北京邮电大学出版社：21世纪高等学校规划教材《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第6章 空间解析几何 第6节 空间曲线及其方程

第6为 第六章 空间曲线及其方程 空间曲线的方程 二、空间曲线在坐标面上的投影 三、空间立体图形的投影 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 第六章 一、空间曲线的方程 二、空间曲线在坐标面上的投影 三、空间立体图形的投影 第6节 空间曲线及其方程

一、空间曲线的方程 1.空间曲线的一般式方程 空间曲线可视为两曲面的交线，其一般方程为方程组 F(x,y,z)=0 δ1 G(x,y,z)=0 Cj-0LFGy.5-0 例如，方程组 x2+y2=1 2x+3z=6 表示圆柱面与平面的交线C, BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 一、空间曲线的方程 空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组 S2 G(x, y,z)  0 L F(x, y,z)  0 S1 例如,方程组 表示圆柱面与平面的交线 C. x z O 1 y C 2 1.空间曲线的一般式方程

又如，方程组 Jz=Va2-x2-y2 x2+v2-ax=0 表示上半球面与圆柱面的交线C BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 又如,方程组 表示上半球面与圆柱面的交线C. z y x a C

例6.6.1下面方程组表示怎样的曲线？ x2+y2=1 3x+2z=6 解：方程组中第一个方程表示母线平行于z轴的圆柱 面，其准线是xOy面上的x2+y2=1;第二个方程表示 一个平行于轴的平面.因此方程组表示平面与圆柱面 的交线 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例6.6.1 下面方程组表示怎样的曲线？ 解: 方程组中第一个方程表示母线平行于z轴的圆柱 面，其准线是xOy面上的 x 2+y 2=1；第二个方程表示 一个平行于y轴的平面.因此方程组表示平面与圆柱面 的交线

2.空间曲线的参数方程 将曲线C上的动点坐标x,y,表示成参数t的函数： x=x(t) y=y(t) 称它为空间曲线的 2=z(t) 参数方程 例如，圆柱螺旋线的参数方程为 x=acosot V y=asin0t令0=ot,b= acoso z =vt y asinO =b0 当0=2π时，上升高度h=2πb,称为螺距 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上页 下页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 z y x O 将曲线C上的动点坐标 x, y, z表示成参数 t 的函数: 称它为空间曲线的 参数方程. 例如,圆柱螺旋线    v 令  t , b  h  2πb 的参数方程为 上升高度 , 称为螺距 .  M 2.空间曲线的参数方程

二、空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线C的一般方程为 F(x,y,2)=0 G(x,y,z)=0 消去z得投影柱面H(x,y)=0, 则C在xOy面上的投影曲线C'为 H(x,y)=0 2=0 消去x得C在yOz面上的投影曲线方程 R(y,2)=0 X x=0 T(x,z)=0 消去y得C在zOx面上的投影曲线方程 Y= BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 二、空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线C的一般方程为 消去 z 得投影柱面 则C在xOy 面上的投影曲线 C´为 消去 x 得C 在yOz 面上的投影曲线方程 消去y 得C在zOx 面上的投影曲线方程      0 ( , ) 0 z H x y      0 ( , ) 0 x R y z      0 ( , ) 0 y T x z z y x C C O

例如， c护21 在xOy面上的投影曲线方程为 22:30 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 z y x 1 O C 例如, 在xOy 面上的投影曲线方程为        0 2 2 0 2 2 z x y y            ( 1) ( 1) 1 1 : 2 2 2 2 2 2 x y z x y z C

又如， 上半球面 z=4-x2-y2和锥面z=3(x2+y2 所围的立体在xOy面上的投影区域为：二者交线在 xOy面上的投影曲线所围之域 二者交线 C:2=4-x2-y2 z=V3(x2+y2) 在xOy面上的投影曲线 x2+y2=1 1z=0 所围圆域：x2+y2≤1，z=0. BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 z x 1 y 又如, 所围的立体在 xOy 面上的投影区域为: 上半球面 和锥面 在 xOy 面上的投影曲线 二者交线 1, 0. 2 2 所围圆域: x  y  z  二者交线在 xOy 面上的投影曲线所围之域 . C O

三、空间立体图形的投影 例6.6.5求由抛物面z=4(x2+y2)与平面z2所围成的 立体在xOy面上的投影 解将两个曲面方程联立， 得到交线C关于xOy面 的投影柱面方程为x2+y2 交线C在xOy面上的投影曲线为 z=0 这是xOy面上的一个圆，于是立体在xOy面上的投 影区域就是该圆在xO面上所围成的区域： x2+y2≤1/2 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 自录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 三、空间立体图形的投影 例6.6.5 求由抛物面z=4(x 2+y 2)与平面z=2所围成的 立体在xOy面上的投影. 解 将两个曲面方程联立，得到交线C关于xOy面 的投影柱面方程为 交线C在xOy面上的投影曲线为 这是xOy面上的一个圆，于是立体在xOy面上的投 影区域就是该圆在xOy面上所围成的区域： x 2＋y 2≤1/2

内容小结 空间曲线的方程一三元方程组 或参数方程（如，圆柱螺线） ·空间曲线在坐标面上的投影 ·空间立体图形的投影 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 • 空间曲线的方程 三元方程组 或参数方程 • 空间曲线在坐标面上的投影 (如, 圆柱螺线) • 空间立体图形的投影