《抽象代数》课程教学资源（课件讲稿）2.4 循环群 2.5 变换群 2.6 置换群

抽象代数2.4~2.6

抽 象 代 数 2.4~2.6

2.4循环群1.理解生成子群、生成系、循环群的定义2.能表示循环群中的元素，知道循环群的生成元3.理解在同构意义下，循环群只有两类4.掌握循环群子群的情况

2.4 循环群 1. 理解生成子群、生成系、循环群的定义 2. 能表示循环群中的元素，知道循环群的生成元 3. 理解在同构意义下，循环群只有两类 4. 掌握循环群子群的情况

2.4循环群设M是群G的非空子集，则G中包含M的子群一定存在，G本身就是一个，G中所有包含M的子群的交记作，则。易知G中任意一个包含M的子群必然包含所以是G中包含M的最小子群

2.4 循环群 设M是群G的非空子集， 则G中包含M的子群一定存在，G本身就是一个， G中所有包含M的子群的交记作，则 ≤G，且 。 易知G中任意一个包含M的子群必然包含， 所以是G中包含M的最小子群。 M M   

2.4循环群定义：称为群G中由子集M生成的子群，并称M是的一个生成系1）一个群或子群可能有很多个生成系2)M中元素可以是无限个，也可以是有限个，当M={al, a2,..., an}时,也记为，特别M=[a}时，记=，这就是循环群

2.4 循环群 定义：称为群G中由子集M生成的子群，并 称M是的一个生成系。 1) 一个群或子群可能有很多个生成系。 2) M中元素可以是无限个，也可以是有限个，当 M={a1, a2, ., an}时，也记为，特别M={a}时，记=，这就是循环 群

2.4循环群定义：如果群G可以由一个元素a生成，即G=，则称G为由a生成的循环群，并称a为G的一个生成元G=(a)={...,a-?, a-l, a° =e, a, α?, ...若群的运算是加法G=(a)=}..., -2a, -a, Oa = 0, a, 2a, ...}

2.4 循环群 定义：如果群G可以由一个元素a生成，即 G=，则称G为由a生成的循环群，并称a为G 的一个生成元。 若群的运算是加法 2 1 0 2 G a a a a e a a = { , , , , , } − −   = = ， G a a a a a a = ={ 2 , , 0 0, , 2 , }   − − =

2.4循环群循环群必为交换群例1：(Z,+)是循环群，Z==。例2：Un是n阶循环群，任意一个n次单位原根都是它的生成元

2.4 循环群 循环群必为交换群 例1：(Z, +)是循环群，Z==。 例2：Un是n阶循环群，任意一个n次单位原根都 是它的生成元

2.4循环群定理：1)当[αl=+8时:.0=e.a.aG=(a)={:为无限循环群，且与(Z,+)同构2)当a=n时,G=(a)={e, a, a?, ..为n阶循环群，且与Un同构

2.4 循环群 定理：1) 当 时， 为无限循环群，且与(Z, +)同构。 2) 当 时， 为n阶循环群，且与Un同构。 a = + 2 1 0 2 G a a a a e a a = ={ , , , , , } − −   = ， a n = 2 1 = ={ , , , } n G a e a a a −  

2.4循环群由此定理可知，无限循环群彼此同构，有限同阶循环群彼此同构，因此，在同构的意义下，循环群只有两种，即(Z,+)和Un(nEZ+)推论：n阶群G是循环群G有n阶元素。对n阶循环群，有且只有n阶元为生成元

2.4 循环群 由此定理可知，无限循环群彼此同构，有限同阶 循环群彼此同构，因此，在同构的意义下，循环 群只有两种，即(Z, +)和Un( )。 推论：n阶群G是循环群G有n阶元素。 对n阶循环群，有且只有n阶元为生成元。 n Z+ 

2.4循环群对于正整数n，Eular函数β(n)是小于等于n的正整数中与n互质的数的数量。定理：无限循环群有两个生成元，即a与a-1，n阶循环群有β(n)个生成元例3：4、5、6阶循环群分别有2、4、2个生成元

2.4 循环群 对于正整数n，Eular函数φ(n)是小于等于n的正 整数中与n互质的数的数量。 定理：无限循环群有两个生成元，即a与a -1 ，n 阶循环群有φ(n)个生成元。 例3：4、5、6阶循环群分别有2、4、2个生成元

2.4循环群定理：循环群的子群仍为循环群。定理：无限循环群G有无限多个子群G=为n阶循环群时，对n的每个正因数knG有且只有一个k阶子群，为

2.4 循环群 定理：循环群的子群仍为循环群。 定理：无限循环群G有无限多个子群 G=为n阶循环群时，对n的每个正因数k， G有且只有一个k阶子群，为 。 n k   a