北京邮电大学出版社：21世纪高等学校规划教材《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第8章 重积分 第3节 二重积分的应用

第3为 第八章 二重积分多的及用 曲面的面积 二、平面薄片的重心 三、平面薄片的转动惯量 四、平面薄片对质点的引力 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 第3节 一、曲面的面积 二、平面薄片的重心 二重积分的应用 第八章 三、平面薄片的转动惯量 四、平面薄片对质点的引力

一、曲面的面积 设光滑曲面S:z=f(x,y),(x,y)∈D, 则面积A可看成曲面上各点M(x,y,2) 处小切平面的面积dA无限积累而成 设它在D上的投影为do,则 do=cosy.d4 oy d A=1+fs(x,y)+fy2(x,y)do (称为面积元素) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 n  M d A d k 一、曲面的面积 x y z S O 设光滑曲面 Dxy S : z  f (x, y) , (x, y) 则面积 A 可看成曲面上各点 M (x, y,z) 处小切平面的面积 d A 无限积累而成. 设它在 D 上的投影为 d , d  cos  d A 1 ( , ) ( , ) 1 cos 2 2 f x y f x y  x  y   d 1 ( , ) ( , ) d 2 2 A f x y f x y   x  y (称为面积元素) 则   M n d

故有曲面面积公式 A=j八nV1+/(x,)+x,)da 即 dxdy 若光滑曲面方程为x=x(y,2),(y,)∈D,:,则有 1-产a BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 故有曲面面积公式 1 ( , ) ( , ) d 2 2     Dxy x y A f x y f x y 1 ( ) ( ) d d . 2 2 x y y z x z A Dxy         若光滑曲面方程为 y z z x y x A 1 ( ) ( ) d d 2 2         ( , ) , ( , ) , Dy z x  x y z y z  则有 Dy z 即

若光滑曲面方程为y=y(2,x),(二，x)∈Dx,则有 4=p1+02-8户da BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 自录上页 下返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 z x x y z y A 1 ( ) ( ) d d 2 2         若光滑曲面方程为 ( , ) , ( , ) , Dz x y  y z x z x  则有 Dz x

例8.3.1求半径为R的球的表面积. 解：利用球坐标方程 Rsin odO 设球面方程为r=R 球面面积元素为 Rsinp d A=R'sinododo Rdo 、A=Rdosinodo =4πR2 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 例8.3.1 求半径为 R 的球的表面积. 解: 设球面方程为 r  R 球面面积元素为 d sin d d 2 A  R     π 0 2π 0 2 A R d sin d 2  4 π R Rsin Rd 利用球坐标方程. O   R x y z d Rsind

二、平面薄片的重心 设xOy平面有n个质点，分别位于(x,y),其质量分别为 m,(i=1,2,…,n),由力学知道，该质点系的重心坐标 ∑m,x 为 M X= i Mx M n m M ∑m 1 设物体占有闭区域D,有连续密度函数4(x,y),则 采用“分割，近似，求和，取极限”可导出其重心公 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 二、平面薄片的重心 设xOy平面有n个质点, ( , ) , i i x y 其质量分别为 m ( i 1, 2, , n ) , i   由力学知道, 该质点系的重心坐标 , 1 1       n i i n i i i y m m x M M x . 1 1       n i i n i i i x m m y M M y 设物体占有闭区域 D , 有连续密度函数 (x, y), 则 分别位于 为 即: 采用 “分割, 近似, 求和, 取极限” 可导出其重心公 式

将D分成n小块，在第i块上任取一点(，7)， 将第i块看作质量集中于点(5，n,)的质点，此质点 系的重心坐标就近似该物体的重心坐标.例如， ∑5，p(5n,)Ay i=l X≈ ∑P(5,n)An 令各小区域的最大直径见→0，即得 ()dxdy X三 )dxdy BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 录 上负页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 将 D分成 n 小块, ( , ), i i 将第 i 块看作质量集中于点 ( , ) i i 例如,        n i i i i n i i i i i v v x 1 1 ( , ) ( , )        令各小区域的最大直径   0,    D D x y x y x x y x y x ( , )d d ( , )d d   系的重心坐标就近似该物体的重心坐标. 的质点, 即得 此质点 在第 i 块上任取一点

同理可得 (x.y)dxdy ()dxdy 当面密度4(x,y)=k为常量时，则得形心坐标： -dc,-yc. (A=∫do为闭区域D的面积) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 同理可得 当面密度 (x, y)  k为常量时,则得形心坐标： d , 1 d , 1     D D y A x y A x    A 为闭区域D的面积  D  d . ( , )d d ( , )d d    D D x y x y y x y x y y  

例8.3.5求位于两圆r=2sin0和r=4sin0之间均匀薄片 的重心. 解：利用对称性可知x=0 而y=dy 3a,产sn6a30 X en0uog7a-ga9e0 2n00-22-月 9元 422-3 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 4 例8.3.5 求位于两圆r  2sin 和 r  4sin 的重心. 2 D 解: 利用对称性可知 x  0 而   D y x y A y d d 1   D r sin drd 3π 1 2 r d r 4sin 2sin 2    sin  d 9 π 56 π 0 4     2  9 π 56 2 sin  d 9 π 56 2 π 0 4    3 7  之间均匀薄片   π 0 sin d 3π 1    4 3  2 1 2 π O y x C

三、平面薄片的转动惯量 设xOy平面有n个质点，分别位于(x,y),其质量分别为 m,(i=1,2,…,n),由力学知道，该质点系关于直线的 转动惯量为 ,=∑rm, 其中r,是点(x,y)到直线1的距离.该质点系关于x 轴以及，y轴的转动惯量依次为 =m,=∑xm BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 三、平面薄片的转动惯量 设xOy平面有n个质点, ( , ) , i i x y 其质量分别为 m ( i 1, 2, , n ) , i   由力学知道, 该质点系关于直线l的 , . 1 2 1 2       n i y i i n i I x yi mi I x m , 1 2   n i l i mi I r 分别位于 转动惯量为 其中ri是点(xi，yi)到直线l 的距离．该质点系关于x 轴以及y轴的转动惯量依次为