北京邮电大学出版社：21世纪高等学校规划教材《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第10章 无穷级数 第3节 幂级数

第3节 第十章 幂级数 一、 函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 第3节 一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算 幂级数 第十章

一、 函数项级数的概念 设4n(x)(n=1,2,…)是定义在区间I上的函数列 ∑4，(w)=4()+4,(x)+4,()++4,(x)+ n= 为定义在区间I上的（函数项）级数 对x0∈1，若常数项级数∑4n(x)收敛，称x为其收 n=l 敛点，所有收敛点的全体称为其收敛域， 若常数项级数∑4n(xo)发散，称xo为其发散点，所有 n=l 发散点的全体称为其发散域 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 一、函数项级数的概念 设 为定义在区间 I 上的(函数项)级数. 对 若常数项级数 敛点, 所有收敛点的全体称为其收敛域 ; 若常数项级数 是定义在区间 I 上的函数列, 收敛, 发散 , 所有 0 称 x 为其收 0 称x 为其发散点, u (x) (n 1,2, ) n 发散点的全体称为其发散域

在收敛域上，函数项级数的和是x的函数S(x),称它 为级数的和函数，并写成 S(x)=∑4n(x) n=1 若用Sn(x)表示函数项级数前n项部分和，即 S,(x)=∑4，(x) 令余项rn(x)=S(x)-Sn(x) 则在收敛域上有 lim S (x)=S(x), lim r (x)=0 n-→00 n-→o0 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上页 下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 为级数的和函数 , 并写成 若用 令余项 则在收敛域上有 表示函数项级数前 n 项部分和, 即 在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数 称它

例10.3.1考察级数 ∑x”=1+x+x2+…+x”+ n=0 的收敛域和发散域 解它的收敛域是(-1,1)，当x∈(-1,1)时，有和函数 ∑x”= n=0 -x 它的发散域是(-0，-1]及[1，+∞)，或写作x≥1. BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例10.3.1 考察级数 解 它的收敛域是 它的发散域是 ( , 1]及[1， ）, 或写作 x 1. 有和函数 的收敛域和发散域．

二、幂级数及其收敛性 形如 ∑an(x-x)”=a+a4(x-x0)+a(x-xo)2+ n=0 …+an(x-xo)”+… 的函数项级数称为幂级数，其中数列an(n=0,1,…)称 为幂级数的系数 下面着重讨论xo=0的情形，即 ∑anx”=a0+ax+a2x2+…+anx”+ n=0 ”-xx<1即是此份形， 00 例如，幂级数 n=0 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 二、幂级数及其收敛性 形如 的函数项级数称为幂级数, 其中数列 下面着重讨论 例如, 幂级数 , 1 1 1 0       x x x n n 为幂级数的系数 . 即是此种情形. 的情形, 即 称

定理1（阿贝尔定理 如果幂级数 ∑anx” n=0 在x=x点收敛，则对满足不等式xxo的任何x,该幂级数也发散 证：设∑anx收敛，则必有lim anx6=0,于是存在 n n→00 常数M>0,使a,xM(n=0,1,2,…) 收敛发散 发散 收O敛 发散x BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 阿贝尔目录上页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 收敛 发散 定理 1 ( 阿贝尔定理 ) 如果幂级数   n0 n n a x 则对满足不等式 的任何 x 幂级数都绝对收敛. 反之, 若当 的任何x , 该幂级数也发散. 时该幂级数发散 , 则对满足不等式 证: 设 收敛, 则必有 于是存在 常数 M > 0, 使 发 散 收 O 敛 发 散 x 阿贝尔

ax ≤M xo 当|xxo且使级数收敛，则由前 面的证明可知，级数在点x。也应收敛，与所设矛盾， 故假设不真.所以若当x三x,时幂级数发散，则对一切 满足不等式x>xo的x,原幂级数也发散 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 当 x  x0 时, 收敛, 故原幂级数绝对收敛. 也收敛, 反之, 若当 0 x  x 时该幂级数发散 ,下面用反证法证之. 假设有一点 1 x 1 0 x  x 0 x 满足不等式 0 x  x 所以若当 0 x  x 满足 且使级数收敛 , 面的证明可知, 级数在点 故假设不真. 的 x , 原幂级数也发散 . 时幂级数发散 , 则对一切 则由前 也应收敛, 与所设矛盾, n n n n n n x x a x a x 0  0 n n n x x a x 0 0  

推论 如果幂级数∑anx”不仅在x=0一点收敛，也 不是在整个数轴上都收敛，则必存在一个完全确定 的正数R,它具有这样的性质： (1)当x←R时，幂级数绝对收敛； (2)当x>R时，幂级数发散： (3)当x=R与x=一R时，幂级数可能收敛也可能发散， BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 (1)当|x|R时，幂级数发散； (3)当x＝R与x＝－R时，幂级数可能收敛也可能发散

由Abel定理可以看出，∑anx” 的收敛域是以原点为 中心的区间. n=0 用士R表示幂级数收敛与发散的分界点，则 R=0时，幂级数仅在x=0收敛； R=+o时，幂级数在（一0，+o)收敛； 0<R<+0,幂级数在（一R,R)收敛；在[一R,R] 外发散，在x=±R可能收敛也可能发散 R称为收敛半径，（一R,R)称为收敛区间 (一R,R)加上收敛的端点称为收敛域 收敛发散 发散 收O敛 发散x BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 幂级数在 (－∞, +∞) 收敛 ; 由Abel 定理可以看出,   n0 n n a x 中心的区间. 用±R 表示幂级数收敛与发散的分界点, 的收敛域是以原点为 则 R = 0 时, 幂级数仅在 x = 0 收敛 ; R = + 时, 0  R   , 幂级数在 (－R , R ) 收敛 ; (－R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域. R 称为收敛半径 ， 在[－R , R ] 外发散; 在 x  R 可能收敛也可能发散 . (－R , R ) 称为收敛区间. 发 散 收 O 敛 发 散 x 收敛 发散

定理2若∑a,x”的相邻系数满足lim =1,则 n=0 (1)当0oo anx n-→0 (1)若01,即Ix> 时，原级数发散 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 x a a a x a x n n n n n n n n        1 1 1 lim lim 定理2 若 的相邻系数满足 1 R ; l  R   ; R  0 . 证: (1) 若0 < l <＋∞, 则根据比值审敛法可知: 当 l x 1 , 原级数收敛; 当 l x 1 , 原级数发散. 即 1 x l  时, (1) 当0 < l <＋∞时, (2) 当l ＝0 时, (3) 当l ＝+∞时, 即 时, 则 1 x l 