《抽象代数》课程教学资源（课件讲稿）4.4 模n剩余类环 4.5 环与域上的多项式环 4.6 理想 4.7 商环与环同态基本定理

抽象代数4.4~4.7

抽 象 代 数 4.4~4.7

4.4模n剩余类环1.掌握模n剩余类环的定义与性质2.理解环同态与同构的定义与性质3.了解同构意义下的循环环

4.4 模n剩余类环 1. 掌握模n剩余类环的定义与性质 2. 理解环同态与同构的定义与性质 3. 了解同构意义下的循环环

4.4模n剩余类环取定一个正整数n，被n整除余0的所有整数放在一起组成集合0被n除余1的所有整数组成集合1被n除余n-1的所有整数组成集合 n-1它们分别是一个模n剩余类n个剩余类放在一起组成集合Zn={0,1,..., n-1}

4.4 模n剩余类环 取定一个正整数n， 被n整除余0的所有整数放在一起组成集合 被n除余1的所有整数组成集合 . 被n除余n-1的所有整数组成集合 它们分别是一个模n剩余类 n个剩余类放在一起组成集合 Zn={ , , ., } 0 1 n −1 0 1 n −1

4.4模n剩余类环除了这n个外，其它的必与这n个中的一个相等i=jn(i-j)j=ij在Zn上定义：i+j=itj能够证明它们是Zn上的运算。可以证明Zn关于这两个运算是一个环，称为模n剩余类环

4.4 模n剩余类环 除了这n个外，其它的必与这n个中的一个相等 在Zn上定义 ： 能够证明它们是Zn上的运算。可以证明Zn关于 这两个运算是一个环，称为模n剩余类环。 i j n i j =  − ( )i j i j + = + i j ij =

4.4模n剩余类环模n剩余类环：集合 Zn={0，1,...，n-1}运算T+j=i+jij=i有限环，n阶有单位元1交换环循环环(Z,,+)=<1)特征是n

4.4 模n剩余类环 模n剩余类环： 集合 Zn={ , , ., } 运算 有限环，n阶 有单位元 交换环 循环环 特征是n 1 ( , ) 1 Z n + =   0 1 n −1 i j i j + = + i j ij =

4.4模n剩余类环对任意整数i和q，有(i, n)=(i+nq,n)。因此，在剩余类i中，若一个整数同n互素，则i中所有数都同n互素，此时就说类i与n互素。在n个剩余类0，1，，n-1中有β(n)个与n互素定理：Zn中非零元i如果与n互素，则为可逆元如果不与n互素，则为零因子。由此知道Zn的单位群是一个β(n)阶交换群

4.4 模n剩余类环 对任意整数i和q，有(i, n)=(i+nq, n)。因此，在剩 余类 中，若一个整数同n互素，则 中所有数 都同n互素，此时就说类 与n互素。 在n个剩余类 , , ., 中有φ(n)个与n互素。 定理：Zn中非零元 如果与n互素，则为可逆元， 如果不与n互素，则为零因子。 由此知道Zn的单位群是一个φ(n)阶交换群。 i i i 0 1 n −1 i

4.4模n剩余类环定理：若p是素数，则Zp是一个域，若n是合数，则Z,有零因子，从而不是域。例1：Zs是域。例2：Z6是环不是域

4.4 模n剩余类环 定理：若p是素数，则Zp是一个域，若n是合数， 则Zn有零因子，从而不是域。 例1：Z5是域。 例2：Z6是环不是域

4.4模n剩余类环定义：如果有一个环R到R的映射β，满足对任意a,bER，有β(ab)=p(a)p(b)β(a+b)=β(a)+β(b),则称β为R到的一个同态映射。如果有一个R到R的同态满射，则称R与R同态记为R~R

4.4 模n剩余类环 定义：如果有一个环R到 的映射φ，满足对任 意a, b∈R，有 φ(a+b)=φ(a)+φ(b)，φ(ab)=φ(a)φ(b) 则称φ为R到 的一个同态映射。 如果有一个R到 的同态满射，则称R与 同态， 记为 R R R R R

4.4模n剩余类环如果β是环R到尺R的同态双射，则称β为环R到R的同构映射，此时，称R与R同构，记作R=R当R=R时，上面的同态映射称为R的自同态映射，同构映射称为R的自同构映射当R、R为除环或域时，有同样定义

4.4 模n剩余类环 如果φ是环R到 的同态双射，则称φ为环R到 的同构映射，此时，称R与 同构，记作 当 时，上面的同态映射称为R的自同态映 射，同构映射称为R的自同构映射。 当R、 为除环或域时，有同样定义。 R R R R R  R R= R

4.4模n剩余类环定理：设R与R是各有两个代数运算的集合且 R～R，则当R是环时，R也是一个环。定理：设R与 R是两个环，且 R～R，则R的零元的像是尺的零元，R的元素a的负元的像是a的像的负元；当R是交换环时，R也是交换环，当R有单位元时，R也有，并且单位元的像是单位元

4.4 模n剩余类环 定理：设R与 是各有两个代数运算的集合， 且 ，则当R是环时， 也是一个环。 定理：设R与 是两个环，且 ，则R的零 元的像是 的零元，R的元素a的负元的像是a的 像的负元；当R是交换环时， 也是交换环，当 R有单位元时， 也有，并且单位元的像是单位 元。 R R R R R R R R R R