《抽象代数》课程教学资源（课件讲稿）4.1 环的定义 4.2 环的零因子和特征 4.3 除环和域

抽象代数4.1~4.3

抽 象 代 数 4.1~4.3

4.1环的定义1.理解环的定义、例子及运算性质2.理解子环的定义及判定3.理解循环环的定义与性质

4.1 环的定义 1. 理解环的定义、例子及运算性质 2. 理解子环的定义及判定 3. 理解循环环的定义与性质

4.1环的定义一个交换群的代数运算称为加法并用+表示时称其为一个加群单位元用0表示，并称为零元[e，单位元]，有a+0=0+a=a[ae=ea=a]元素a的逆元用-a表示，并称为a的负元(a-，逆元)，有a+(-a)=-a+a=0[aa-l=a-"a=e]。记a-b=a+(-b)，称为a与b的差，此为减法运算

4.1 环的定义 一个交换群的代数运算称为加法并用+表示时， 称其为一个加群。 单位元用0表示，并称为零元[e，单位元]，有 a+0=0+a=a[ae=ea=a]。 元素a的逆元用-a表示，并称为a的负元(a-1，逆 元)，有a+(-a)=-a+a=0[aa-1=a-1 a=e]。 记a-b=a+(-b)，称为a与b的差，此为减法运算

4.1环的定义a-a=0-(-a)=aa+c=ba=b-c-(a+b)=-a-b-(a-b)=b-a

4.1 环的定义 a-a=0 -(-a)=a a+c=ba=b-c -(a+b)=-a-b -(a-b)=b-a

4.1环的定义对正整数n，有na=a+a+...+a0a=0(-n)a=n(-a)=-nama+na=(m+n)am(na)-(mn)an(a+b)=na+nb

4.1 环的定义 对正整数n ，有 na=a+a+.+a 0a=0 (-n)a=n(-a)=-na ma+na=(m+n)a m(na)=(mn)a n(a+b)=na+nb

4.1环的定义加群的非空子集H是子群Va,beH有a+beHVaEH有-aEHVa,bEH有a-beH

4.1 环的定义 加群的非空子集H是子群 , - a b H a b H a H a H   +      有 有     a b H a b H , - 有

4.1环的定义设非空集合R有两个代数运算，一个叫加法(用+表示)，另一个叫做乘法，若1)R对加法作成一个加群2)R对乘法满足结合律，即对任意的 a,b,ceR，有(ab)c=a(bc);3）乘法对加法满足左右分配律，即对任意的a,b,ceR，有a(b+c)=ab+ac, (b+c)a=ba+ca则称R对这两个代数运算作成一个环

4.1 环的定义 设非空集合R有两个代数运算，一个叫加法(用+ 表示)，另一个叫做乘法，若 1) R对加法作成一个加群， 2) R对乘法满足结合律，即对任意的 ， 有(ab)c=a(bc)， 3) 乘法对加法满足左右分配律，即对任意的 ，有 a(b+c)=ab+ac，(b+c)a=ba+ca 则称R对这两个代数运算作成一个环。 a b c R , ,  a b c R , , 

4.1环的定义如果环R的乘法满足交换律，即对任意的a,be R,有ab=ba，则称环R为交换环，否则称R为非交换环。若环R只含有有限个元素，则称R为有限环，否则称R为无限环。有限环R的元素个数称为R的阶，无限环的阶称为无限，R的阶用IR表示

4.1 环的定义 如果环R的乘法满足交换律，即对任意的 ， 有ab=ba，则称环R为交换环，否则称R为非交 换环。 若环R只含有有限个元素，则称R为有限环，否 则称R为无限环。有限环R的元素个数称为R的 阶，无限环的阶称为无限，R的阶用 表示。 a b R ,  R

4.1环的定义例1：Z、O、R、C关于数的普通加法、乘法都是换环，无限，可换。数域F上全体多项式集合，对多项式的普通加法、乘法是环，无限，可换。数域F上全体n阶方阵集合，对矩阵的普通加法，乘法是环，无限，一般非交换

4.1 环的定义 例1：Z、Q、R、C关于数的普通加法、乘法都 是换环，无限，可换。 数域F上全体多项式集合，对多项式的普通加法、 乘法是环，无限，可换。 数域F上全体n阶方阵集合，对矩阵的普通加法， 乘法是环，无限，一般非交换

4.1环的定义例2：设R是一个加群，对任意的 α,bER，规定ab=0，则R是一个环，称为零乘环，可换。例3：R是整数集，规定aob=a+b-aba@b=a+b-l是一个交换环

4.1 环的定义 例2：设R是一个加群，对任意的 ，规定 ab=0，则R是一个环，称为零乘环，可换。 例3：R是整数集，规定 是一个交换环。 a b R ,  a b a b  = + −1 a b a b ab = + −