《抽象代数》课程教学资源（课件讲稿）2.7 陪集、指数和Lagrange定理

抽象代数2.7

抽 象 代 数 2.7

2.7陪集、指数和Lagrange定理1.理解左、右陪集的定义及性质2.理解指数的定义，Lagrange定理3.知道有限群的子群的和元素的阶都整除群的阶4.理解有限子群乘积的阶同子群阶的关系5.知道素数阶群是循环群，知道pg阶群子群情况

2.7 陪集、指数和Lagrange定理 1. 理解左、右陪集的定义及性质 2. 理解指数的定义，Lagrange定理 3. 知道有限群的子群的和元素的阶都整除群的阶 4. 理解有限子群乘积的阶同子群阶的关系 5. 知道素数阶群是循环群，知道pq阶群子群情况

2.7陪集、指数和Lagrange定理设H是群G的一个子群，αEG，则称子集aH =(axxe H)为群G关于子群H的一个左陪集，而称Ha = (xaxE H)为群G关于子群H的一个右陪集

2.7 陪集、指数和Lagrange定理 设H是群G的一个子群， ，则称子集 为群G关于子群H的一个左陪集，而称 为群G关于子群H的一个右陪集。 a G aH ax x H =  { } Ha xa x H =  { }

2.7陪集、指数和Lagrange定理左、右陪集是群的特殊子集，是集合乘积的特殊情况。例1: H={(1), (1 2)}≤S,(1 3)H={(13), (1 2 3)), (2 3)H={(2 3), (1 3 2))H(1 3)={(1 3), (1 3 2)), H(2 3)={(2 3), (1 2 3))

2.7 陪集、指数和Lagrange定理 左、右陪集是群的特殊子集，是集合乘积的特殊 情况。 例1：H={(1), (1 2)}≤S3 (1 3)H={(1 3), (1 2 3)}，(2 3)H={(2 3), (1 3 2)} H(1 3)={(1 3), (1 3 2)}，H(2 3)={(2 3), (1 2 3)}

2.7陪集、指数和Lagrange定理左陪集aH与右陪集Ha一般并不相等但有时也可能相等上例中(1)H=H(1)特别当G是交换群时，总有aH-Ha后面会学到H是正规子群时，总有aH-Ha

2.7 陪集、指数和Lagrange定理 左陪集aH与右陪集Ha一般并不相等 但有时也可能相等： 上例中(1)H=H(1) 特别当G是交换群时，总有aH=Ha 后面会学到H是正规子群时，总有aH=Ha

2.7陪集、指数和Lagrange定理: aEaHaeHa性质1:性质2：aeH-aH=HaEHHa=H性质3：beaH≤bH=aHbEHaEHb=Ho性质4:aH=bHa-'beHb-'aeHTHa-Hbba-EHab-'eH)性质5：若则aH=bHaHnbH+鸟[若HanHb+，则Ha-Hbl

2.7 陪集、指数和Lagrange定理 性质1： [ ] 性质2： [ ] 性质3： [ ] 性质4： ( ) [ ( )] 性质5：若 ，则aH=bH [若 ，则Ha=Hb] a aH  a Ha  a H aH H   = a H Ha H   = b aH bH aH   = b Ha Hb Ha   = 1 aH bH a b H =   − 1 b a H −  1 Ha Hb ba H =  − 1 ab H −  aH bH   Ha Hb  

2.7陪集、指数和Lagrange定理每个元素必属于某一个左陪集，而且不能属于不同左陪集，因此，G的全体关于H的不同左陪集构成群G的一个分类。如果用aH、bH、cH...表示子群H在G中的所有不同的左陪集，则有等式，G =aHUbHUcHU..称其为群G关于子群H的左陪集分解，而称{a,b,c，}为G关于H的一个左陪集代表系

2.7 陪集、指数和Lagrange定理 每个元素必属于某一个左陪集，而且不能属于不 同左陪集，因此，G的全体关于H的不同左陪集 构成群G的一个分类。 如果用aH、bH、cH.表示子群H在G中的所有 不同的左陪集，则有等式 ， 称其为群G关于子群H的左陪集分解，而称{a, b, c, .}为G关于H的一个左陪集代表系。 G aH bH cH =

2.7陪集、指数和Lagrange定理子群H本身是G的一个左陪集，但G的其他左陪集由于没有单位元，都不是子群

2.7 陪集、指数和Lagrange定理 子群H本身是G的一个左陪集，但G的其他左陪 集由于没有单位元，都不是子群

2.7陪集、指数和Lagrange定理定理：设H是群G的一个子群，又令R=(HalaeG)L=(aH|aeG)则在L与R之间存在一个双射，从而左、右陪集的个数或者都无限，或者都有限且相等。由此定理可知，由G的左陪集分解，立即可称G的一个右陪集分解。或者说由G关于H的一个左陪集代表系{a,b,c,…}立即可得相应的一个右陪集代表系{a", bl, cl,.}]

2.7 陪集、指数和Lagrange定理 定理：设H是群G的一个子群，又令 则在L与R之间存在一个双射，从而左、右陪集 的个数或者都无限，或者都有限且相等。 由此定理可知，由G的左陪集分解 ，立即可称G 的一个右陪集分解 。或者说由G关于H的一个左 陪集代表系{a, b, c, .}立即可得相应的一个右陪 集代表系{a-1 , b-1 , c-1 , .}。 L aH a G =  { } R Ha a G =  { }

2.7陪集、指数和Lagrange定理例2: H={(1),(1 2))≤S3,有(1)H=(1 2)H=H,(1 3)H=(1 2 3)H=((1 3), (1 2 3)) ;(2 3)H-(1 3 2)H =(2 3), (1 3 2))H(1)=H(1 2)-H,H(1 3)=H(1 3 2)={(1 3), (1 3 2))H(2 3)=H(1 2 3)=((2 3), (1 2 3)) 。S, = (1I)HU(13)HU(132)H _S, = H(I)UH(13)UH(12 3)

2.7 陪集、指数和Lagrange定理 例2：H={(1), (1 2)}≤S3，有 (1)H=(1 2)H=H， (1 3)H=(1 2 3)H={(1 3), (1 2 3)}， (2 3)H=(1 3 2)H ={(2 3), (1 3 2)}， H(1)=H(1 2)=H， H(1 3)=H(1 3 2)={(1 3), (1 3 2)}， H(2 3)=H(1 2 3)={(2 3), (1 2 3)}。 3 S H H H = (1) (13) (13 2) 3 S H H H = (1) (13) (12 3)