《高等数学》课程教学资源（学习指导和练习册）第六章 定积分

第六章定积分 一、本章学习要求与内容提要 (一)学习要求 1.理解定积分的概念及其性质. 2.了解定积分的几何意义. 3.了解变上限的定积分的性质，熟练掌握牛顿莱布尼茨公式. 4.掌握定积分的换元法和分部积分法. 5.了解无穷区间上的广义定积分的几何意义，牛顿-莱布尼茨 公式，定各分的换元法和分部积分法. 重点定积分的概念及定积分的几何意义，牛顿-莱布尼茨公 式，定积分的换元法和分部积分法 难点变上限的定积分，定积分的换元法和分部积分法

1 第六章 定积分 一、本章学习要求与内容提要 （一）学习要求 1．理解定积分的概念及其性质． 2．了解定积分的几何意义． 3．了解变上限的定积分的性质，熟练掌握牛顿莱布尼茨公式． 4．掌握定积分的换元法和分部积分法． 5．了解无穷区间上的广义定积分的几何意义，牛顿–莱布尼茨 公式，定各分的换元法和分部积分法． 重点 定积分的概念及定积分的几何意义，牛顿–莱布尼茨公 式，定积分的换元法和分部积分法． 难点 变上限的定积分，定积分的换元法和分部积分法．

(二)内容提要 1.曲边梯形 所谓曲边梯形是指由曲线、直线和数轴所围成的平面图形. 2.定积分的概念与定积分的几何意义 (1)定积分的概念 设函数y=f(x)在区间[a,b]上有定义，任取分点 a=x0<X1<x2<…<xm-1<xn=b, 把区间[a,b]分成n个小区间[x-x,]i=1,2…,n),记为 Ax=x-x-=12,…,m元=maxx} 再在每个小区间[x-x]上，任取一点，取乘积f(5)△x,的和式，即 2f5Ax· 如果元→0时上述极限存在（即这个极限值与[a,b]的分割及点： 的取法均无关)，则称函数f(x)在闭区间[a,b]上可积，并且称此极限 值为函数fx)在[a,b1上的定积分，记做∫心fx，即 ∫fx)dr=lm2fE,)Ax, .0 其中f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量， [a,1称为积分区间，a与b分别称为积分下限与积分上限，符号 ∫心fx)d读做函数fx)从a到b的定积分. 关于定积分定义的说明： 2

2 （二）内容提要 1．曲边梯形 所谓曲边梯形是指由曲线、直线和数轴所围成的平面图形． 2．定积分的概念与定积分的几何意义 （1）定积分的概念 设函数 y  f (x)在区间[a,b]上有定义，任取分点 a x x x x x b  0  1  2 n1  n  ， 把区间[a,b]分成n个小区间[ ]( 1,2 , ) 1, x x i n i i   ，记为  i i n i i i x  x  x i  n  x    1 1( 1,2,, ), max ， 再在每个小区间[ , ] i 1 i x x  上，任取一点 i ，取乘积 i i f ( )x 的和式，即 i n i i  f x 1 ( ) ． 如果  0时上述极限存在（即这个极限值与[a,b]的分割及点 i 的取法均无关），则称函数 f (x) 在闭区间[a,b]上可积，并且称此极限 值为函数 f (x)在[a,b]上的定积分，记做 b a f (x)dx，即       b a n i i i f x x f x 1 0 ( )d lim ( ) ， 其中 f (x)称为被积函数， f ( x ) d x 称为被积表达式，x 称为积分变量， [a,b] 称为积分区间， a 与 b 分别称为积分下限与积分上限，符号  b a f (x)dx读做函数 f (x)从a到b 的定积分． 关于定积分定义的说明：

①定积分是特定和式的极限，它表示一个数.它只取决于被积函 数与积分下限、积分上限，而与积分变量采用什么字母无关，例如 。sind=snd,一般地有 ∫fx)=∫fod. ②定积分的存在定理：如果f(x)在闭区间[α，b]上连续或只有有限 个第一类间断点，则f(x)在[a,b]上可积. (2)定积分的几何意义 设fx)在[a,]上的定积分为fx)d,其积分值等于曲线y=fx)、 直线x=a,x=b和y=0所围成的在x轴上方部分与下方部分面积的代 数和. 3.定积分的性质 (1)积分对函数的可加性，即 0fx)±g(x)r=Jfx)dr±∫gx)x, 可推广到有限项的情况，即 ∫(x)±f(x)±±fxx=∫xd±±f(xd. (2)积分对函数的齐次性，即 ∫f(xdr=f(x)dx (为常数). (3)如果在区间[a,b]上f(x)=1,则1dr=b-a. (4)(积分对区间的可加性)如果a<c<b,则 ∫fxd=∫fxdr+∫fx)dr. 注意：对于α，b,c三点的任何其他相对位置，上述性质仍成立，仍

