《高等数学》课程教学资源（常见问题讲解）第四章 不定积分

不定积分 1.直接积分法 小结计算简单的不定积分，有时只需按不定积分的性质和基本 公式进行计算：有时需要先利用代数运算或三角恒等变形将被积函数 进行整理.然后分项计算. 例1计算（1) , (2)cos+sin 解(1)不能直接用公式，用加项减项变换，即 片可j23=-小+可 =-2x+3arctanx+C (2)不能直接用公式，用二项和公式展开再利用三角变换.得 原式=∫l+sinxkx=∫dr+∫sinxdx=x-cosx+C. 2.第一换元法 小结凑微分法一般不明显换新变量“，而是隐换，像上面所做， 这样省掉了回代过程，更简便. (1)第一换元积分法（凑微分法） ∫fp(xp'(x)dr=∫fLo(x)do(x） u=(x) ∫f(u)duF(u)+C 雕F[o(x】+C· 例2计算 (1) 2)j+gs. 解(1)选择换元函数u=o(x)使所给积分化为基本积分「a'dr形

不定积分 1. 直接积分法 小结 计算简单的不定积分，有时只需按不定积分的性质和基本 公式进行计算；有时需要先利用代数运算或三角恒等变形将被积函数 进行整理．然后分项计算． 例 1 计算（1）    x x x d 1 1 2 2 2 ， （2） x x x ) d 2 sin 2 (cos 2   ． 解 （1）不能直接用公式，用加项减项变换 ，即    x x x d 1 1 2 2 2 =            2 2 2 1 d d 2 d 3 1 2 2 3 x x x x x x =  2x  3arctan x  C （2）不能直接用公式，用二项和公式展开再利用三角变换． 得 原式= [1 sin x]dx   =  dx +  sin xdx = x  cos x C ． 2. 第一换元法 小结 凑微分法一般不明显换新变量u ，而是隐换，像上面所做， 这样省掉了回代过程，更简便． （1）第一换元积分法(凑微分法）  f [(x)](x)dx =  f [(x)]d(x) u  （x） f u u F u  C  ( )d ( ) 积分 回代 F[(x)]  C . 例 2 计算 （1）  x x a x d 2 1 ， （2）  x x x d (1 ) 1 ． 解 （1） 选择换元函数u  x使所给积分化为基本积分 a x xd 形

式，再求出结果。 为此，令u=女则d血=货于是 Jaidr--fodC=-ai +C Ina Ina 为简便起见，令“=！这一过程可以不写出来，解题过程写成下 面形式即可， Ig-dg-+c 称为凑微分). 3.第二换元法 小结第二换元法常用于消去根号，但有时也用于某些多项式， 像∫+ 也可用函数的三角代换求出结果.通常 当被积分函数含有根式√a2-x2时，可令x=asinx, 当被积分函数含有根式Va2+x2时，可令x=atanx, 当被积分函数含有根式Vx2-a2时，可令x=asecx. (2)第二换元积分法 jfxt"=pG①Jftolt'p=Fg+c1=p'因ro'w]+c (其中p()是单调可微函数) 例3计算 ①，2j 解(1)令V+x=t,则x=2-1,dr=2d,于是

式，再求出结果． 为此，令 x u 1  ，则 2 d d x x u   ，于是  x x a x d 2 1 = d u  a u  = ln u a C a   = C a a x   ln 1 ． 为简便起见，令 x u 1  这一过程可以不写出来，解题过程写成下 面形式即可, x x a x d 2 1 = ) 1 d( 1 x a x   = C a a x   ln 1 （ ) 1 d( d 2 x x x   称为凑微分）． （2）  x x x d (1 ) 1 =   d( ) 1 1 2 x x =2arctan x  C ． 3. 第二换元法 小结 第二换元法常用于消去根号，但有时也用于某些多项式 ， 像   x x a d ( ) 1 2 2 2 也可用函数的三角代换求出结果．通常 当被积分函数含有根式 2 2 a  x 时，可令 x  a sin x , 当被积分函数含有根式 2 2 a  x 时，可令 x  a tan x , 当被积分函数含有根式 2 2 x  a 时，可令 x  a sec x . （2）第二换元积分法  f (x)dx u  （x）  f [(t )](t )dt = F(t)  C t x 1   F x  C  [ ( )] 1  （其中 (t)是单调可微函数） 例 3 计算 （1）   x x d 1 1 1 ， （2）  x x x d 1 2 2 ． 解（1） 令 1 x  t , 则 x  1 2 t  , dx  2tdt ,于是

