《高等数学》课程教学资源（常见问题讲解）第十一章 微分方程

常微分方程 1.分离变量法、常数变易法求一阶微分方程 小结一阶微分方程的解法主要有两种：分离变量法，常数变易 法.常数变易法主要适用线性的一阶微分方程，若方程能化为标准形 式y+Py=Q,也可直接利用公式y=eJQx)eJdx+C)求 通解。 例1求微分方程dy+dr=y2dr+dy满足条件o=2的特解. 解这是可以分离变量的微分方程，将方程分离变量，有 两边积分，得∫=小， 求积分得p2-=-+C,p2-=x-2+2C, y2-1=(x-1)2e2G,y2-1=±e20(x-1)2, 记±e20=C≠0，得方程的解y2-1=cx-)2. 可以验证C=0时，y=±1，它们也是原方程的解，因此，式 y2-1=cx-1)2中的c可以为任意常数，所以原方程的通解为 y2-1=Cx-)2（c为任意常数). 代入初始条件0=2得C=3,所以特解为y2-1=3x-)2. 例2求微分方程(1)广，本：，(2)y-2w=eosx的通解. (1)解一原方程可化为少=x,令”=上， dx +1

常微分方程 1. 分离变量法、常数变易法求一阶微分方程 小结 一阶微分方程的解法主要有两种：分离变量法，常数变易 法.常数变易法主要适用线性的一阶微分方程，若方程能化为标准形 式 y  P(x) y  Q(x)，也可直接利用公式 y Q x x C P x x P x x       e ( ( ) e d ( )d ( )d ）求 通解.例 1 求微分方程 xydy dx y dx ydy 2    满足条件 2 y x0  的特解. 解 这是可以分离变量的微分方程，将方程分离变量，有 x x y y y d 1 1 d 1 2    ， 两边积分，得    y y y d 1 2   x x d 1 1 ， 求积分得 1 2 ln 1 ln 1 2 1 y   x   C ， 1 2 2 ln y 1  ln(x 1)  2C ， 1 2 2 2 1 ( 1) e C y   x  ， 2 2 2 1 e ( 1) 1 y    x  C ， 记 e 0 1 2   C  C ，得方程的解 2 2 y 1  C(x 1) . 可以验证 C  0 时， y  1 ，它们也是原方程的解，因此，式 2 2 y 1  C(x 1) 中的 C 可以为任意常数，所以原方程的通解为 2 2 y 1  C(x 1) （C 为任意常数）. 代入初始条件 2 y x0  得 C  3，所以特解为 2 2 y 1  3(x 1) . 例 2 求微分方程（1） y x y y    ，（2） y xy x x 2 e cos 2    的通解. （1）解一 原方程可化为 1 d d   x y x y x y ，令 x y u 

则+出，即=-华，两边取积分」 dx u+1 dw--dx 积分得I-nw=nx-nc,将u=y代入原方程，整理得原方程的通解为 y=Cex (c为任意常数). 解二原方程可化为止-上x=1为一阶线性微分方程，用常数变 dy v 易法.解原方程所对应的齐次方程止-L x=0,得其通解为x=Cy. dy y 设x=60y为原方程的解，代入原方程，化简得co=1,c=, 所以原方程的通解为三 即y=C(c为任意常数). (2)解一 原方程对应的齐次方程业-2y=0分离变量，得 dx dy =2xy, d dy =2xdx, 两边积分，得∫2，a=+C, Iny=Ine*InC=In(Ce*),y=Ce*, 用常数变易法.设y=C(x)er代入原方程，得C'(x)e-ecosx, C(x)=cosx, C(x)=[cosxdx=sinx+C, 故原方程的通解为y=e(sinx+C)(c为任意常数). 解二这里Px)=-2x,Q(x)=ecosx代入通解的公式得 ye ecosxC) =er(ecosx·e-rdr+C)=er(cosxdx+C)=e(sinr+C（c为任意常 数)

