《高等数学》课程教学资源（单元测试解答）第十一章 常微分方程 习题二 一阶线性微分方程

习题二一阶线性徽分方程 1.一阶线性微分方程y+px)y=q(x) 的通解 为 A B lmam-小s C D -[aaeo+c小soe-[+cs小te 2.己知ym=3,则y= 3 +C A.2 B+C2+C3 x2+C2x+C3 2 D3+父+C,x+C 2 2 3.微分方程y+2y=x的通解为y= 1 4.2 +Ce-x? B.2 C C.2+Ce* D.2+Ce- 4.某曲线上任意点处的切线斜率为该点横、纵坐标之和，且过点(0,0)，则该曲线方程 为一 A.y=x+1+e C By=x-1+e* c.y=-x-1+e* 0D.y=x+1+e

习题二 一阶线性微分方程 1. 一阶线性微分方程 的通解 为 . A. B. C. D. 2．已知 ， 则 ． A. B. C. D. 3．微分方程 的通解为 = ． A. B. C. D. 4．某曲线上任意点处的切线斜率为该点横、纵坐标之和，且过点（0 ，0），则该曲线方程 为______． A. B. C. D. y   p(x) y  q(x) ( )e d e ( )d ( )d              p x x p x x y q x x C ( )e d e ( )d ( )d             p x x p x x y p x x C ( )e d e ( )d ( )d             p x x p x x y q x x C C x  2 3 2 3 1 2 3 2 2 x C x C x C    2 e 2 1 x  C 2 e 2 1 x C   2 2 e x  C 2 2 e x C   x y  x 1 e x y  x 1 e x y  x 1 e x y x   1 e

1.D.解参见常数变易法的导出过程：y'+p(x)y=q(x)的通解为 9 2C解因为)广=3，由逐次积分降阶法得到y=。 2 -+C2x+C3,注意常数系数. 3.B.解 (1)求齐次微分方程y+2y=0的通解，由于少=-2y,分离变量得 dx =-2xdr,两边积分得n=-x2+C,,y=Ce(C为任意常数)： 少 (2)求非齐次微分方程y'+2xy=x的通解.设y=c(x)e为 y'+2xy=x的解，代入之，整理得：c'(x)e=2x,从而得c'(x)=xe, 解出c()=)e+C,因而，”= 2+Cer为方程y+2xy=x的通解 4.C.解设(x,y)为所求曲线上任意点的坐标，则曲线上任意点处的切线斜率为 业=x+,即业-y=x,y=C®为方程业-y=0的通解：再设y= d dx dx c(x)ex为方程 一y=x的解，代入之，整理得c'(x)e*=x,即c()=xe 解之y=(←e-e+Ce为方程业=x+y的通解因为小。=0，所以 dx C=1,所以y=(-xe-x-ex+1)e=-x-1+ex为所求曲线方程

1.D．解 参见常数变易法的导出过程： y   p(x) y  q(x) 的通解为 ( )e d e ( )d ( )d             p x x p x x y q x x C . 2. C．解 因为 y   3 , 由逐次积分降阶法得到 2 3 2 1 3 2 2 C x C x C x y     ，注意常数系数. 3. B．解 （１）求齐次微分方程 y   2xy  0 的通解. 由于 xy x y 2 d d   ，分离变量得  y dy 2xdx ，两边积分得 1 2 ln y  x C ， 2 e x y C   （ C 为任意常数）； （２）求非齐次微分方程 y   2xy  x 的通解.设 2 ( ) e x y c x   为 y   2xy  x 的解，代入之，整理得：    2 ( )e x c x 2x ，从而得 2 ( ) e x c  x  x ， 解出 c(x) = C x  2 e 2 1 ，因而， y = 2 e 2 1 x C   为方程 y   2xy  x 的通解. 4.C．解 设（ x, y ）为所求曲线上任意点的坐标，则曲线上任意点处的切线斜率为  x y d d x  y ，即 y x x y   d d ， y  x Ce 为方程 0 d d  y  x y 的通解；再设 y  x c(x) e 为方程 y x x y   d d 的解，代入之，整理得 c x x x ( )e  ，即 x c x x  ( )  e , 解之 x x x y  (xe  e  C)e   为方程 x y x y   d d 的通解.因为 0 0  x y ，所以 C 1 ，所以 x x x y  (xe  e 1)e   x  x 1 e 为所求曲线方程．