北京邮电大学出版社：21世纪高等学校规划教材《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第3章 微分中值定理与导数的应用 第3节 函数的单调性和曲线的凹凸性

第3为 第三章 菡数的单调性和 曲线的凹凸性 函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸性与拐点 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 第3节 一、函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸性与拐点 函数的单调性和 曲线的凹凸性 第三章

函数单调性的判定法 定理1.设函数f(x)在开区间I内可导，若f'(x)>0 (f'(x)0,x∈I,任取，x2∈I(0 5∈(1，x2)cI 故f(x)<f(x2)这说明f(x)在I内单调递增 证毕 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回

目录 上页 下页 返回 结束 一、 函数单调性的判定法 定理 1. 设函数 若 ( f (x)  0), 则 在 I 内单调增加(减少) . 证: 无妨设 任取 由拉格朗日中值定理得  0 故 这说明 在 I 内单调递增. 在开区间 I 内可导, 证毕

例.确定函数f(x)=2x3-9x2+12x-3的单调区间 解：f'(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2) 令f'(x)=0,得x=1,x=2 (-0,1) 1 (1,2)2(2,+) f'(x) f(x) 2 1 故f(x)的单调增区间为(-0,1)，(2，+∞)月 f(x)的单调减区间为(1,2) 12X BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上 下页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 例. 确定函数 的单调区间. 解: ( ) 6 18 12 2 f  x  x  x   6(x 1)(x  2) 令 f (x)  0 , 得 x 1, x  2 x f (x) f (x) (,1) 2 0 0 1 (1, 2) (2,  )    2 1 故 的单调增区间为 (,1), (2,  ); 的单调减区间为 (1, 2). 1 2 O x y 1 2

说明： 1)单调区间的分界点除驻点外，也可是导数不存在的点 例如，y=x2,xE(-0,+o) 2 yy=Vx2 3x x=0=00 2)如果函数在某驻点两边导数同号， 则不改变函数的单调性 例如，y=x3,x∈(-0，+∞) X y'=3x2 x=0 =0 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 y O x 说明: 1) 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点. 例如, 3 2 y  x 2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如, y O x 3 y  x

例3.3.5证明0<x≤ 时，成立不等式sinx≥ 2 元 证：令f(x)= sin x 2 X 兀 则f()在(0，上连线，在(0，上可导，且 f'(x)= x·cosx-Snx COSX 证 x2 x-tanx)<0 x2 因此/)在(0，内单调递减。 tan x 又fx)在处左连续，因此f)≥f()=0 sin x 从而 x 元 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 证明 目录 上页 下页返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 例3.3.5 证明 时, 成立不等式 证: 令 , π sin 2 ( )   x x f x 2 cos sin ( ) x x x x f x     ( tan ) cos 2 x x x x   1 tan x x  0 从而 因此 且 证 证明

二、曲线的凹凸性与拐点 定义1.设函数f(x)在区间I上连续，x1,x2∈I, (0若恒有)<)+f) 则称f(x)的 2 图形是凹的： ②)苏恒有生) f)+f),则称fx)的 2 图形是凸的 拐点 连续曲线上有切线的凹凸分界点 称为拐点。 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 A B 定义1 . 设函数 在区间 I 上连续 , (1) 若恒有 则称 图形是凹的; (2) 若恒有 则称 图形是凸的 . 二、曲线的凹凸性与拐点 y O x 2 x 1 x 2 1 2 x x y O x 2 x 1 x 2 1 2 x x 连续曲线上有切线的凹凸分界点 称为拐点 . y O x 拐点

定理2.（凹凸判定法）设函数f(x)在区间1上有二阶导数 (1)在1内f"(x)>0,则f(x)在I内图形是凹的，/ (2)在I内f"(x)0时，牛>f(5),说明(1)成立 2 (2) 证毕 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 录 返回

目录 上页 下页 返回 结束 定理2.(凹凸判定法) (1) 在 I 内 则 f (x) 在 I 内图形是凹的 ; (2) 在 I 内 则 f (x) 在 I 内图形是凸的 .   证: 利用一阶泰勒公式可得 ( ) ( ) 1 f x  f  ( ) ( ) 2 f x  f  两式相加 2 2! 2 1 ( ) 2 1 x x  [ ( ) ( )] 1  2 f   f  当f (x)  0时, 说明 (1) 成立;   (2) 设函数 在区间I 上有二阶导数 证毕 , 2 1 2 x x 记   f ( ) ( ) x1   f ( )( ) x2   2! ( )  2 f   2 2 (x  ) 2! ( ) 1 f   2 1 (x   ) ( ) ( ) 2 ( ) 1 2 f x  f x  f  ( ), 2 ( ) ( ) 1 2 f f x f x   

例3.3.8判断曲线y=x的凹凸性 解：y=3x2,y"=6x 所以，当x0时，y”=6x>0,曲线弧在 （一00， 01上为凹弧 点(0,0)是曲线y=x3由凸变凹的分界点，称为曲线 的拐点. BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 、返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例3.3.8 判断曲线 的凹凸性. 解: 3 , 2 y   x 所以，当x0时，y″＝6x>0，曲线弧在 (－∞， 0]上为凹弧． 点(0,0)是曲线y＝x 3由凸变凹的分界点，称为曲线 的拐点．

说明： 1)若在某点二阶导数为0，在其两侧二阶导数不变号， 则曲线的凹凸性不变 2)根据拐点的定义及上述定理，可得拐点的判别法如下： 若曲线y=f(x)在点x连续，f"(xo)=0或不存在 但f"(x)在x两侧异号，则点(xo,f(xo)是曲线 y=f(x)的一个拐点 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS ①-8 目录上页 下页返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 说明: 1) 若在某点二阶导数为 0 , 2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下: 若曲线 或不存在, 但 f (x) 在 两侧异号, 0 x 则点 ( , ( )) 0 0 x f x 是曲线 的一个拐点. 则曲线的凹凸性不变 . 在其两侧二阶导数不变号

例3.3.9求曲线y=x4-6x3+12x2-10的凹凸区间及拐点 解：1)求y” y=4x3-18x2+24x,y”=12x2-36x+24=12(x-1)(x-2) 2)求拐点可疑点坐标 令y”=0得x,=1,x2=2,对应y=-3,y2=6 3)列表判别 (-0,1) (1,2) 2 (2,+o) + 凹 拐点 凸 拐点 凹 故该曲线在(-o,1]及[2，+∞)上为凹的，在[1,2]上 是凸的，点(1，-3)及(2,6)均为拐点 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 对应 3 , 6 y1   y2  例3.3.9 求曲线 的凹凸区间及拐点. 解: 1) 求 y  4 18 24 , 3 2 y   x  x  x 2) 求拐点可疑点坐标 令 y   0 得 1, 2, x1  x2  3) 列表判别 故该曲线在 (,1] 及 [2, ) 上为凹的, 是凸的 , 点 ( 1, -3 ) 及 (2,6) 均为拐点. 在[1, 2]上 (,1) (1, 2) (2,  ) y  x y 1 2  0 0 拐点 拐点   凹 凸 凹