则 d 1 d    u u x u u x ，即 x x u u u d d 1 2    ，两边取积分      x x u u u d 1 )d 1 1 ( 2 ， 积分得 u x C u ln ln ln 1    ，将 x y u  代入原方程，整理得原方程的通解为 y x y  Ce （C 为任意常数）. 解二 原方程可化为 1 1 d d  x  y y x 为一阶线性微分方程，用常数变 易法.解原方程所对应的齐次方程 0 1 d d  x  y y x ，得其通解为 x  C y . 设x  C( y) y 为原方程的解，代入原方程，化简得 C( y) y  1， 1 ( ) ln C y C y  ， 所以原方程的通解为 1 ln C y y x  ，即 y x y  Ce （C 为任意常数）. （2）解一 原方程对应的齐次方程 2 0 d d  xy  x y 分离变量，得 xy x y 2 d d  ， x x y y 2 d d  ， 两边积分，得 x x y y    2 d d ， y  x  C 2 ln ， ln ln e ln ln( e ) 2 2 x x y   C  C ， 2 e x y  C ， 用常数变易法.设 2 ( )e x y  C x 代入原方程，得 C x x x x ( )e e cos 2 2   ， C(x)  cos x， C x  x x  x  C  ( ) cos d sin ， 故原方程的通解为 e (sin ) 2 y x C x   （C 为任意常数）. 解二 这里P(x)  2x ，Q x x x ( ) e cos 2  代入通解的公式得 e ( e cos e d ) 2 d 2 2 d          y x x C x x x x x =e ( e cos e d ) 2 2 2 x x C x x x     = e ( cos d ) 2 x x C x   =e (sin ) 2 x C x  （C 为任意常 数）

2.二阶非齐次微分方程 小结在设微分方程y+py'+qy=Pm(x)e“的特解时，必须注意把 特解yn设全.如：Pm()=x2,那么Qm(x)=box2+bx+b2,而不能设0m(x)=box2. 另外，微分方程的特解都是满足一定初始条件的解，上面所求的特解 y。一般不会满足题设初始条件，因此需要从通解中找出一个满足该初 始条件的特解. 例5求微分方程y"-2ay+y=0的通解. 解 原方程对应的特征方程为r2-2am+1=0, a-2a±4a2-4=at-i, 2 (1)当a>1,即a>1或a<-1时，特征方程有两个不相等的实根 1=a+Va2-1,2=a-a2-1, 故原方程的通解为 y=C,eawr+C,ea-可r】 (2)当问=1，即a=1或a=-1时，特征方程有两个相等的实根 n=n=a, 故原方程的通解为y=(C,+C2x)e“. （3)当a<1,即-1<a<1时，特征方程有两个共轭复根 h2=a±iV1-a2, 故原方程的通解为 y=e(Ccosv1-a2x+C,sinv1-a2x). 4.二阶常系数线性非齐次微分方程的求解方法 例6求微分方程y”-y=4xe满足初始条件xo=0,1=o=1的特

2. 二阶非齐次微分方程 小结 在设微分方程 x m y py qy P x       ( ) e 的特解时，必须注意把 特解 p y 设全.如： 2 Pm (x)  x ，那么 1 2 2 0 Qm (x)  b x  b x  b ，而不能设 2 0 Qm (x)  b x . 另外，微分方程的特解都是满足一定初始条件的解，上面所求的特解 p y 一般不会满足题设初始条件，因此需要从通解中找出一个满足该初 始条件的特解. 例 5 求微分方程 y  2ay  y  0的通解. 解 原 方 程 对 应 的 特 征 方 程 为 2 1 0 2 r  ar   ， 2 2 4 4 2 1,2    a a r = 1 2 a  a  ， （1） 当 a  1，即 a  1或a  1时，特征方程有两个不相等的实根 1 2 r1  a  a  ， 1 2 r2  a  a  ， 故原方程的通解为 a a x a a x y C C ( 1) 2 ( 1) 1 2 2 e e       . （2） 当 a  1 ，即 a  1 或 a  1时，特征方程有两个相等的实根 r  r  a 1 2 ， 故原方程的通解为 ax y (C C x)e  1  2 . （ 3 ） 当 a  1 ， 即 1  a  1 时 ， 特 征 方 程 有 两 个 共 轭 复 根 2 1,2 r  a  i 1 a ， 故原方程的通解为 e ( cos 1 sin 1 ) 2 2 2 1 y C a x C a x ax     . 4．二阶常系数线性非齐次微分方程的求解方法 例 6 求微分方程 x y  y  4xe 满足初始条件 0 y x0  ， 1 y x0  的特

