《抽象代数》课程电子教案（讲义，共四章）

抽象代数教案第一章 基本概念$1.1集合教学目的：1.复习集合，子集，集合相等等概念2.复习集合关系及运算的定义和性质3.理解阶、差集、幂集的定义教学重点：集合的关系及运算教学难点：无在很多课程中都学过有关集合的知识，一些基本的概念和结论都很熟悉，这里，不详细回顾，只对一些概念稍作巩固。1、用Z表示整数集，乙表示非零整数集，Z表示正整数集；类似地，用Q表示有理数集，Q*表示非零有理数集，Q+表示正有理数集；还有R、R*、Rt、Z、Z、Z等。2、 A=BA≤B, 且A2B3、如果集合A含有无穷多个元素，则记为A=o；如果A含有n个元素，则记为AFn。A称为集合A的阶，即为集合A中元素的个数。4、称集合A-B=(aaEA，且aB)为集合A与B的差集。易知有A-B=ANB。5、集合A有很多子集，将A的所有子集放在一起（包括空集Φ）也组成一个集合，称为A的幂集，记作P(A)。易知=n时，有P(4)=2

抽象代数 教案 - 1 - 第一章 基本概念 §1.1 集 合 教学目的： 1. 复习集合，子集，集合相等等概念 2. 复习集合关系及运算的定义和性质 3. 理解阶、差集、幂集的定义 教学重点： 集合的关系及运算 教学难点： 无 - 在很多课程中都学过有关集合的知识，一些基本的概念和结论都很熟悉，这里，不详细 回顾，只对一些概念稍作巩固。 1、用Z 表示整数集，Z *表示非零整数集，Z +表示正整数集；类似地，用 Q 表示有理数集， Q *表示非零有理数集，Q +表示正有理数集；还有 R、R *、R +、Z、Z *、Z +等。 2、 A = B  A  B，且A  B 3、如果集合 A 含有无穷多个元素，则记为 A = ；如果 A 含有 n 个元素，则记为 A =n 。 A 称为集合 A 的阶，即为集合 A 中元素的个数。 4、称集合 A − B = {a a  A，且a  B}为集合 A 与 B 的差集。易知有 A− B = A B。 5、集合 A 有很多子集，将 A 的所有子集放在一起(包括空集 )也组成一个集合，称为 A 的幂集，记作 P(A)。易知 A =n 时，有 P( A) =2n

抽象代数教案s1.2映射与变换教学目的：1.理解映射，单射，满射，双射，逆映射、变换、置换、映射乘法的定义及例子2.理解映射的象及逆象的定义3.了解置换的多种写法教学重点：映射、映射乘法教学难点：无映射是函数概念的推广，函数的定义中要求有定义域和值域两个数集，而映射中，是一般的集合。1、设A、B是两个集合，如果有一个法则，它对于A中每个元素x，在B中都有一个唯一确定的元素V与它对应，则称为从A到B的映射。这种关系常表示为:A→B或或9y=o(x)o:x-yx→y且称y为x在?之下的像，称x为y在之下的原像或逆像。由定义可知，映射必须满足三个条件：1)A中每个元素都有像，2)A中元素的像是唯一的，3)A中元素的像在B里。2、映射是函数概念的推广（如图)，是对应法则，A是定义域，B包含值域，根据B是否与值域相等，可区分映射是否为满射。A中不同元素的像可能相同，也可能不同，据此可区分映射是否为单射。2

- 2 - 抽象代数 教案 §1.2 映射与变换 教学目的： 1. 理解映射，单射，满射，双射，逆映射、变换、置换、映射乘法的定义及例子 2. 理解映射的象及逆象的定义 3. 了解置换的多种写法 教学重点： 映射、映射乘法 教学难点： 无 - 映射是函数概念的推广，函数的定义中要求有定义域和值域两个数集，而映射中，是一 般的集合。 1、设 A、B 是两个集合，如果有一个法则 φ，它对于 A 中每个元素 x，在 B 中都有一个 唯一确定的元素 y 与它对应，则称 φ 为从 A 到 B 的映射。这种关系常表示为  : A →B x → y 或 φ: x→y 或 y=φ(x) 且称 y 为 x 在 φ 之下的像，称 x 为 y 在 φ 之下的原像或逆像。 由定义可知，映射必须满足三个条件： 1) A 中每个元素都有像， 2) A 中元素的像是唯一的， 3) A 中元素的像在 B 里。 2、映射是函数概念的推广(如图)，φ 是对应法则，A 是定义域，B 包含值域，根据 B 是 否与值域相等，可区分映射是否为满射。A 中不同元素的像可能相同，也可能不同，据此可 区分映射是否为单射