3 ①定积分是特定和式的极限，它表示一个数．它只取决于被积函 数与积分下限、积分上限，而与积分变量采用什么字母无关，例如    π / 2 0 π / 2 0 sin xdx sin tdt ，一般地有  b a f (x)dx =  b a f (t)dt ． ②定积分的存在定理：如果 f (x)在闭区间[a,b]上连续或只有有限 个第一类间断点，则 f (x)在[a,b]上可积． （2）定积分的几何意义 设 f (x)在[a,b]上的定积分为 b a f (x)dx，其积分值等于曲线 y  f (x)、 直线 x  a, x  b 和 y  0 所围成的在 x 轴上方部分与下方部分面积的代 数和． 3．定积分的性质 （1）积分对函数的可加性，即       b a b a b a [ f (x) g(x)dx] f (x)dx g(x)dx , 可推广到有限项的情况，即          b a b a b a n n [ f (x) f (x) f (x)]dx f (x)dx f (x)dx 1 2  1  ． （2）积分对函数的齐次性，即    b a b a kf (x)dx k f (x)dx (k为常数)． （3）如果在区间[a,b]上 f (x)  1，则   b a 1dx b a ． （4）（积分对区间的可加性）如果a  c  b，则      b a ca b c f (x)dx f (x)dx f (x)dx． 注意：对于a,b,c三点的任何其他相对位置，上述性质仍成立，仍

有 「fx)dr=∫fxdr+dx. (5)(积分的比较性质)如果在区间[a,b1上有f(x)≤g(x),则 ∫fex)drs∫gxdr. (6)(积分的估值性质)设M与m分别是函数f(x)在闭区间[a,b] 上的最大值与最小值，则 mb-a)≤∫f(x)dr≤M(b-a). (7)(积分中值定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则 在区间[a,b)]上至少存在一点5，使得 ∫fxdr=fb-a). 4.变上限的定积分 (1)变上限的定积分 当r在[a,b]上变动时，对应于每一个x值，积分∫f)d就有一个 确定的值，∫f)因此是变上限的一个函数，记作 (x)=f(d (a≤x≤b), 称函数(x)为变上限的定积分. (2)变上限的定积分的导数 如果函数f(x)在闭区间[a,b1上连续，则变上限定积分 (x)=fu)dt在闭区间[a,b]上可导，并且它的导数等于被积函数，即 地=0(=&f0d=j 4 (a≤x≤b)

4 有      b a ca b c f (x)dx f (x)dx f (x)dx． （5）（积分的比较性质）如果在区间[a,b]上有 f (x)  g(x)，则    b a b a f (x)dx g(x)dx． （6）（积分的估值性质）设M 与m 分别是函数 f (x)在闭区间[a,b] 上的最大值与最小值，则 m(b a) f (x)dx M (b a) b a      ． （7）（积分中值定理） 如果函数 f (x) 在闭区间[a,b]上连续，则 在区间[a,b]上至少存在一点 ，使得     b a f (x)dx f ( )(b a)． 4．变上限的定积分 （1）变上限的定积分 当x 在[a,b]上变动时，对应于每一个 x值，积分  xa f (t)dt 就有一个 确定的值，  xa f (t)dt 因此是变上限的一个函数，记作     xa (x) f (t)dt (a x b)， 称函数(x)为变上限的定积分． （2）变上限的定积分的导数 如 果 函 数 f (x) 在 闭 区 间 [a,b] 上 连 续 ， 则 变 上 限 定 积 分   xa (x) f (t)dt在闭区间[a,b]上可导，并且它的导数等于被积函数，即        xa f t t f x a x b x x x ( )d ( ) ( ) d d ( ) d d   ．

