《高等数学》课程教学资源（学习指导和练习册）第十一章 多元函数积分学

第十一章多元函数积分学 一、本章学习要求与内容提要 (一)学习要求 1.了解二重积分的概念，知道二重积分的性质. 2.掌握二重积分在直角坐标系下和极坐标系下的计算方法. 3.会用二重积分解决简单的实际应用题（体积、质量）. 4.了解曲线积分的概念和性质. 5.会计算简单的曲线积分. 重点二重积分的概念，直角坐标系与极坐标系下二重积分的计 算，曲线积分的概念，格林公式，曲线积分的计算，用二重积分解决 简单的实际应用题 难点直角坐标系与极坐标系下二重积分的计算，格林公式，曲 线积分的计算，用二重积分解决简单的实际应用题

1 第十一章 多元函数积分学 一、本章学习要求与内容提要 （一）学习要求 1.了解二重积分的概念, 知道二重积分的性质. 2.掌握二重积分在直角坐标系下和极坐标系下的计算方法. 3.会用二重积分解决简单的实际应用题(体积、质量). 4.了解曲线积分的概念和性质. 5.会计算简单的曲线积分. 重点 二重积分的概念，直角坐标系与极坐标系下二重积分的计 算，曲线积分的概念，格林公式，曲线积分的计算，用二重积分解决 简单的实际应用题. 难点 直角坐标系与极坐标系下二重积分的计算，格林公式，曲 线积分的计算，用二重积分解决简单的实际应用题

(二)内容提要 1.二重积分 设二元函数：=f(x,y)是定义在有界闭区域D上的连续函数，用微 元法先找出体积微元，再累加求出总体，由这两步所得的表达式，即 川fx,do称为函数：=fx,)在闭区域D上的二重积分，其中fx,) 称为被积函数，fx,y)dσ称为被积表达式，D称为积分区域，do称为 面积元素，x与y称为积分变量. 2.二重积分的几何意义 在区域D上当fx,)20时，∬f(x,y)do表示曲面z=fx,)在区域D 上所对应的曲顶柱体的体积.当f(x,y)在区域D上有正有负时， 厂fx,o表示曲面：=fx,)在区域D上所对应的曲顶柱体的体积的 代数和， 3.二重积分的性质 (1)可加性 f(x,)±gx,y)Ho=J「f(x,y)do±∬g(x,y)do· (2)齐次性 (x,y)do=k∬fx,y)do(k为常数) (3)对积分区域的可加性 设积分区域D可分割成为D,、D,两部 分，则有 fx,No=∬fxao+∬fxaa. (④)（积分的比较性质）若fx,y)≥g(x,y),其中(x,y)∈D,则 2

2 （二）内容提要 1．二重积分 设二元函数 z  f (x, y) 是定义在有界闭区域D上的连续函数，用微 元法先找出体积微元，再累加求出总体，由这两步所得的表达式，即  D f (x, y)d 称为函数 z  f (x, y) 在闭区域 D 上的二重积分，其中 f (x, y) 称为被积函数，f (x, y)d 称为被积表达式，D称为积分区域，d 称为 面积元素，x与y称为积分变量. 2．二重积分的几何意义 在区域D上当 f (x, y)  0时， D f (x, y)d 表示曲面 z  f (x, y) 在区域D 上所对应的曲顶柱体的体积.当 f (x, y) 在区域 D 上有正有负时，  D f (x, y)d 表示曲面 z  f (x, y) 在区域D上所对应的曲顶柱体的体积的 代数和. 3． 二重积分的性质 (1)可加性         D D D f (x, y) g(x, y) d f (x, y)d g(x, y)d . (2)齐次性    D D kf (x, y)d k f (x, y)d (k为常数) . (3)对积分区域的可加性 设积分区域 D 可分割成为 D1、 D2 两部 分，则有      1 2 ( , )d ( , )d ( , )d D D D f x y  f x y  f x y  . (4)(积分的比较性质) 若 f (x, y)  g(x, y)，其中(x, y)  D ，则

fxao≥∬sxio. (5)(积分的估值性质)设m≤f(x,y)≤M,其中(x,y)∈D,而m,M 为常数，则 mo≤∬fx,ydo≤Mo, 其中。表示区域D的面积， (6)(积分中值定理)若f(x,y)在有界闭区域D上连续，则在D上 至少存在一点(5，)eD,使得 ∬x,ydo=f5,n)o. 4.二重积分的计算 (1)二重积分在直角坐标系下的计算 直角坐标系下的面积元素do=drdy, ① 若 D p1(x)≤y≤p2(x) a≤x≤b, 则 ,td=可[afx]a， 2) 若 D 1y)≤x≤2y),c≤y≤d 则 fxtd=[ofxdr] (2)二重积分在极坐标系下的计算 极坐标系下的面积元素do=rdd0,极坐标与直角坐标的关系 x=rcos0 y=rsin0 若D:n(0)≤r≤2(0)，a≤0≤B,则 3