抽象代数教案数集定义域值域函数00定义域值域映射般集合定义：设为A到B的一个映射，如果B中每个元素在A中都有逆像，则称为A到B的一个满射。如果A中不同的元素在B中的像也不同，则称是从A到B的一个单射。如果既是满射又是单射，则称是从A到B的一个双射，或一一映射。3、设有映射0:A→B，AcA，BB。用αA)=(a(x)eA)表示A中所有元素在x-y之下的像的全体组成的集合，称为Ai在之下的像，(A)B。用(B,)=(xe(x)Bi)表示Bi中所有元素在之下的逆像全体组成的集合，称为BI在之下的逆像，（B）A。易知，β是满射β(A)=B。定理：设A、B是两个有限集合，耳，是A到B的一个映射，则?是单射β是满射β是双射0l:B-→AP:A→B4、设也是一个映射，且为双射（思考：是双射（思考：为什么？），则x-→yy→x为什么？），称l为0的逆映射。注意：双射才有逆映射，逆映射也为双射，且有(α)-=。5、设与t都是A到B的映射，如果对任意xEA，都有a(x)=(x)，则称α与t相等，记作T。T:A→B0:B→CA→B→C6、设是一个由A到C的映射，记为oT，,则x→t(x)y-→o()x-→ t(x)→o(t(x))-3-

- 3 - 抽象代数 教案 1 映射 定义：设 φ 为 A 到 B 的一个映射，如果 B 中每个元素在 A 中都有逆像，则称 φ 为 A 到 B 的一个满射。如果 A 中不同的元素在 B 中的像也不同，则称 φ 是从 A 到 B 的一个单射。如果 φ 既是满射又是单射，则称 φ 是从 A 到 B 的一个双射，或一一映射。  : A → B 3、设有映射 ， A  A ，B  B 。用（A ) = {(x ) x  A } 表示 A 中所有元素在 x → y 1 1 1 1 1 φ 之下的像的全体组成的集合，称为 A1在 φ 之下的像 ，(A1 )  B。用 （-1 B1 ) = {x A (x)  B1} 表示 B1 中所有元素在 φ 之下的逆像全体组成的集合，称为 B1 在 φ 之下的逆 像 ， -1 (B )  A 。 易知，φ 是满射φ(A)=B。 定理：设 A、B 是两个有限集合，且 A = B ，φ 是 A 到 B 的一个映射，则  : A → B φ 是单射φ 是满射φ 是双射  -1 : B → A 4、设 x → y 是双射(思考：为什么？)，则 y → x 也是一个映射，且为双射(思考： 为什么？)，称 φ -1 为 φ 的逆映射。 注意：双射才有逆映射，逆映射也为双射，且有(φ -1 ) -1=φ。 5、设 σ 与 都是 A 到 B 的映射，如果对任意 x  A ，都有 σ(x)=(x)，则称 σ 与 τ 相等，记 作 σ=τ。  : A → B  : B →C A   6、设 、 ，则 → B → C 是一个由 A 到 C 的映射，记为 στ， x →(x) y →(y) x → (x)→ ((x)) 函数 数集 定 义 域 φ 值 域 定 义 域 φ 值 域 一般集合