5.无穷区间上的广义积分 设函数f(x)在[a,+o)上连续，任取实数b>a,把极限1im∫f(x)dr称 方￥400 为函数f(x)在无穷区间上的广义积分，记做 ∫2fex)dr=-lim(x)dx, 若极限存在，则称广义积分∫fx)dr收敛：若极限不存在，则称广义 积分∫fx)dx发散， 类似地，可定义函数fx)在（∞，]上的广义积分为 ∫fex)dr=lim∫fxdr. 函数f(x)在区间(-o,+o)上的广义积分为 ∫fx)d=∫fx)dr+fx)dr, 其中c为任意实数，当右端两个广义积分都收敛时，广义积分∫“x)d 才是收敛的：否则广义积分f(x)dx是发散的. 6.微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式） 设函数fx)在闭区间[a,b]上连续，如果F(x)是f(x)的任意一个原 函数，则 (d-F)F)-F( 以上公式称为微积分基本定理，又称牛顿-莱布尼茨公式

5 5．无穷区间上的广义积分 设函数 f (x)在[a,)上连续，任取实数b  a，把极限   b b a lim f (x)dx 称 为函数 f (x)在无穷区间上的广义积分，记做      b a b a f (x)dx lim f (x)dx， 若极限存在，则称广义积分  a f (x)dx 收敛；若极限不存在，则称广义 积分  a f (x)dx 发散． 类似地，可定义函数 f (x)在 ,b上的广义积分为     b a b a f (x)dx lim f (x)dx ． 函数 f (x)在区间(,) 上的广义积分为          c c f (x)dx f (x)dx f (x)dx ， 其中c为任意实数，当右端两个广义积分都收敛时，广义积分   f (x)dx 才是收敛的；否则广义积分   f (x)dx是发散的． 6．微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式） 设函数 f (x) 在闭区间[a,b]上连续，如果 F(x)是 f (x) 的任意一个原 函数，则 f (x)dx F(x) F(b) F(a) b a b  a    ， 以上公式称为微积分基本定理，又称牛顿–莱布尼茨公式．

7.定积分的计算 (1)定积分的换元法 设函数f(x)在[a,上连续，令x=p),则有 jfxdt=0j/Leooet, 其中函数应满足以下三个条件： ①p(a)=a,p(B)=b: ②o()在[a,B]上单值且有连续导数； ③当t在[a,B1上变化时，对应x=p()值在[a,)上变化. 上述公式称为定积分换元公式.在应用换元x=()公式时要特别 注意：用变换把原来的积分变量x换为新变量时，原积分限也要相 应换成新变量的积分限，也就是说，换元的同时也要换限.原上限 对应新上限，原下限对应新下限， (2)定积分的分部积分公式 设函数u(x),v(x)在区间[a,b]上均有连续导数，则 d=(m-du. [b 以上公式称为定积分的分部积分公式，其方法与不定积分类似， 但结果不同，定积分是一个数值，而不定积分是一类函数 (3)偶函数与奇函数在对称区间上的定积分 设函数f(x)在关于原点对称区间-a,a上连续，则 ①当fx)为偶函数时，∫f(x)dr=2fxdr, ②当f(x)为奇函数时，fx)dr=0

6 7．定积分的计算 （1）定积分的换元法 设函数 f (x)在[a,b]上连续，令x  (t)，则有    b  a a f t t t x t f x x [ ( )] ( )d ( ) ( )d     ， 其中函数应满足以下三个条件： ①()  a,( )  b； ②(t)在[, ]上单值且有连续导数； ③当t在[, ]上变化时，对应 x  (t)值在[a,b]上变化． 上述公式称为定积分换元公式．在应用换元 x  (t) 公式时要特别 注意：用变换把原来的积分变量 x 换为新变量t 时，原积分限也要相 应换成新变量t 的积分限，也就是说，换元的同时也要换限．原上限 对应新上限，原下限对应新下限． （2）定积分的分部积分公式 设函数u(x),v(x) 在区间[a,b]上均有连续导数，则     b a b a b a udv (uv) vdu ． 以上公式称为定积分的分部积分公式，其方法与不定积分类似， 但结果不同，定积分是一个数值，而不定积分是一类函数． （3）偶函数与奇函数在对称区间上的定积分 设函数 f (x)在关于原点对称区间[a,a]上连续，则 ①当 f (x)为偶函数时，   a a a f x x f x x 0 ( )d 2 ( )d ， ②当 f (x)为奇函数时，  a a f (x)dx 0．