3 ( , )d ( , )d    D D f x y g x y . (5)（积分的估值性质） 设m  f (x, y)  M ，其中(x, y)  D，而m, M 为常数，则    D m f (x, y)d M , 其中 表示区域D的面积. (6)（积分中值定理）若 f (x, y)在有界闭区域D上连续，则在D上 至少存在一点(,)  D ，使得 f (x, y)d f (,) D   . 4. 二重积分的计算 ⑴ 二重积分在直角坐标系下的计算 直角坐标系下的面积元素 d  dxdy , ① 若 D : ( ) ( ) 1 2  x  y   x , a  x  b , 则  D f (x, y)dxdy = f x y y x x x b a ( , )d d ( ) ( ) 2 1         ， ② 若 D : ( ) ( ) 1 2  y  x  y , c  y  d , 则  D f (x, y)dxdy = f x y x y y x d c ( , )d d ( ) ( ) 2 1         . ⑵二重积分在极坐标系下的计算 极坐标系下的面积元素 d  rdrd ，极坐标与直角坐标的关系        sin . cos , y r x r 若D : ( ) ( ) r1   r  r2  ,     ,则

fx,id=f∬fccos0,rsin8ntrd0=2[%frcose,rsn0)rdrdo. 5.对坐标的曲线积分 设L是有向光滑曲线，F(x,y)=P(x,yi+Q(x,yj是定义在L上的向 量函数，且P(x,y,Q(x,y)在L上连续，利用微元法，先写出弧微元 dl=dri+dyj,作乘积dw=F.dL=P(x,xdr+Q(x,ydy,再无限累加，由这 两步所得的表达式，即∫，Px,yd+Q(x,ydy称为函数Fx,y)在有向曲 线L上对坐标的曲线积分，其中有向曲线L称为积分路径. 如果P(x,y),Q(x,y)中有一个为零，则这时曲线积分的形式为 ∫LP(x,ydx或∫Qx,y, 如果曲线L是封闭曲线，L上积分记为∮，P(x,ydx+Q(x,yy. 6.对坐标的曲线积分的性质 ①设L为有向曲线弧，L是与L方向相反的有向曲线弧，则 ∫cPx,yr+Qx,y=-∫Px,yr+x,yy· ②如果L=L+L2,则有 ∫LPx,ydr+Q(xydy=∫，Px,ydx+Ox,ydy+∫Px,ydr+Q(x,ydy

4  D f (x, y)dxdy =  D f (r cos ,rsin )rdrd =       ( cos , sin ) d d ( ) ( ) 2 1       r r f r r r r . 5. 对坐标的曲线积分 设L 是有向光滑曲线, F( x, y )  P( x, y )i  Q( x, y )j 是定义在 L 上的向 量函数,且 P(x, y) , Q(x, y) 在 L 上连续,利用微元法,先写出弧微元 dl  dxi  dy j ,作乘积dw  F  dL = P( x,x )dx  Q( x, y )dy ,再无限累加,由这 两步所得的表达式,即 P( x, y ) x  Q( x, y ) y L d d 称为函数F( x, y )在有向曲 线L上对坐标的曲线积分,其中有向曲线L称为积分路径. 如果P(x, y) , Q(x, y)中有一个为零，则这时曲线积分的形式为   P( x, y ) x Q( x, y ) y L L d 或 d , 如果曲线L是封闭曲线，L上积分记为 P( x, y ) x  Q( x, y ) y L d d . 6.对坐标的曲线积分的性质 1 设L为有向曲线弧，  L 是与L方向相反的有向曲线弧，则 P( x, y ) x Q( x, y ) y P( x, y ) x Q( x, y ) y L L d  d   d  d    . ② 如果L  L1  L2，则有 P( x, y ) x Q( x, y ) y P( x, y ) x Q( x, y ) y P( x, y ) x Q( x, y ) y. L L L d d d d d d 1 2        