抽象代数教案即OT:A→C，并称 ot为与的合成或乘积，如图。显然有ot(x)=o(t(x)。x→ o(t(x))t(x)xB0OTC(t(x)7、集合A到自身的映射，叫做集合A的变换，类似可定义单变换，满变换，双射变换(-一变换)等。8:A→A它是一个将集合A每个元素映为自身的变换，称为A的恒等变换，记为x>x变换。定理：含有n个元素的集合共有n!个双射变换。有限集合M=[1,2，..，n)的双射变换称为一个n元置换，且常表示为r1n= (1) n)((2)(例如，n=3时，M=(1,2,3)有3！=6个3元置换(123)(123)(1 2 3)(1 23)(123)(123)DP?(123),"2132J,"(213),"6(231,5（312],（3213要注意每个n元置换都有nl种写法，但习惯上第一行顺序排列，如0-(±3 )-(1 3 2)-(2 1 )-(2 3 -( 1 2)-(° 2 1)4

- 4 - 抽象代数 教案              2 3 1            2 1 3 32 1 31 2 12 3 1 2 2 4 即 : A → C ，并称 στ 为 σ 与 τ 的合成或乘积，如图。显然有 στ(x)=σ(τ(x))。 x →  ((x)) 7、集合 A 到自身的映射，叫做集合 A 的变换，类似可定义单变换，满变换，双射变换(一 一变换)等。 将集合 A 每个元素映为自身的变换，称为 A 的恒等变换，记为  : A → A ，它是一个一一 x → x 变换。 定理：含有 n 个元素的集合共有 n!个双射变换。 有限集合 M={1, 2, ., n}的双射变换 φ 称为一个 n 元置换，且常表示为 =  1 2 n   (1) (2) (n)    例如，n=3 时，M={1, 2, 3}有 3！=6 个 3 元置换  = 1 2 3  = 1 2 3  = 1 2 3  = 1 2 3  = 1 2 3  = 1 2 3 1  1 2 3  ， 2  1 3 2  ， 3  2 1 3  ， 4  2 3 1  ， 5  3 1 2 ， 6  3 2 1  要注意每个 n 元置换都有 n!种写法，但习惯上第一行顺序排列，如  = 1 2 3 = 1 3 2 = 2 1 3 = 2 3 1 = 3 1 2  = 3 2 1              σ(τ(x)) x A τ B σ στ C τ(x)

抽象代数教案$1.3代数运算教学内容：1.理解运算的定义2.理解变换的乘法是运算教学重点：运算的定义教学难点：变换的乘法是运算1、运算就是通常的运算加，减，乘，除等的推广，简单说运算就是由两个东西算出一个新的来，下面是运算的定义。定义：设M是一个集合，如果有一个法则，它对M中任意两个有次序的元素α和b，在M中都有唯一一个确定的元素d与它们对应，则称这个法则是M的一个运算。如果用“"表示定义中所说的法则，即运算，由α与b通过。"得到的d记为αob=d，运算也可以用其他符号表示。注意d必须属于M。有代数运算的集合，称为代数系统。例1：普通加法、减法、乘法都是Z、Q、R、C的代数运算。例2：普通减法不是Z*的代数运算，普通除法gb=二不是Q的代数运算。a例3：法则aob=a+b2不是Z的代数运算。例4：法则αob=ab+1是Z、N的代数运算；法则αob=a+b-10是Z的代数运算，不是N的代数运算。例5：法则AB=AB是数域F上全体n阶方阵的集合的代数运算。2、设M是一个集合，用T(M)表示集合M的全体变换作成的集合，对任意的t，ET（M)，乘积ot也是M的一个变换，满足对任意的xeM，有ot(x)=o(t(x)，即αteT(M)，称之为变换的乘法，是T(M)的一个代数运算。用ε表示M上的恒等变换，对任意的αeT(M)，则对任意的xEM，有8(x)=co(x)=a(x),所以08=800。用S(M)表示M的全体双射变换组成的集合，即S(M)≤T(M），可以证明两个双射变换-5-

