明了高次一般代数方程没有求根公式，但仍有许多特殊的方程可用根式求解，即它们的根能从方程的系数出发，通过加减乘除四则运算以及乘方和开方表示出来.换句话说，根式解指的是解能用一些根号表示.例如，二项方程=的根就能用根式表示另外，在正十七边形作图问题中（见问题065），也说明了高斯如何把一个17次分圆多项式方程的根（即17次本原单位根）用若于平方根表示的过程总之，在阿贝尔的工作之后，代数方程的核心问题变为如何判别一个具体的方程是否有根式解，即寻求多项式方程可根式解的充要条件.由于阿贝尔的英年早逝，这个代数学难题只能留待他人，最终被法国天才数学家伽罗瓦（E.Galois，1811-1832）彻底解决了，事实上，伽罗瓦对每个多项式（x）都构造了一个群G（群的概念见问题046），现在称之为伽罗瓦群，他证明了一个多项式（x）根式可解当且仅当相应的伽罗瓦群G是可解群，从而把一个多项式方程能否根式求解的问题等价地转化为它的伽罗瓦群是否为可解群的判别上，什么是可解群呢？先从群的定义谈起.因为伽罗瓦的工作建144

立在拉格朗日关于根的置换理论基础之上，所引人的群并不是问题046中介绍的抽象群，而是由若干置换组成的一个“具体的”群，所谓的一个n阶置换?，指的是一个具有n个元素的集合X=1x1，x2，，到自身的一一对应假设（x）=，则可把的具体作用形象地记为X1x236(xi)Xi2Xi3或者直接简记为123...n(iri2i3.in)不难看出两个置换相乘（指映射的合成）仍为一个置换，恒等置换即为集合X上的恒等映射，置换的逆为相应的逆映射，因此按照问题046中的抽象群之定义，全体n阶置换就构成一个群.这个群称为n阶全对称群，记为S.，显然S，的元素个数为n的阶乘n！=1·2·3.n.一般地，由部分置换构成的集合G，如果满足这样的性质，不仅G中的任意两个置换相乘的结果仍然在G中，而且G中每个置换的逆置换也在G中，则称G为一个置换群.因为唤射的合成自动满足结合律，读者不难验证这里给出的置换群概念是符合问题046中抽象群定义的.在历史上，群的一般定义正是从置换群抽象而来的假设G是一个置换群，N是G的一个子集，如果N中任意两个元素的乘积以及每个元素的逆也都在N中，亦即N本身也构成个群，则称N是G的一个子群.进而，如果对任意gEG和nEN均有gngEN，则称N为G的一个正规子群，这也是伽罗瓦引入的一个重要的群论概念有了以上的准备，就可以给出可解群的定义了.仍设G为一个置换群（亦可换成任意群），如果存在一个子群序列G=GoDGDGD5G,=11l145

使得每个G都是前一个G-的正规子群，并且这两个群的元素个数之比IGi-,I/IG,I均为素数，则称G为可解群，当然，如果不存在这样的子群序列，就称G不是可解群，现在来说明伽罗瓦的工作是如何包含了阿贝尔定理的，即为什么高于四次的一般方程没有求根公式.事实上，假设f(x)=anx+an-1x"-I+.+a1x+ao为一般n次方程，则根据伽罗瓦理论可以算出f（x）的伽罗瓦群恰为n次全对称群，即上述那个S.因此多项式f（x）是否有求根公式就看这个S.是否为可解群了，当n>4时，可以证明S，只有一个子群序列S.DA,D11满足正规性条件，即后一个群总是前一个相邻群的正规子群.这里的A，称为n阶交错群，共有n！/2个元素.因为S，和A，的元素个数之比为素数2，所以，S，是否为可解群就看n！/2是否也为素数了.然而当n>4时n！/2的确不是素数，即S，在n>4时不是可解群.根据伽罗瓦理论，多项式（x）也就相应地没有求根公式了，伽罗瓦的工作给整个数学带来了一场革命它不仅结束了古典代数学整整的一章，而且开创了代数学全新的时代，也标志着现代数学的真正开始，时至今日，伽罗瓦为研究多项式方程设计出来的许多新概念，如群、正规子群、可解群、域、分裂域、正规扩域等等，其价值远远超越了求方程根式解这一具体的数学问题，业已成为现代数学中最为基本的结构和语言.但是在19世纪初，由于伽罗瓦的工作中充满了太多的新观念和新思想，以至于当时的数学家（包括高斯和柯西等）都感到完全不能理解”，即使到了今日，伽罗瓦的理论量然经过了近200年的简化过程，仍然难以向低年级大学生完全讲述清楚，令人无限婉惜的是，伽罗瓦一生坎珂，热裹于政治活动，曾两次入狱，最后死于一场无谓的决斗，年仅21岁，但他在短促的一生中却给数学留下了巨大的思想财富，不仅改变146

了人们对数学的看法，也变革了整个数学学科的面貌，结合19世纪初的数学发展背景以及法国动荡不安的社会环境，人们不禁要问：他的天才从何而来？这恐怕是数学史上的文一个难解之谜