解. 解对应齐次方程的特征方程为2-1=0，特征根2=±1.故对应 齐次微分方程的通解为y。=Ce+C2e. 因为元=1是特征方程的单根，所以设特解为yp=x(bx+b)e, 代入原方程得2b。+2b1+4box=4x, 比较同类项系数得b。=1,b=-1,从而原方程的特解为 yp =x(x-1)e*, 故原方程的通解为y=C,e+C,e+x(x-l)e, 由初始条件x=0时，y=y=0,得 C1+C2=0, C1-C2=2, 从而C=1,C2=-1.因此满足初始条件的特解为 y=e*-e-x+x(x-1)e*. 例7求微分方程y"-4y'+8y=e2sin2x的通解. 解对应的齐次微分方程的特征方程2-4r+8=0,特征根 2=2±2i.于是所对应的齐次微分方程通解为 ye=e2*(C cos2x+C2 sin 2x). 为了求原方程y"-4y'+8y=e2rsin2x的一个特解，先求 y"-4y'+8y=e2+2i)x（*) 的特解.由于1=2+2i是特征方程的单根，且P(x)=1是零次多项式。所 以设特解为y=Axe2+2m,代入原方程，化简得 (4+4i)A+8iAx-4[A+(2+2i)Ax]+8Ax=1, 比较同类项系数，得4i=1,A=1=-1 4i4 所以，方程(*)的特解为

解.解 对应齐次方程的特征方程为 1 0 2 r   ，特征根 1 r1,2   ．故对应 齐次微分方程的通解为 x x yc C C   e  e 1 2 . 因为  1是特征方程的单根，所以设特解为 x P y x(b x b )e  0  1 ， 代入原方程得 2b 2b 4b x 4x 0  1  0  ， 比较同类项系数得 1 b0  ， 1 b1   ，从而原方程的特解为 x P y  x(x 1)e ， 故原方程的通解为 y  x x C C  e  e 1 2 x  x(x 1)e ， 由初始条件 x  0时， y  y  0，得        2 , 0 , 1 2 1 2 C C C C 从而 1 C1  ， 1 C2   .因此满足初始条件的特解为 y  x x e  e x  x(x 1)e . 例 7 求微分方程 y y y x x 4 8 e sin 2 2      的通解. 解 对应的齐次微分方程的特征方程 4 8 0 2 r  r   ，特征根 2 2i r1,2   .于是所对应的齐次微分方程通解为 e ( cos 2 sin 2 ) 1 2 2 y C x C x x c   ． 为 了 求 原 方 程 y y y x x 4 8 e sin 2 2      的 一 个 特 解 , 先 求 x y y y (2 2i) 4 8 e       （） 的特解.由于  2  2i 是特征方程的单根，且Pm (x)  1是零次多项式。所 以设特解为 x y Ax (2 2i) e    ，代入原方程，化简得 (4  4i)A  8iAx  4[A  (2  2i)Ax]  8Ax  1, 比较同类项系数，得 4Ai  1， 4 i 4i 1 A    . 所以，方程（）的特解为

