北京邮电大学出版社：21世纪高等学校规划教材《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第4章 不定积分 第2节 第一类换元积分法

第四章 第2为 第一类换元积分法 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS e-0C8 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 第2节 第一类换元积分法 第四章

基本思路 设F'(u)=f(u),u=o(x)可导，则有 dFl(x)]=flo(x)]o'(x)dx ∫fIp(x)]p'(x)dr=FLp(x】+C=F(uHCu=o) =了fouu=o 第一类换元法 「fp(x]p'(x)dx 第二类换元法 ∫fu)d BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 第二类换元法 第一类换元法 基本思路 设 F(u)  f (u), 可导, F[(x)]C ( ) ( )d u x f u u    ( ) ( )  F u C u x dF[(x)]  f [(x)](x)dx 则有

定理设F()是f(u)的一个原函数，且u=p(x)可导， 那么F[(x)]是f[p(x)]o(x)的原函数，即有换元公式 「fLp(xo'xr=∫fudu u=o(x) 即 ∫fLp(x]p'(xXdx=∫f(o(x)ap(x) (也称配元法，凑微分法) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 定理 设F(u)是 f (u)的一个原函数,且u (x)可导,  f (u)du u (x)  f ((x))d(x) (也称配元法 即    f [(x)] (x)dx , 凑微分法) 那么F[(x)]是 f[(x)] ' (x)的原函数,即有换元公式

例4.2.7求 [tan xdx. 解小anar=j- dcos x cos x -In cos x C 同理 j-a- sin x =In sinx +C BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例4.2.7 求 解:  x x x d cos sin    x x cos dcos  x x x sin cos d   x x sin dsin 同理

例4.2.8求 dx 想到公式 dx arctan u C 令u=X,则du=1dx a a -arctan u C -Laretan()+C BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 2 2 1 d 1 ( ) x a x a    例4.2.8 求 解: , a x 令 u  则 x a u d 1 d    2 1 u du a 1 u C a  arctan  1 想到公式   2 1 d u u  arctan u C ( ) x a 

429求>0 dx 解： 58 d() x arcsin ~C d u 想到 arcsinu+C 「fIp(x】o'(xdx=∫fp(x)dp(x) (直接配元) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例4.2.9 求    2 1 d u u 想到 arcsinu C 解: 2 d 1 ( ) x a x a      f ((x))d(x) (直接配元)  f [(x)] (x)dx 2 d( ) 1 ( ) x a x a   

例4.2.10求 dx 解： 1 x2-a2 区+--=(11) 2a(x-a)(x+a） 2a x-a x+a 原式= 。J“] 22-] 2g[x-al-xtall+c-2am x-a +C x+a BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 C x a x a a     ln 2 1 例4.2.10 求 解: 2 2 1 x  a  (x  a)(x  a) (x  a)  (x  a) 2a 1  ) 1 1 ( 2 1 a x a x  a    ∴ 原式 =    2a 1      x a x x a dx d        2a 1    x a d(x a)    2a 1  ln x  a  ln x  a C     x a d(x a)

a水时 例4.2.14求csc xdx. 0 tan -COS tan 2 sin(x/2) X 2sim2(x/2) 1-cosx tan-= cscx-cotx, 2 cos(x/2) 2cos(x/2)sin(x/2) sin x '|csc xdx cscx-cot+C. BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例4.2.14 求 方法一

解法二 2 foe 1 dx 2 2 2sin -C05 sin cOS 2 2 2 -je子od9-men =pc=c-mc BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 解法 二

解法三 Jc-=- 应用积分公式(18)得 d(cos x)n cosx-1 cos?x-172cosx+1 +C=esc x-cotx+C. 同理可证 sec xdx =n sec x+tan x+C. BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 解法三 同理可证  sec xdx  ln sec x  tan x C