7.格林公式设D是平面上以分段光滑曲线L为边界的有界闭 区域，函数P(x,)及Qx,y)在D上有一阶连续偏导数，则有格林公式 其中L是区域D的正向边界， 8.曲线积分与路径无关 (1)定义设D是一个单连通区域，将P(x)简称为P,Q(x,y)简称 为Q,如果对D内任意指定的两点A,B以及D内从A点到B点的任意 两条不相同的曲线L,L2,若有 ∫hPdr+Ody=∫，Pd+Ody, 则称曲线积分∫，Pdr+Qdy在D内与路径无关.这时，可将曲线积分记 为∫Pdx+Q. (2)曲线积分与路径无关的定理 ①在单连通区域D内，曲线积分∫，Pdx+Qdy与路径无关的充分必 要条件是：对D内任意一条闭曲线L,均有 f.Pdx+Ody=0. ②设函数P(x,)和Qx,y)在单连通区域D内有一阶连续偏导数，则 曲线积分∫Pd+Qx与路径无关的充分必要条件是：巴_P在区域D 内恒成立

5 7.格林公式 设 D 是平面上以分段光滑曲线L 为边界的有界闭 区域,函数P(x, y) 及Q(x, y)在D上有一阶连续偏导数,则有格林公式              d  d  d D L y P x Q P x Q y , 其中L是区域D的正向边界. 8.曲线积分与路径无关 (1)定义 设 D 是一个单连通区域,将 P(x, y) 简称为 P,Q(x, y) 简称 为Q ,如果对 D 内任意指定的两点 A , B 以及 D 内从 A点到 B 点的任意 两条不相同的曲线 1 2 L , L ,若有 P x Q y P x Q y L L d d d d 1 2      , 则称曲线积分  P x  Q y L d d 在 D 内与路径无关.这时,可将曲线积分记 为  B A Pdx Qdy . (2)曲线积分与路径无关的定理 ①在单连通区域 D内，曲线积分 P x  Q y L d d 与路径无关的充分必 要条件是：对D内任意一条闭曲线L，均有  Pdx  Qdy  0 L . ②设函数P(x, y)和Q(x, y)在单连通区域D内有一阶连续偏导数，则 曲线积分  L Pdx Qdx 与路径无关的充分必要条件是: y P x Q      在区域D 内恒成立

9.曲线积分的计算方法 (1)积分路径由参数方程给出 设xO,面上的有向曲线L的参数方程为 x=p()·且满足： y=w(1), ①当参数t单调地由α变到B时，曲线上的点由起点A运动到终点 B; ②)，0在以a和B为端点的闭区间I上具有一阶连续导数，且 (p')2+w(02≠0； ③Px,),Qx,)在有向曲线弧L上连续.则曲线积分 ∫LPx,ydr+Ox,y 存 在 且 P(x.yQ(x.y=PI(t)v(t(t)+Ql(t).v(t)jv'(tat. (2)积分路径由y=fx)给出 设xO面上的有向曲线弧L的方程为y=fx),这时可先将有向曲线 弧L的方程看作 是以x为参数的参数方程 x=x 然后再按(1)中的方法计算. y=f(x), 要特别注意：在将对坐标的曲线积分转换为定积分时，积分下限一 定要对应积分路径的 起点，积分上限一定要对应积分路径的终点 6

6 9. 曲线积分的计算方法 ⑴积分路径由参数方程给出 设xOy 面上的有向曲线L的参数方程为      y (t ) , x (t ) ,   且满足: 1 当参数t 单调地由 变到  时,曲线上的点由起点 A 运动到终点 B ; ② (t), (t)在以 和 为端点的闭区间I 上具有一阶连续导数,且  ( )  ( ) 0 2 2  t   t  ; ③ P(x, y) , Q(x, y) 在 有 向 曲 线 弧 L 上 连 续 . 则 曲 线 积 分  P( x, y ) x  Q( x, y ) y L d d 存 在 , 且 P( x, y ) x Q( x, y ) y L d  d  = P[(t ),(t )] (t ) Q[(t ),(t )] (t )dt      . ⑵ 积分路径由 y  f (x)给出 设xOy 面上的有向曲线弧L的方程为 y  f (x)，这时可先将有向曲线 弧L的方程看作 是以x为参数的参数方程      y f ( x ) , x x , 然后再按（1）中的方法计算. 要特别注意:在将对坐标的曲线积分转换为定积分时,积分下限一 定要对应积分路径的 起点， 积分上限一定要对应积分路径的终点