y=-xe"(cos2x+isin2x)=-xe"(icos2x-sin2x), 4 其虚部即为所求原方程的特解p=-x“cos2x. 4 因此原方程通解为 y(Ci cosx+C:sin x)cos2x. 3.用微分方程解决实际问题 小结用微分方程解决实际问题，包括建立微分方程，确定初始 条件和求解方程这几个主要步骤.由于问题的广泛性，一般建立微分 方程要涉及到许多方面的知识，如几何、物理等 例8已知某曲线经过点a,),它的切线在纵轴上的截距等于切点 的横坐标，求它的方程 解设所求曲线方程为y=fx),P(x,y)为其上任一点，则过P点的 曲线的切线方程为Y-y='(X-x), 由假设，当x=0时y=x,从而上式成为此-y=-1.因此求曲线 dx x y=)的问题，转化为求解微分方程的定解问题 解. 由公式y=eP地Q(x)e咖d+C,得 y=e(f(-Dedx+C)=-x+, 代入=1得c=1,故所求曲线方程为y=xl-nx). 例9一质量为m的质点由静止开始沉入液体，当下沉时，液体的 反作用力与下沉速度成正比，求此质点的运动规律.」 解设质点的运动规律为x=x0).由题意，有

e (cos 2 sin 2 ) 4 i 2 y x x i x x     = e (i cos 2 sin 2 ) 4 1 2 x x x x   , 其虚部即为所求原方程的特解 y x x x P e cos 2 4 1 2   . 因此原方程通解为 e ( cos sin ) 1 2 2 y C x C x x   x x x e cos 2 4 1 2  . 3. 用微分方程解决实际问题 小结 用微分方程解决实际问题，包括建立微分方程，确定初始 条件和求解方程这几个主要步骤.由于问题的广泛性，一般建立微分 方程要涉及到许多方面的知识，如几何、物理等. 例 8 已知某曲线经过点(1,1)，它的切线在纵轴上的截距等于切点 的横坐标，求它的方程. 解 设所求曲线方程为 y  f (x)，P(x , y)为其上任一点，则过P 点的 曲线的切线方程为 Y  y  y(X  x)， 由假设，当 X  0 时 Y  x ，从而上式成为 1 1 d d  y   x x y .因此求曲线 y  y(x)的问题，转化为求解微分方程的定解问题            1 1 1 x 1 y y x y ，的特 解. 由公式 y Q x x C P x x P x x       e ( ( ) e d ( )d ( )d ，得 e ( ( 1)e d ) d 1 d 1 y x C x x x x        = x ln x  Cx， 代入 1 y x1 得 C  1，故所求曲线方程为 y  x(1 ln x) . 例 9 一质量为m的质点由静止开始沉入液体，当下沉时，液体的 反作用力与下沉速度成正比，求此质点的运动规律. 解 设质点的运动规律为x  x(t) .由题意，有

d2x m dr2 =mgh dx dt (k>0为比例系数) 1s0=0 dx dt 0=0 方程变为 d'x k dx dt2 m dt =8, 齐次方程的特征方程为2+冬，=0，心+点=0，片=0,2=- 171 m 故原方程所对应的齐次方程的通解为 x=C,+Ce台， 因1=0是特征单根，故可设x。=a,代入原方程，即得a="m坚， k 故x。=m1,所以原方程的通解 k x=C,+C,e+照1， k 由初始条件得C=-m,C2=m, k2 k2 因此质点的运动规律为)=1-1-e). k

          0 , d d 0 , , d d d d 0 0 2 2 t t t x x t x mg k t x m （k  0为比例系数） 方程变为 g t x m k t x   d d d d 2 2 ， 齐次方程的特征方程为 0 2  r  m k r ， (  )  0 m k r r ， 0 r1  ， m k r2   . 故原方程所对应的齐次方程的通解为 t m k xc C C    e 1 2 ， 因  0是特征单根，故可设 x at p  ，代入原方程，即得 k mg a  ， 故 t k mg x p  ，所以原方程的通解 t m k x C C    e 1 2 t k mg  , 由初始条件得 2 2 1 k m g C   ， 2 2 2 k m g C  ， 因此质点的运动规律为 ( ) (1 e ) 2 2 t m k k m g t k mg x t    