利用上述结论，对奇、偶函数在关于原点对称区间上的定积分计 算带来方便。 二、主要解题方法 1.变上限的定积分对上限的求导方法 例1已知F=+d ,求F(x) 解F(x)=∫+id=∫V1+d+∫m+d =-∫+d+∫m+d, F'(x)=-v1+x2(2x)+v1+sinx.cosx =-2xv1+x+1+sinx.cosx. 小结如果定积分上限是x的函数，那么利用复合函数求导公式 对上限求导：如果定积分的下限是x的函数，那么将定积分的下限变 为变上限的定积分，利用复合函数求导公式对上限求导；如果复合函 数的上限、下限都是x的函数，那么利用区间可加性将定积分写成两 个定积分的和，其中一个定积分的上限是x的函数，另一个定积分的 下限也是x的函数，都可以化为变上限的定积分来求导. 2.利用换元积分法计算定积分的方法 例2计算(1) (2)extan.xd

7 利用上述结论，对奇、偶函数在关于原点对称区间上的定积分计 算带来方便． 二、主要解题方法 1．变上限的定积分对上限的求导方法 例 1 已知    t t x x F x 1 d sin ( ) 2 ， 求 F(x)． 解    x x F x t t sin 2 ( ) 1 d =   c x t t 2 1 d +   x c t t sin 1 d =    2 1 d x c t t    x c t t sin 1 d ， F(x)= 1 (2 ) 2   x x + 1 sin x  cos x =    2 2x 1 x 1 sin x  cos x． 小结 如果定积分上限是 x 的函数，那么利用复合函数求导公式 对上限求导；如果定积分的下限是 x的函数，那么将定积分的下限变 为变上限的定积分，利用复合函数求导公式对上限求导；如果复合函 数的上限、下限都是 x的函数，那么利用区间可加性将定积分写成两 个定积分的和，其中一个定积分的上限是x的函数，另一个定积分的 下限也是x 的函数，都可以化为变上限的定积分来求导． 2.利用换元积分法计算定积分的方法 例 2 计算 （1）  4  0 d 1 1 x x x ， （2） 4π 0 4 sec x tan xdx ．

解(1)利用换元积分法，注意在换元时必须同时换限. 令 1=x,x=12,dx=2rdr 当x=0时，t=0,当x=4时，1=2，于是 明2袖=i-a- =h-2-41nl+=4-4ln3 (2)isee+xtam.xdx-fisee'xd(seex) 44 小结用换元积分法计算定积分，如果引入新的变量，那么求得 关于新变量的原函数后，不必回代，直接将新的积分上下限代入计算 就可以了.如果不引入新的变量，那么也就不需要换积分限，直接计 算就可以得出结果. 3.利用分部积分法计算定积分的方法 分部积分公式为 ∫2dr=n哈-∫du 例3计算(1)arctanxdx, (2). 解(I）arand=xarctanx水-61td =元-In1+x28 Γ42 =r-n2. 42

8 解 （1）利用换元积分法，注意在换元时必须同时换限． 令 t  x ，x 2  t ，dx  2tdt ， 当x  0时，t  0，当x  4时，t  2，于是   4  0 d 1 1 x x x =   2  0 2 d 1 1 t t t t =     2 0 ]d 1 4 [4 2 t t t   4 4ln 3. 0 2 4 4ln1 2  t  t   t   （2） 4π 0 4 sec x tan xdx =  4π 0 3 sec xd(sec x) 4 3 4 1 sec 1 4 1 4π 0 4  x    ． 小结 用换元积分法计算定积分，如果引入新的变量，那么求得 关于新变量的原函数后，不必回代，直接将新的积分上下限代入计算 就可以了．如果不引入新的变量，那么也就不需要换积分限，直接计 算就可以得出结果． 3.利用分部积分法计算定积分的方法 分部积分公式为     b a b a b a udv uv vdu . 例 3 计算（1） 1 0 arctan xdx， （2） x ln xdx 2 e e 1 ． 解（1）  1 0 arctan xdx = 1 0 x arctan x    1 0 2 d 1 x x x = 1 0 2 ln(1 ) 2 1 4 π   x = ln 2 2 1 4   ．