二、主要解题方法 1.在直角坐标系下二重积分的计算 例1计算∬drd其中D由直线y=2,y=x和曲线y=1所围 成. 解画出区域D的图形如图所示，求出边界曲线的交点坐标A(分 2),B(1,1),C(2,2),选择先对x积分，这时D的表达式为 1≤y≤2， sx≤y. y 于是 店可芳 =0- + 11 =49 12 分析本题也可先对y积分后对x积分，但是这时就必须用直线 x=1将D分D,和D,两部分.其中 1≤x≤2， D 1 ≤y≤2， D:x≤y2, 由此得

7 二 、主要解题方法 1．在直角坐标系下二重积分的计算 例 1 计算  D x y y x d d 2 其中D由直线 y  2， y  x 和曲线 xy  1所围 成.解 画出区域D的图形如图所示，求出边界曲线的交点坐标 A（ 2 1 ， 2）, B （1，1）, C （2，2），选择先对x积分，这时D的表达式为          x y , y y , 1 1 2 于是  D x y y x d d 2 = x y x y y y d 1 d 2 2 1  = y x y y y ] d 3 [ 1 1 3 2 1 =   2 1 4 2 )d 1 ( 3 1 y y y = 3 3 1 2 1 1 1 ( ) 3 3 3 y y   = 72 49 . 分析 本题也可先对 y 积分后对 x 积分，但是这时就必须用直线 x 1将D分D1和D2 两部分.其中 D1          2 , 1 1 , 2 1 y x x D2        2 , 1 2 , x y x 由此得 A D B C x y O B 1 D 2 D C y x A O

- ydx+ x[n2+Inxldx+x2[2-Inxldx =49 72 显然，先对y积分后对x积分要麻烦得多，所以恰当地选择积分次 序是化二重积分为二次积分的关键步骤， 例2计算∬x+y+Io,其中D:冈+≤1. 解画出积分区域D的图形，观察被积函数， y 无论先对x积分后对y积分还是先对y积分后对 x积分都需要将积分区域分成两部分，计算都较 繁，这里选择先对y积分后对x积分，其中 因此∬x+y+Iio=∬(x+y+1o+∬x+y+o =∫心d,（x+y+1io+d(ax+y+1io =4+0do+4-t=音+2-9 例3已知1=dfx,+dfx,改变积分次序. 解积分区域D=D,+D,其中 n8yosE, 1≤y≤2， 8

8  D x y y x d d 2 =  1 d d 2 D x y y x +  2 d d 2 D x y y x = y y x x x d d 2 1 2 1 2  1  + y y x x x d d 2 2 2 1  =  1 2 1 2 1 2 x [ln y] dx x +  2 1 2 2 x [ln y] dx x =   1 2 1 2 x [ln 2 ln x]dx +   2 1 2 x [ln 2 ln x]dx = 72 49 . 显然，先对 y 积分后对 x积分要麻烦得多，所以恰当地选择积分次 序是化二重积分为二次积分的关键步骤. 例 2 计算     ( 1)d D x y ，其中D： x  y  1. 解 画出积分区域D的图形，观察被积函数， 无论先对 x 积分后对 y 积分还是先对 y 积分后对 x积分都需要将积分区域分成两部分，计算都较 繁，这里选择先对 y 积分后对 x积分，其中 1 1 0, 1 1 , x D x y x           2 0 1, 1 1 , x D x y x          因此     ( 1)d D x y =     ( 1)d D1 x y +     ( 1)d D2 x y =          d ( 1)d 1 1 0 1 x x x x y +        d ( 1)d 1 1 1 0 x x x x y =4    ( 1) d 2 0 -1 x +4 (1 x)dx 1 0  = 4 2 3  10 3  . 例 3 已知 I = y f x y x y d ( , )d 0 1  0  + y f x y x y d ( , )d 2 0 2 1   改变积分次序. 解 积分区域D  D1  D2，其中 D1        0 , 0 1 , x y y D2         0 2 , 1 2 , x y y 1 D 2 D x y O