- 5 - 抽象代数 教案 b = a 2 + b 2 §1.3 代数运算 教学内容： 1. 理解运算的定义 2. 理解变换的乘法是运算 教学重点： 运算的定义 教学难点： 变换的乘法是运算 - 1、运算就是通常的运算加，减，乘，除等的推广，简单说运算就是由两个东西算出一个新 的来，下面是运算的定义。 定义：设 M 是一个集合，如果有一个法则，它对 M 中任意两个有次序的元素 a 和 b，在 M 中都有唯一一个确定的元素 d 与它们对应，则称这个法则是 M 的一个运算。 如果用“◦”表示定义中所说的法则，即运算，由 a 与 b 通过“◦”得到的 d 记为 a◦b=d，运算 也可以用其他符号表示。注意 d 必须属于 M。 有代数运算的集合，称为代数系统。 例 1：普通加法、减法、乘法都是 Z、Q、R、C 的代数运算。 例 2：普通减法不是 Z +的代数运算，普通除法a b = b 不是 Q 的代数运算。 a 例 3：法则a 不是 Z 的代数运算。 例 4：法则 a◦b=ab+1 是 Z、N 的代数运算；法则 a◦b=a+b-10 是 Z 的代数运算，不是 N 的代数运算。 例 5：法则 A B = A B 是数域 F 上全体 n 阶方阵的集合的代数运算。 2、设M 是一个集合，用 T(M)表示集合 M 的全体变换作成的集合，对任意的， T (M )， 乘积 στ 也是 M 的一个变换，满足对任意的 x  M ，有 στ(x)=σ(τ(x))，即 T (M ) ，称之为 变换的乘法，是 T(M)的一个代数运算。 用 ε 表示 M 上的恒等变换，对任意的 T (M ) ，则对任意的 x  M ，有σε(x)=εσ(x)=σ(x)， 所以 σε=εσ=σ。 用 S(M)表示 M 的全体双射变换组成的集合，即 S(M )  T (M ) ，可以证明两个双射变换

抽象代数教案的乘积仍是双射变换，即变换的乘积也是S(M)的一个代数运算。，其中=(123)例6：对集合M=(1,2,3)，有S(M)=(g，9p,p，P，@，234561(123)_(1 2 3)(1 2 3)可以计算(1 23)(123)(123)22213222133313n1出0304=02，403=063、对有限集合的代数运算，常列成一个表，如对M={ai,a2，,an)上的代数运算aioaj=aij,有ala2analalla12aina2a21a22a2nan2ananlann这种表称为乘法表。例7：集合M={e,a,b,c)上有乘法表eabb1a

- 6 - 抽象代数 教案             的乘积仍是双射变换，即变换的乘积也是 S(M)的一个代数运算。 例 6：对集合 M={1, 2, 3}，有 S(M)={φ , φ , φ , φ , φ , φ }，其中 = 1 2 3 ， 1 2 3 4 5 6 1  1 2 3   = 1 2 3 ， = 1 2 3 ， = 1 2 3 ， = 1 2 3 ， = 1 2 3 。可以计算 2  1 3 2  3  2 1 3  4  2 3 1  5  3 1 2  6  3 2 1  出 φ3φ4=φ2，φ4φ3=φ6 。 3、对有限集合的代数运算，常列成一个表，如对 M={a1, a2, ., an}上的代数运算 ai◦aj=aij， 有 ◦ a1 a2 . an a1 a11 a12 . a1n a2 a21 a22 . a2n . . . . . an an1 an2 . ann 这种表称为乘法表。 例 7：集合 M={e, a, b, c}上有乘法表 • e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e

抽象代数教案$1.4运算律教学内容：1.了解结合律、交换律、分配率的定义2.理解满足结合律、交换律、分配率的意义3.知道变换的乘法满足结合律教学重点：运算律的定义及意义教学难点：无1、设集合M有运算。，若对任意的a,b,ceM有a(boc)-(aob)oc则称运算。满足结合律。例1：数、多项式、矩阵、函数等对通常的加法和乘法都满足结合律。例2：正整数集上的运算αob=ab+1不满足结合律。例3：变换的乘法满足结合律。n个元素a,a2，…,an相乘时，可以有很多种加括号的方式，若运算满足结合律，可以证明无论怎样加括号结果都相等，通常这一相等的结果写成a1a2°..an。2、如果集合M的代数运算·满足对任意的a,beM有qob=ba则称运算。满足交换律。当集合M的运算。满足结合律和交换律时，M中任意n个元素相乘时可以任意结合，任意交换次序，结果不变。3、设集合M有两个代数运算。和，对任意的a,b,cEM，如果有a(b田c)=(aob)田(aoc)则称。对④满足左分配律，如果(b田c)oa=(boa)田(coa)则称。对④满足右分配律。当满足交换律时，上面两个分配律实际上为一个。设集合M有两个代数运算。和④，④满足结合律，而。对④满足左分配律，则任意的-7-

