北京邮电大学出版社：21世纪高等学校规划教材《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第8章 重积分 第2节 二重积分的计算

第2节 第八章 二重积分的计算 一、 在直角坐标系下二重积分的算法 二、在极坐标系下二重积分的算法 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 第2节 一、在直角坐标系下二重积分的算法 二、在极坐标系下二重积分的算法 二重积分的计算 第八章

在直角坐标系下二重积分的算法 定理1由曲顶柱体体积的计算，当被积函数f(x,y)≥0 且在D上连续时，若D为X-型区域 yy=02(x) p(x)≤y≤p2(x） a≤x≤b Qay-(xbx 则 ,fyddy-ar f(x,y)dy 定理2若D为 0-09 d Y-型区域 则Jdd- x=W(y） BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 O y ( ) 1 x  y ( ) 2 x  y x d c 且在D上连续时, 当被积函数 f (x, y)  0        a x b x y x D ( ) ( ) : 1 2 D f (x, y)dxdy f x y y x x ( , )d ( ) ( ) 2 1      b a d x 定理1 由曲顶柱体体积的计算, 若D为 X - 型区域 则 O ( ) 1 y   x ( ) 2 y   x b x y D a x 定理2 若D为 Y - 型区域        c y d y x y D ( ) ( ) : 1  2 y f x y x y y ( , )d ( ) ( ) 2 1     d c 则 d y 一、在直角坐标系下二重积分的算法

当被积函数f(x,y)在D上变号时，由于 fx,)= f(x,y)+f(x,y)f(x,y)-f(x,y) 2 2 (x,y) f2(x,y)均非负 f()dxdy=()dxdy ∬n(x,)dxdy 因此上面讨论的累次积分法仍然有效 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 当被积函数 f (x, y)    2 ( , ) ( , ) ( , ) f x y f x y f x y 2 f (x, y)  f (x, y) ( , ) 1 f x y ( , ) 2 f x y 均非负 在D上变号时, 因此上面讨论的累次积分法仍然有效 . 由于

特别：(1)若积分区域既是X-型区域又是Y-型区域， 则有 小nfx,)drdy y=2(x) f(x,y)dy xW2(y） =ayjg/xd h x 为计算方便，可选择积分序，必要时还可以交换积分序 (2)若积分域较复杂，可将它分成若干y X-型域或Y-型域，则 =+,+ BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 自录 页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束x y O x y D O 特别: (1) 若积分区域既是 X - 型区域又是Y - 型区域 , D f (x, y)dxdy 为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序. ( ) 2 y  x a b ( ) 1 x  y ( ) 2 x  y d c 则有 x ( ) 1 y  x y f x y y x x ( , )d ( ) ( ) 2 1      b a d x f x y x y y ( , )d ( ) ( ) 2 1      d c d y (2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 D1 D2 D3 X - 型域或Y - 型域 ,        D D1 D2 D3 则

例s.21计算二重积分1=川(x+)dxdy. 其中D是矩形域D={(x,y)1≤x≤2,0≤y≤3} 解法1先对y,后对x积分： I-afe*ay-【w+x -[✉+]dx-听-9 解法2先对x,后对y积分： 1=小yf*ax-I于+wy =房*小*6 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 例8.2.1 计算二重积分 ( )d d ,    D I x y x y 其中D是矩形域 解法1 先对y，后对x积分： I   2 1 d x   3 0 (x y)d y   2 1 d x      2 1 d 2 9 3x x   9. 1 2 2 9 2 3 2  x  x    0 3 2 2 y x y  解法2 先对x，后对y积分： D {(x, y)|1 x  2,0  y  3}. I   3 0 d y   2 1 (x y)d x   3 0 d y      3 0 d 2 3 y y   9. 0 3 2 1 2 3 2  y  y    1 2 2 2 x y x 

例8.24计算1=∬(x2+y2-x)dxdy,其中D由 x=2,y=x,y=2x所围成的闭区域. y=2x 解：画出积分区域D,可以看出D既y 是X型区域，也是Y区域，先对y后 对x积分方便.D可以写成 三X D={(x,y)川x≤y≤2x,0≤x≤2 X 2 I=fdx["(x2+y-x)dy ---g-小 32 3 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 例8.2.4 计算 ( )d d , 2 2     D I x y x x y x＝2，y＝x，y＝2x所围成的闭区域． 解: 画出积分区域D，可以看出D既 是X型区域，也是Y区域，先对y后 对x积分方便．D可以写成 其中D由 y  x O 2 y x y  2x x D {(x, y)| x  y  2x;0  x  2}.      x x I x x y x y 2 2 2 2 0 d ( )d                    2 0 3 2 2 0 2 2 3 d 3 10 d 3 1 x y y x y x x x x x x . 3 32 

二、在极坐标系下二重积分的算法 0,+△8 在极坐标系下，用同心圆r=常数 及射线0=常数，分划区域D为 △o(i=1,2,…,n) 则除包含边界点的小区域外，小区域的面积 △0=(G+△)2.△0，-.△0， =[r+△】△：△0 =;△8 在△o,内取点(G,0),对应有 5,=rcos0,7,=sn0 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 二、在极坐标系下二重积分的算法 O x i i i  r r  cos , sin . i i i i i i   r    r  对应有 在极坐标系下, 用同心圆 r =常数 则除包含边界点的小区域外,小区域的面积  i (i 1,2, ,n)  i   在  i ( , ), i i r   i i  i i r  i i i  r  2 2 1 内取点 i i i  r  r  2 2 1 ( ) 及射线  =常数, 分划区域D 为 i i r  i r i r i O i i r  r

m∑f(5,n,)Ao 2 i=1 =g之/7cos8isn0)-7yAe 即 j∬nfx,y)do-j∬(rcos0,sinrdrd6 rd BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 i i i i i i i n i f r  r  r r          lim ( cos , sin ) 1 0 D 即 f (x, y)d r d r d   D f (r cos ,rsin ) d r d r rd d O

定理3 设孔x,y)在闭区域D上连续，通过极坐标代换 x=cos0,y=rsin0,则有 (dxd=f(rcos0,rsin 0)rdrdo. r三02(0)） 1.极点O在积分区域D之外 设D:9m0)55:0 则 f(rcos0,rsin0)rdrdo p2( simrdr 7=0(0) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束   D ( ) r 1  ( ) r 2  O x  ( ) ( ) 2 1 ( cos , sin ) d     f r  r  r r 设 , ( ) ( ) : 1 2             r   D 则 D f (r cos ,rsin )r d r d     d ( ) r 1    ( ) r 2  O x D 1.极点O在积分区域D之外 定理3 设f(x，y)在闭区域D上连续，通过极坐标代换 x＝rcosθ，y＝rsinθ，则有 ( , )d d ( cos , sin ) d d .    D D f x y x y f r  r  r r 

2.极点O在积分区域D的边界上 D={(r,O)10≤r≤p(O),a≤0≤B f(rcos0,rsin0)rdrde =∫de”f(reos0,rsin O)rdr. 3.设极点O在D的内部 D: =0(0) ∬f(rcos0,rsin8rdrd0 =哈7d0r0eos0rsin0rdr BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 r ( ) D O x 0 2π 0 ( ) :         r   D D f (r cos ,rsin )r d r d  ( ) 0 ( cos , sin ) d   f r  r  r r   2π 0 d 3.设极点O在D的内部 2.极点O在积分区域D的边界上 D {(r,)| 0  r (),   }, ( cos , sin ) d . ( ) 0   f r  r  r r D f (r cos ,rsin )r d r d     d