画出积分区域D的图形， 改变为先对y积分后对x积分， D 此时 0≤x≤1， x≤y≤2-x2, 因此 y=2-x2 I=。fxt+时fxt =∫drf2fx,y 小结把二重积分化为累次定积分的关键在于正确选择积分次 序及积分的上、下限，这里要求上限大于下限.在具体计算重积分时， 正确地利用对称性可以使计算简化，但是要注意：只有当积分区域和 被积函数均关于所给坐标轴对称时，对称性才能应用，切不可只顾积 分域而忘了被积函数. 2.在极坐标系下二重积分的计算 例4计算 ∬arctan二dg，其中D由x2+y2=4, x2+y2=1,y=0,y=x 所围成的第一象限内的区域. 解画出积分区域D的图形， 由于积分区域的边界曲线有圆周， 所以选极坐标系积分 此时arctan=日，于是 ∫∬arctan'do

9 画出积分区域D的图形， 改变为先对 y 积分后对 x积分， 此时 D         2 , 0 1 ,2 x y x x 因此 I = y f x y x y d ( , )d 0 1  0  + y f x y x y d ( , )d 2 0 2 1   = x f x y y x x d ( , )d 2 1 2 0   . 小结 把二重积分化为累次定积分的关键在于正确选择积分次 序及积分的上、下限，这里要求上限大于下限.在具体计算重积分时， 正确地利用对称性可以使计算简化，但是要注意：只有当积分区域和 被积函数均关于所给坐标轴对称时，对称性才能应用，切不可只顾积 分域而忘了被积函数. 2.在极坐标系下二重积分的计算 例 4 计 算   D x y arctan d ， 其 中 D 由 4 2 2 x  y  , 1 2 2 x  y  , y  0 , y  x 所围成的第一象限内的区域. 解 画出积分区域D的图形， 由于积分区域的边界曲线有圆周， 所以选极坐标系积分. 此时   x y arctan ，于是   D x y arctan d 1 D 2 D y  2  x 2 O x y y  x 1 2 O x y y  x

=店do0rt=0do5l月 =30=3 22.64 例5求半球体0≤z≤Va2-x2-y2在圆柱x2+y2=a(a>0)D内 那部分的体积. 解把所求立体投影到x0y面，即圆柱x2+y2=ar(a>0)内部， 容易看出所求立体的体积以D为底，以上半球面：=√a2-x2-y2为顶 的曲顶柱体的体积 由于积分区域的边界曲线为圆周，所 ra=cos 0 以采用极坐标系较好 此时D{-2 2 0≤r≤acos0, 故V=∬va2-x2-y2drd =且g后-rd -号a0-ws0,8=(-)a. 39 小结在计算二重积分时，当积分区域为圆形区域、圆环区域或 扇形区域时，选择用极坐标为好，其他情况用直角坐标为宜. 3.对坐标的曲线积分的计算方法 例6设1=∫(3x2-xy2)dx-x2d, 其中L是沿上半圆周x2+y2=1上的点 A（1,0)到B(-1,0)一段弧，如图. 10

10 =   4π 0 d   2 1 rdr =     4 0 d 2 1 2 ] 2 [r = 2 3 4π 0 2 2  = 64 3 2 π . 例 5 求半球体 2 2 2 0  z  a  x  y 在圆柱 x  y  ax 2 2 ( a  0 ) D 内 那部分的体积. 解 把所求立体投影到 xoy 面，即圆柱 x  y  ax 2 2 ( a  0 ）内部, 容易看出所求立体的体积以D为底，以上半球面 2 2 2 z  a  x  y 为顶 的曲顶柱体的体积. 由于积分区域的边界曲线为圆周，所 以采用极坐标系较好. 此时D            0 cos , , 2 π 2 π r a 故 V = a x y x y D d d 2 2 2    =    2π 2π d    cos 0 2 2 d a a r r r = 3 2     2π 0 3 3 a (1 cos ) d =（ 3  9 4  ） 3 a . 小结 在计算二重积分时，当积分区域为圆形区域、圆环区域或 扇形区域时，选择用极坐标为好，其他情况用直角坐标为宜. 3．对坐标的曲线积分的计算方法 例 6 设 I =    L (3x xy )dx x ydy 2 2 2 ， 其中L是沿上半圆周 2 2 x  y =1 上的点 A（1，0）到B(1,0)一段弧，如图. ra = cos x y O D a O x y B A