(2)由于在[，1]上lnx≤0；在[1，e2]上lnx≥0，所以 xins+ndr =-nd)+jnd5 =-nx若*号n苦] 2 =1-31+3 24e24 小结被积函数中出现绝对值时必须去掉绝对值符号，这就要注 意正负号，有时需要分段进行积分. 4.广义积分的计算方法 例4判别下列广义积分的敛散性，如果收敛计算其值· 6a+，②ja-2d· 解(1)因为积分区间为无穷区间，所以 原式i+d=号0 =lim[ 故所给广义积分收敛，且其值为： (2)因为x→2时，1 -2P→0，所以x=2为间断点. 原式一产a的+一 9

9 （2） 由于在[ ,1 e 1 ]上ln x  0；在[ 2 1,e ]上ln x  0，所以 x ln xdx 2 e e 1 = ( x ln x)dx 1 e 1  + x ln xdx 2 e 1 = ) 2 ln d( 2 1 e1 x x   + ) 2 ln d( 2 e1 2 x x  =[  x x ln 2 2 + 4 2 x ] 1 e1 +[ x x ln 2 2  4 2 x ] 2 e1 = 4 1 （ 4 1 2 e 1 + 2 1 2 e 1 ）+（ 4 e  4 1 4 e + 4 1 ） = 2 1  4 3 2 e 1 + 4 3 4 e ． 小结 被积函数中出现绝对值时必须去掉绝对值符号，这就要注 意正负号，有时需要分段进行积分. 4.广义积分的计算方法 例 4 判别下列广义积分的敛散性，如果收敛计算其值 . (1)   0  2 2 d (1 ) x x x ， (2) x x d ( 2) 3 1 0  2  ． 解 (1) 因为积分区间为无穷区间，所以 原式= b lim   b x x x 0 2 2 d (1 ) = b lim   b  x x 0 2 2 2 (1 ) d(1 ) 2 1 = b b x 2 0] 2(1 ) 1 lim[    = ] 2 1 2(1 ) 1 lim[ 2    b b = 2 1 ， 故所给广义积分收敛，且其值为 2 1 ． (2) 因为 x  2时，    2 ( 2) 1 x ，所以 x  2为间断点． 原式=      1 1 2 0 2 0 ( 2) d lim   x x +      3 2 2 2 0 2 ( 2) d lim   x x

2 1 10*1 20 故广义积分发散. 小结由上例可见，对于积分区间是有限的积分，首先要判断是定积 分（称常义积分）还是被积函数有无穷间断点的广义积分，否则会出 现错误的结果。如上例心之8一1-宁-错误结果。 三、学法建议 1.本章的重点是定积分的概念及几何意义.牛顿-莱布尼茨公式， 定积分的换元积分法与分部积分法. 2.学好本章内容，首先要理解定积分的概念，掌握用定积分的思 想分析问题解决问题的方法. 3.要深刻理解微积分基本定理：牛顿-莱布尼茨公式。微积分基 本定理，一方面揭示了定积分与微分的互逆性质；另一方面它又是联 系定积分与原函数（不定积分）之间的一条纽带. 10

10 = 1 1 2 0 0 ] 2 1 lim [        x + 3 2 0 2 2 ] 2 1 lim [        x = ] 2 1 1 lim [ 1 1 0      + ] 1 lim [ 1 2  2 0      = ， 故广义积分发散． 小结 由上例可见，对于积分区间是有限的积分，首先要判断是定积 分（称常义积分）还是被积函数有无穷间断点的广义积分．否则会出 现错误的结果．如上例  3 0 2 ( 2) d x x = 3 0 2 1  x = 2 1 1 = 2 3  错误结果． 三、学法建议 1．本章的重点是定积分的概念及几何意义．牛顿–莱布尼茨公式， 定积分的换元积分法与分部积分法． 2．学好本章内容，首先要理解定积分的概念，掌握用定积分的思 想分析问题解决问题的方法． 3．要深刻理解微积分基本定理：牛顿–莱布尼茨公式。微积分基 本定理，一方面揭示了定积分与微分的互逆性质；另一方面它又是联 系定积分与原函数（不定积分）之间的一条纽带．