北京邮电大学出版社：21世纪高等学校规划教材《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第1章 函数、极限与连续 第4节 无穷小与无穷大

第一章 第4节 无穷小与无穷大 一、 无穷小 二、无穷小与函数极限的关系 三、无穷大 四、无穷大与无穷小的关系 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 第一章 二、 无穷小与函数极限的关系 三、 无穷大 一、 无穷小 第4节 无穷小与无穷大 四、 无穷大与无穷小的关系

一、无穷小 定义1.若x→x时，函数f(x)→0，则称函数f(x) (或x>∞) 为x>x时的无穷小 (或x→∞) 例如： lim sinx=0,函数simx当x→0时为无穷小， x-→0 1im1=0,函数当x→o时为无穷小 x-→00X X BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 当 一、 无穷小 定义1 . 若 时, 函数 则称函数 例如 : 函数 当 时为无穷小; 函数 时为无穷小; (或x  ) 为 时的无穷小 . (或x  )

定义1.若x>x(或x→o)时，函数f(x)→0，则 则称函数f(x)为x→x(或x→∞)时的无穷小 说明：(1)无穷小是相对自变量的某一变化过程而言！ (2)除0以外任何很小的常数都不是无穷小」 因为1im C= V8>0,38>0, x→X0 当0<x-xo<8时， |C-0Kε 显然C只能是0I BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 说明: (1)无穷小是相对自变量的某一变化过程而言！ 因为 当 时, 显然 C 只能是 0 ! C C (或 x  ) 时, 函数 则称函数 为 定义1. 若 (或 x  ) 则 时的无穷小 . (2)除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 !

二、无穷小与函数极限的关系 limf(x)=A,=f(x)=A+a(x),其中&为x>x, x今X0 时的无穷小量 证：limf(x)=A x-今x0 Vε>0,38>0，当0X0 对自变量的其他变化过程类似可证 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 其中 为 0 x  x 时的无穷小量 . 二、无穷小与函数极限的关系 f x A x x   lim ( ) 0 f (x)  A(x) , 证: f x A x x   lim ( ) 0   0,   0, 当 0  x  x0   时,有 f (x)  A     f (x)  A lim ( ) 0 0   x x x  对自变量的其他变化过程类似可证

三、无穷大 定义2.若任给M>0,总存在8>0(X>0),使对 一切满足不等式0X)的x,恒有 f(x)>M 则称函数f(x)当x→x,(x→∞)时为无穷大，记为 lim f(x)=co (lim f(x)=). x→X0 若在定义中将①式改为f(x)>M(f(x)<-M) 则记作 lim f(x)=+oo lim f(x)=-00) x→x0 x→x0 (x→0) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 三、无穷大 定义2 . 若任给 M > 0 , 一切满足不等式 的 x , 恒有 则称函数 当 时为无穷大, 使对 若在定义中将 ①式改为 ① 则记作 ( lim ( ) ) ( ) 0     f x x x x ( x  X ) ( x  ) (lim ( ) ). x f x    ( X >0 ) , 记为 ( f (x)  M ), 总存在

注意： 1无穷大是一个变量（函数），无论绝对值多么大的 数都不是无穷大； 2.函数为无穷大，必定无界.但反之不真！ 1.1 例如，函数f(x)=二sim x 在x=0的邻域内无界，但当x0时，x)不是无穷 大（有零点） BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 注意: 1.无穷大是一个变量(函数)，无论绝对值多么大的 数都不是无穷大； 2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 ! 例如, 函数 在x＝0的邻域内无界，但当x→0时，f(x)不是无穷 大(有零点)．

例1.4.1证明 lim x>1x-1 证：任给正数M,要使 x-1 >M,即x-1<M 只要取ò=M 则对满足0<x-1<δ的一切x,有 所以lim =00 x→1x-1 说明：若limf(x)=o∞，则直线x=xo x今x0 铅垂渐近线 为函数y=f(x)的图形的铅垂渐近线 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 例1.4.1 证明 证: 任给正数 M , 要使 即 只要取 , 1 M   则对满足 的一切 x , 有 所以 若 则直线 0 x x 为函数 的图形的铅垂渐近线 . 铅垂渐近线 说明:

四、无穷大与无穷小的关系 定理2在自变量的同一变化过程中， 若(x)为无穷大，则 为无穷小； f(x) 若f(x)为无穷小，且f(x)≠0，则 为无穷大 f(x) (自证 说明：据此定理，关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 四、无穷大与无穷小的关系 若 为无穷大, ( ) 1 f x 为无穷小 ; 若 为无穷小, 且 f (x)  0, 则 ( ) 1 f x 为无穷大. 则 (自证) 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论. 定理2 在自变量的同一变化过程中, 说明:

内容小结 1.无穷小与无穷大的定义 2.无穷小与函数极限的关系 Thl 3.无穷大与无穷小的关系 Th2 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 第5节目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 1. 无穷小与无穷大的定义 2. 无穷小与函数极限的关系 Th1 3. 无穷大与无穷小的关系 Th2 第5节