北京邮电大学出版社：21世纪高等学校规划教材《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第11章 微分方程 第2节 一阶微分方程的解法

第2节 第十一章 一阶微分方程的解法 一、 可分离变量的微分方程 二、齐次微分方程 三、一阶线性微分方程 四、伯努利方程 五、全微分方程 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 一阶微分方程的解法 第2节 一、可分离变量的微分方程 第十一章 二、齐次微分方程 三、一阶线性微分方程 四、伯努利方程 五、全微分方程

一、可分离变量的微分方程 形如y= f(x)g(y)的方程，称为可分离变量的微分方程 dx 在gy)≠0时，方程可化为 f(x)dx. 它的特点是一端只含y的函数和dy,另一端只含x的函 数和x.这种方程称为变量已分离的微分方程.转化 方程的过程称为分离变量 设y=p(x)是方程的解，那么 (x) g[o(x)] dx=f(x)dx 转上式两院积分行阅-小C 其中C是任意常数， BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 下页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 d ( ) ( ) d y f x g y x 形如  的方程，称为可分离变量的微分方程． 它的特点是一端只含y的函数和dy，另一端只含x的函 数和dx.这种方程称为变量已分离的微分方程．转化 方程的过程称为分离变量． 设y＝ (x) 是方程的解，那么 其中 C是任意常数． 将上式两端积分，得 在g(y)≠0时，方程可化为 一、可分离变量的微分方程 d ( )d . ( ) y f x x g y  '( ) d ( )d . [ ( )] x x f x x g x    '( ) d ( )d , [ ( )] x x f x x C g x      

例11.2.1求微分方程 是2w 的通解 解：当≠0时，分离变量得 dy=2xdx. 两端积分∫可2xdr 得 In y =x2+C. 即 y=±e+G=±eSe 令C=±e9≠0 y=Ce(C为任意常数) (此式含分离变量时丢失的解y=0) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 例11.2.1 求微分方程 的通解. 解:当y≠0时，分离变量得 d 2 d , y x x y  两端积分 得 2 1 ln . y x C   即 1 e 0 C 令C    ( C 为任意常数 ) ( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )

例11.2.3设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 成正比，并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0，求 降落伞下落速度与时间的函数关系 dv 解：根据牛顿第二定律列方程m mg -kv dt 初始条件为v,=o=0 对方程分离变量，然后积分： 得n(mg-k)=+C (此处mg-kv>0) m 利用初始条件，得C=-1n(mg) t足够大时 k y≈ mg 代入上式后化简，得特解v= mg(1-e BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 录 返回

目录 上页 下页 返回 结束 例11.2.3 成正比, 求 解: 根据牛顿第二定律列方程  t v m d d 初始条件为 v t0  0 对方程分离变量, 然后积分   : 得 (此处 mg  kv  0) 利用初始条件, 得 ln ( ) 1 mg k C   代入上式后化简, 得特解 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, (1 e ) t m k k m g v    mg  kv 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 降落伞下落速度与时间的函数关系. k mg v  t 足够大时

二、齐次微分方程 形如 )的方程叫做齐次方程 X 解法：令w=y,则y=x, du =u+x X dx du 代入原方程得 u+x- dx =p() du dx 分离变量： p(u）-u X = d x 两边积分，得 X 积分后再用Y代替弘便得所给齐次方程的通解 X BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 下页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 二、齐次微分方程 形如 的方程叫做齐次方程 . 令 , x y u  代入原方程得 ( ) d d u x u u  x  x x u u u d ( ) d    两边积分, 得     x x u u u d ( ) d  积分后再用 代替 u, 便得所给齐次方程的通解. 解法: 分离变量:

例11.2.4解方程 dy dx x2-1 解：原方程可写成 令 1-( 则有y=x, u+x dx 分离变量得 (1-u)du dx u X 两端积分得 7-lml-lnlx+C、即=Ce2 代回原变量得通解y-Ce2y=0. BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS e 目录上页 下页返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 例11.2.4 解方程 解:原方程可写成 2 d , d 1 ( ) y y x x y x   , y u x 令  则有 d d , , d d y u y ux u x x x    分离变量得 2 3 (1 )d d . u u x u x   两端积分得 2 1 1 ln ln , 2 u x C u     代回原变量得通解 即 2 1 2u ux Ce   2 2 2 0. x y y Ce   

三、一阶线性微分方程 一阶线性微分方程标准形式： dy+P(x)y =Q(x) dx 若Qx)=0,称为齐次方程； 若Qx)丰0，称为非齐次方程 1.解齐次方程 +P(x)y=0 分离变量 d -P(x)dx y 两边积分得 Iny=∫P(x)dx+C, 故通解为 y=Ce-iPOdx(C=±e), BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上页 下页返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 三、一阶线性微分方程 一阶线性微分方程标准形式: ( ) ( ) d d P x y Q x x y   若 Q(x)  0, ( ) 0 d d  P x y  x y 若 Q(x)  0, 称为非齐次方程 . 1.解齐次方程 分离变量 两边积分得 1 ln ( ) , y P x x C    d  故通解为 1 ( ) d e ( e ), P x x C y C C     称为齐次方程 ;

2.解非齐次方程 dy P(x)y=Q(x) dx 用常数变易法作变换(x)=x)eP()dx, 则 WePue P(e-Q(x) 即 盘-eea 两端积分得 u=∫()x+C 故原方程的通解y=ePr[ex)erd+C】 即 y=Ce-[Q)erdx 齐次方程通解 非齐次方程特解 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束   P x x y C ( )d 对应齐次方程通解 e 齐次方程通解 非齐次方程特解  P x x C ( )d e 2. 解非齐次方程 ( ) ( ) d d P x y Q x x y   用常数变易法: ( ) ( )e , ( )   P x x y x u x d 则   P x x u ( )d e  P(x)  P x x u ( )d e  Q(x) 故原方程的通解 Q x x P x x P x x e ( )e d ( )d ( )d                y Q x x C P x x P x x e ( )e d ( )d ( )d 即 y  即 作变换   P x x P x u ( )d ( ) e u Q x x C P x x     ( )e d ( )d 两端积分得

例11.2.5求方程 dy-卫=x2的通解 dx x 解：先解 -y=0即d业=d dx 积分得lny川=lmx+C,即y=Cx(C=e) 用常数变易法求特解.令y=u(x)x,则 dy=u(x)x+u(x). d 代入非齐次方程得'(x)=x. 解得4)子+C 故原方程的通解为y=。x+C 2 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 例11.2.5 求方程 解: 先解 d 0 , d y y x x   即 d d , y x y x  积分得 即 1 ( ). C y Cx C e    用常数变易法求特解. y u x x  ( ) , 则 d ( ) ( ), d y u x x u x x    代入非齐次方程得 解得 1 2 ( ) . 2 u x x C   故原方程的通解为 令

四、伯努利方程 伯努利方程的标准形式 dy+Pxy=Oxy(n≠0,1) d 解法：以y”除方程两边，得 雅各布第一·伯努利 p-n dy+P()y-"=Q(x) dx 令：=y-”,则=0-m" dx dx +1-m)P(x):=(1-m)Qy(线性方程) dx 求出此方程通解后，换回原变量即得伯努利方程的通解 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 伯努利目录 返回

目录 上页 下页 返回 结束 四、伯努利方程 伯努利方程的标准形式: ( ) ( ) d d 1 P x y Q x x y y n n     令 , 1 n z y   x y n y x z n d d (1 ) d d  则   (1 ) ( ) (1 ) ( ) d d n P x z n Q x x z     求出此方程通解后, 除方程两边 , 得 换回原变量即得伯努利方程的通解. 解法: (线性方程) 伯努利