北京邮电大学出版社：21世纪高等学校规划教材《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第11章 微分方程 第3节 高阶微分方程的解法

第3节 第十一章 高阶微分方程的解法 可降阶的高阶微分方程 二、二阶线性微分方程解的结构 三、二阶常系数齐次线性微分方程的解法 四、二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 五、二阶线性微分方程举例 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 下页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 高阶微分方程的解法 第3节 一、可降阶的高阶微分方程 二、二阶线性微分方程解的结构 三、二阶常系数齐次线性微分方程的解法 第十一章 四、二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 五、二阶线性微分方程举例

一、可降阶的高阶微分方程 1.ym=f(x)型的微分方程 令=ym-),则=ym=fx),因此 dx z=∫fx)dx+C 即 yw-D=∫fx)dx+C 同理可得y”-2=[f(x)dr+C]dx+C2 [[ff(x)dx ]dx +Gx+C2 依次通过n次积分，可得含n个任意常数的通解 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 下页返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 一、可降阶的高阶微分方程 ( ) 1. ( ) n y f x  型的微分方程 令 , ( 1)  n z y 因此 d 1 z   f (x) x C 即 同理可得   2 ( 2) y dx C n      dx   依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 . 1 C2 C x 

例11.3.1求微分方程y”=e+cosx的通解 解：y”=-e+sinx+C, y'=e*-cosx+Cx+C2, y=-e *-sinx+ +Cxx+C3 2 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例11.3.1 求微分方程 解: 1 e sin , x y x C       1 2 e cos , x y x C x C       1 2 2 3 e sin . 2 x C y x x C x C       

2y”=f(x,y)型的微分方程 设y=p,则y”=p,原方程化为一阶方程 p'=f(x,p) 设其通解为p=0(x,C1〉 则得 y'=p(x,C) 再一次积分，得原方程的通解 y=Jp(x,C)dx+C2 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 2. ( , ) y f x y    型的微分方程 设 y p   , 原方程化为一阶方程 设其通解为 ( , ) C1 p  x 则得 ( , ) C1 y   x 再一次积分, 得原方程的通解 1 d 2 y    (x,C ) x C

例11.3.3设有一均匀，柔软的绳索，两端固定，绳索仅受 重力作用而下垂，问该绳索的平衡状态是怎样的曲线？ 解：取坐标系如图考察最低点A到 任意点M(x,y)弧段的受力情况： A点受水平张力万 M点受切向张力7 弧段重力大小4gS(:密度，s:弧长) 按静力平衡条件，有Tcos0=H,Tsin0=4gs 两式相除得 tan O =%g 放有y=J1+axy=1+y BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回

目录 上页 下页 返回 结束 例11.3.3 绳索仅受 重力作用而下垂, 解: 取坐标系如图.考察最低点 A 到 弧段重力大小 (μ: 密度, s :弧长) 按静力平衡条件, 有 M  gs   a H  g  y  y x x 1 d 0 2    a 1 故有  2 1 1 y a y     设有一均匀, 柔软的绳索, 两端固定, 问该绳索的平衡状态是怎样的曲线 ? 任意点M ( x, y ) 弧段的受力情况: T A 点受水平张力 H M 点受切向张力T 两式相除得 H A y O x

设OA=a,则得定解问题： [x"=av1+y2 悬链线 y=0=a,yx=0=0 令y=p(x),则y” dp. 方程化为 48S d dp dx 1+p2 a Arsh p=ln(p+V1+p2)） 两端积分得Arsh p=。+C,由yx=0=0得C=0, 则有 y'=sh a 两端积分得y=ach。+C2,由yx=0=a,得C2=0 故所求绳索的形状为y=a h=8(e+e8) a BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上页 下页返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 1 2 y 1 y a     设 OA  a, 则得定解问题: 令 y   p(x), , d d x p 则 y   原方程化为 两端积分得 Arsh ln ( 1 ) 2 p  p   p Arsh , C1 p a x   0, 得C1  则有 两端积分得 0 得C2  故所求绳索的形状为 a x y  a ch (e e ) 2 a x a x a    悬链线 a M  gs T H A y O x

3y”=f(y,y型的微分方程 令y=py),则y=?=d2.d业y ap dx dy dx 故方程化为 8心 设其通解为p=p(y,C1),即得 y'=0y,C) 分离变量后积分，得原方程的通解 dy =x+C2 p(y,G) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 、返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 3. ( , ) y f y y    型的微分方程 令 y   p ( y), x p y d d 则   x y y p d d d d   故方程化为 设其通解为 ( , ), C1 p  y 即得 分离变量后积分, 得原方程的通解

例11.3.4求微分方程yy”-y2=0的通解 解：设y=p,则y”= dpdy p p dx dy dx y 代入方程得yPdy -p2=0,即y dy y 两端积分得lnlp=lny+C,即p=Cy, y'=C1y（(一阶线性齐次方程) 故所求通解为y=C,e9x(C,=±e) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 例11.3.4 求微分方程 代入方程得 两端积分得 ln ln , p y C   , 1 即 p  C y (一阶线性齐次方程) 故所求通解为 解:设 x p y d d 则   x y y p d d d d  y p p d d 

二、二阶线性微分方程解的结构 1.二阶线性微分方程的一般概念 形如 y”+P(x)y+Qxy=孔x) 的微分方程称为二阶线性微分方程，其中P(x),Q(x), x)都是x的已知函数. 如果孔x)=0,方程变为 y”+P(x)y'+Qxy=0 称为原方程对应的二阶齐次线性微分方程：而原方 程称为二阶非齐次线性方程. BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 下页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 二、二阶线性微分方程解的结构 1.二阶线性微分方程的一般概念 的微分方程称为二阶线性微分方程，其中P(x)，Q(x)， f(x)都是x的已知函数． 形如 y″＋P(x)y′＋Q(x)y＝f(x) 如果f(x)≡0，方程变为 y″＋P(x)y′＋Q(x)y＝0. 称为原方程对应的二阶齐次线性微分方程；而原方 程称为二阶非齐次线性方程．

2.二阶线性微分方程的解的结构 定理1若函数(x),y2(x)是二阶线性齐次方程 y”+P(x)y'+Q(x)y=0 的两个解，则y=C1(x)+C2y2(x)(C1,C2为任意常数) 也是该方程的解.（解的叠加性 证：将y=C1y(x)+C22(x)代入方程左边，得 [C]y+C22]+P(x)[C+C2y2] +Q(x)[C1M1+C2y2] =C[+P(x)+Q(x)y] +C2[y3+P(x)y2+Q(x)y2]=0 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 下页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 ( )[ ]  P x C1 y1   ( )[ ]  Q x C1 y1   0 ( ), ( ) 1 2 若函数 y x y x 是二阶线性齐次方程 y   P(x)y   Q(x) y  0 的两个解, 也是该方程的解. 证: ( ) ( ) 1 1 2 2 将 y  C y x C y x 代入方程左边, 得 [ ] C1 y1  2 2 C y  2 2 C y  2 2 C y [ ( ) ( ) ] 1 1 1 1  C y  P x y   Q x y [ ( ) ( ) ] 2 2 2 2 C y   P x y   Q x y (解的叠加性) ( ) ( ) 1 1 2 2 则 y  C y x C y x 定理1 2.二阶线性微分方程的解的结构