原式2-214，-2-0-2++c =2+x-2nl+V1+x+C. (2)设x=sint,V1-x2=cost,dr=cosd,于是 原式∫-madj2a -]Jdr-ifcos2(2) V1-x2 =-n2+c=- 1 -sintcost+C 4 2 4.分部积分法 小结此积分一般用于被积函数为不同类型的函数乘积式，但也 用于某些函数，如对数函数、反三角函数等，对于被积函数是指数函 数与三角函数乘积，还有∫sin(lnx)dr以及上面所讲的「sec3xdr等，需多 次使用分部积分公式，在积分中出现原来的被积分函数再移项，合并 解方程，方可得出结果，而且要记住，移项之后，右端补加积分常数 C. 分部积分的公式为 ∫udv=w-∫d. 应用此公式应注意： (1)v要用凑微分容易求出， (2)「vdu比∫dv容易求。 例4计算 (1)「(x2+1)edr, (2) 「sec3xrdr. 解(1)选u=x2+1,dy=edr,v=e, du=2xdr,于是 原式=(x2+l)e-2xedr

原式=   t t t d 1 2 =     t t t d 1 1 1 2 = ] 1 d 2[ d    t t t = 2t  2ln1 t  C =2 1 x  2ln1 1 x  C . （2） 设 x  sin t , 1 x cost 2   ,dx  costdt , 于是 原式=  t t t t d cos sin cos 2 =  sin tdt 2 =   t t d 2 1 cos 2 = 2 1    cos 2 d(2 ) 4 1 dt t t = t  sin 2t  C  4 1 2 1 t  sin t cost  C 2 1 2 1 = x C x x    2 1 2 arcsin 2 1 ． 4. 分部积分法 小结 此积分一般用于被积函数为不同类型的函数乘积式,但也 用于某些函数，如对数函数、反三角函数等，对于被积函数是指数函 数与三角函数乘积，还有 sin(ln x)dx  以及上面所讲的 sec xdx 3  等，需多 次使用分部积分公式，在积分中出现原来的被积分函数再移项，合并 解方程，方可得出结果，而且要记住，移项之后，右端补加积分常数 C ． 分部积分的公式为  udv =uv   vdu . 应用此公式应注意: （1） v要用凑微分容易求出, （2）  vdu比 udv容易求. 例 4 计算 （1） x x x ( 1) e d 2   ， （2） 3 sec xdx  ． 解 （1） 选 1 2 u  x  ，dv  x e dx， v  x e ， du  2xdx , 于是 原式 ( 1) 2  x  x e   2 x x e dx , 2 1 x x 1 t

对于「xedr再使用分部积分法， 选u=x,dv=edr,则du=dr,v=e,从而 ∫xe'dr=xe-∫edr=xe-er+C. 原式=e*-2(xe*-e*+C)=(x2+2x+)e+C(C=2C), 为了简便起见，所设u=x,v=e等过程不必写出来，其解题步 骤如下： Jxe*dx=Sxde"=xe*-fe'dx-xe*-e*+C. (2)∫sec3xdr=∫secxd(tanx)=sec xtanx-∫tanxd(secx) =secxtanx-[tan2xsec xdx =secxtanx-[(sec2x-1)sec xdx =sec xtan x-∫sec3xdr+∫secxdx =sec xtanx-[sec3 xdx+Insecx+tanx, 式中出现了“循环”，即再出现了∫sec3xdr移至左端，整理得 ∫sec2dr=)[secxtanx+-Insecx+-tana门+C

对于  x x e dx再使用分部积分法, 选u  x ， dv  x e dx , 则 du  dx，v  x e ,从而  x x e dx = x x e   x x e d = x x e C x  e  ． 原式= x e  2(xe  e  C1 )  x x ( 2 1) 2 x  x  C x e  （ 1 C  2C ）, 为了简便起见，所设 u  x ,v  x e 等过程不必写出来，其解题步 骤如下:  x x e dx =  x d x e = x x x C x x x x      e e d e e . （2） 3 sec xdx  = sec xd(tan x)  =sec x tan x   tan xd(sec x) =sec x tan x   tan x sec xdx 2 =sec x tan x  (sec x 1)sec xdx 2   =sec x tan x   sec xdx 3 +  sec xdx =sec x tan x   sec xdx 3 +ln sec x  tan x , 式中出现了“循环”，即再出现了 sec xdx 3 移至左端，整理得 3 sec xdx  = 2 1 [sec x tan x +ln sec x  tan x ]+C．