- 7 - 抽象代数 教案 §1.4 运算律 教学内容： 1. 了解结合律、交换律、分配率的定义 2. 理解满足结合律、交换律、分配率的意义 3. 知道变换的乘法满足结合律 教学重点： 运算律的定义及意义 教学难点： 无 - 1、设集合 M 有运算◦，若对任意的a, b, c  M 有 a◦(b◦c)=(a◦b)◦c 则称运算◦满足结合律。 例 1：数、多项式、矩阵、函数等对通常的加法和乘法都满足结合律。 例 2：正整数集上的运算 a◦b=ab+1 不满足结合律。 例 3：变换的乘法满足结合律。 n 个元素 a1, a2, ., an 相乘时，可以有很多种加括号的方式，若运算满足结合律，可以证 明无论怎样加括号结果都相等，通常这一相等的结果写成 a1◦a2◦.◦an。 2、如果集合 M 的代数运算◦满足对任意的a, b  M 有 a◦b=b◦a 则称运算◦满足交换律。 当集合 M 的运算◦满足结合律和交换律时，M 中任意 n 个元素相乘时可以任意结合，任 意交换次序，结果不变。 3、设集合 M 有两个代数运算◦和⊕，对任意的a, b, c  M ，如果有 则称◦对⊕满足左分配律，如果 则称◦对⊕满足右分配律。 a◦(b⊕c)=(a◦b)⊕(a◦c) (b⊕c)◦a=(b◦a)⊕(c◦a) 当◦满足交换律时，上面两个分配律实际上为一个。 设集合 M 有两个代数运算◦和⊕，⊕满足结合律，而◦对⊕满足左分配律，则任意的

抽象代数教案a,b,b,"..b,eM有ao(bi甲b2 甲... 甲bn)(aobi1)甲(aob2)甲... 甲(aobn)即可以去括号。对右分配律有类似结论-8-

- 8 - 抽象代数 教案 a, b1 , b2 , bn  M 有 a◦(b1⊕b2⊕.⊕bn)=( a◦b1)⊕(a◦b2)⊕.⊕(a◦bn) 即可以去括号。对右分配律有类似结论

抽象代数教案$1.5同态与同构教学内容：1.理解同态，同构的定义与性质2.知道同构意义下，同构的代数系统看做相同的教学重点：同态，同构的定义与性质教学难点：无1、设集合M与M各有代数运算。与，且是M到M的映射，如果保持运算，即对任意的a,beM，总有(ab)=a)(b)，则称为代数系统M到M的一个同态映射，若?又是满射，则β称为同态满射。如果M到M存在同态满射，则称M与M同态，记为MUIM。例1：令M是数域F上全体n阶方阵组成的集合，考虑矩阵普通乘法，令M为数域F运算为数的普通乘法，则βA-→|A是M到M的同态满射。2、定理：设集合M与M各有代数运算。与，且MIM，则当满足结合律时，也满足结合律；2当满足交换律时，也满足交换律。定理：设集合M有代数运算。与④，M有代数运算与④，是M到M的满射，且对。与及④与④同态，则当对④满足左(右)分配律时，对④也满足左(右)分配律。这两个定理说明两个代数系统同态时，前面的满足什么运算律，后面的也满足。3、设是M到M的一个(关于代数运算。与)同态满射，如果又是单射(即β是双射),则称是M到M的一个同构映射。如果集合M到M存在同构映射，就称M与M同构，记为M=M，否则称M写M不同构。M到自身的同态映射，称为M的自同态映射，同样，M到自身的同构映射，称为M的自同构映射。-9-

- 9 - 抽象代数 教案 M M §1.5 同态与同构 教学内容： 1. 理解同态，同构的定义与性质 2. 知道同构意义下，同构的代数系统看做相同的 教学重点： 同态，同构的定义与性质 教学难点： 无 - 1、设集合 M 与M 各有代数运算◦与 ，且 φ 是 M 到 M 的映射，如果 φ 保持运算，即对 任意的a, bM ，总有(a b) =(a) (b) ，则称 φ 为代数系统 M 到 M 的一个同态映射 ，若 φ 又是满射，则 φ 称为同态满射。如果M到 M 存在同态满射，则称 M 与 M 同态，记为 M 。 例 1：令 M 是数域 F 上全体 n 阶方阵组成的集合，考虑矩阵普通乘法，令 M 为数域 F， 运算为数的普通乘法，则：A → A 是 M 到M 的同态满射。 2、定理：设集合 M 与 M 各有代数运算◦与 ，且 M ，则 1) 当◦满足结合律时， 也满足结合律； 2) 当◦满足交换律时， 也满足交换律。 定理：设集合 M 有代数运算◦与⊕， M 有代数运算 与，φ 是 M 到 M 的满射，且对◦ 与 及⊕与同态，则当◦对⊕满足左(右)分配律时， 对也满足左(右)分配律。 这两个定理说明两个代数系统同态时，前面的满足什么运算律，后面的也满足。 3、设 φ 是 M 到 M 的一个(关于代数运算◦与 )同态满射，如果 φ 又是单射(即 φ 是双射)， 则称 φ 是 M 到 M 的一个同构映射。 如果集合 M 到 M 存在同构映射，就称 M 与 M 同构，记为M  M ，否则称 M 与 M 不同 构。 M 到自身的同态映射，称为 M 的自同态映射，同样，M 到自身的同构映射，称为 M 的 自同构映射

抽象代数教案例2：设M是整数集，M是偶数集。对于数的普通加法，映射p:n-2n是M到M的一个同构映射。对于数的普通乘法，映射不是M到M的同构映射。例3：令M是正有理数集，对于数的普通乘法，映射p:a-!中a是M的一个自同构映射。对于数的普通加法，映射β不是M的自同构映射。4、关于同构有下列结论：1）对代数系统M，总有M=M(e)(0、)2)若M=M，则M,=M3)若M=M，M=M，则M=M(o、 T, To).后面会知道同构关系是一种等价关系。5、若M-a,b,c,）有运算。，M={a,b,c..有运算，M=M，且a-→a，b-b，c→，.，则aob=cab-c由此可知除去元素本身的性质，代数运算名称，所用符号不同外，从运算的性质看M与M并没有什么本质区别。也正因为如此，在这门课中常把同构的代数系统等同起来，甚至不加区分。- 10 -

- 10 - 抽象代数 教案 例 2：设 M 是整数集， M 是偶数集。对于数的普通加法，映射 φ: n→2n 是 M 到 M 的一个同构映射。对于数的普通乘法，映射 φ 不是 M 到 M 的同构映射。 例 3：令 M 是正有理数集，对于数的普通乘法，映射  : a → 1 a 是 M 的一个自同构映射。对于数的普通加法，映射 φ 不是 M 的自同构映射。 4、关于同构有下列结论： 1) 对代数系统 M，总有 M  M (ε) 2) 若M1  M2 ，则M2  M1 (φ、φ -1 ) 3) 若 M1  M2 ， M2  M3 ，则M1  M3 (σ、τ，τσ) 后面会知道同构关系是一种等价关系。 5、若 M={a, b, c, .}有运算◦，M = a , b , c , 有运算 ， M  M ，且a → a ，b → b ， c → c ，.，则 a 由此可知除去元素本身的性质，代数运算名称，所用符号不同外，从运算的性质看 M 与 M 并 没有什么本质区别。也正因为如此，在这门课中常把同构的代数系统等同起来，甚至不加区 分。 b = c a b = c