北京邮电大学出版社：21世纪高等学校规划教材《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第3章 微分中值定理与导数的应用 第4节 函数的极值与最大值、最小值问题

第4节 第三章 岛数的极值与 最大值、最小值问题 函数的极值及其求法 二、函数的最大值与最小值问题 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 二、函数的最大值与最小值问题 一、函数的极值及其求法 第4节 函数的极值与 最大值、最小值问题 第三章

函数的极值及其求法 定义：设函数f(x)在点x,的某邻域U(x内有定义 如果对于Vx∈U(x),恒有： (1)f(x)f(xo),则称xo为f(x)的极小值点 称f(x,)为函数的极小值 函数的极大值与极小值统称为极值.使函数取得 极值的点统称为极值点 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 定义: (1) 则称 为 的极大值点 , 称 为函数的极大值 ; (2) 则称 为 的极小值点 , 称 为函数的极小值 . 函数的极大值与极小值统称为极值．使函数取得 极值的点统称为极值点. 一、函数的极值及其求法

例如，函数f(x)=2x3-9x2+12x-3 x=1为极大值点，f①)=2是极大值 2 x=2为极小值点，f(2)=1是极小值 注意：1)函数的极值是函数的局部性质 2)对常见函数，极值可能出现在导数为0或 不存在的点 x1,x4为极大值点 x2,x5为极小值点 x3不是极值点 O ax1 x2 X3 x4 xs b x BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 注意: 3 x 1 x 4 x 2 x 5 O a x b x y 1 4 x , x 为极大值点 2 5 x , x 为极小值点 3 x 不是极值点 2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或 不存在的点. 1) 函数的极值是函数的局部性质. ( ) 2 9 12 3 3 2 例如 , f x  x  x  x  为极大值点, 是极大值 为极小值点, 是极小值 函数 1 2 O x y 1 2

定理1（极值的必要条件 设函数x)在点x,处可导，且x)为极值，则有 f(x)=0. 证：设x)为极大值，则存在x的某邻域Ux),对 于xeU(x,,有 fx)fx). 由费马引理得，(x)=0 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 定理 1 (极值的必要条件) 设函数f(x)在点x0处可导，且f(x0 )为极值，则有 f′(x0 )＝0. 证： 设f(x0 )为极大值，则存在x0的某邻域U(x0 )，对 于 有 f(x) < f(x0 ), 由费马引理得， f′(x0 )＝0. ( ), 0 x U x 。  

定理2（判别极值的第一充分条件 设函数f(x)在点x,的某去心邻域U(x,内可导， x为函数的驻点或不可导点.如果在U(x)内有， (1)f'(x)“左正右负”，则f(x)在x取极大值 (2)∫'(x)“左负右正”，则f(x)在x取极小值， (3)在x,的两侧，(x)恒为正或恒为负，则x) 不是极值 点击图中任意处动画播放暂停 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 定理 2 (判别极值的第一充分条件) 设函数 f (x)在点x0 的某去心邻域U(x0 )内可导, 。 x0为函数的驻点或不可导点． 如果在U(x0 )内有, 。 (1) f (x) “左正右负” , ( ) ; (2) f (x) “左负右正” , 则f x 在x0 取极小值 ( ) . 则f x 在x0 取极大值 点击图中任意处动画播放\暂停 (3)在x0的两侧，f′(x)恒为正或恒为负，则f(x0 ) 不是极值．

定理3判别极值第二充分条件)设函数f(x)在点x,处具有 二阶导数，且f'(x)=0,f"(xo)≠0 (①)若f"(x)0,则f(x)在点x0取极小值 证：(1)f"(xo)=1im f'(x)-f'xo）=lim f'(x) x→x0 x-X0 x→x0X-X0 由∫"(xo)0，当00, 当x0<x<x+8时，f'(x)<0, x6X0x+δ 由第一充分条件知f(x)在xo取极大值 (2)类似可证 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 定理3 (判别极值第二充分条件) 二阶导数 , 且 则 在点 取极大值 ; 则 在点 取极小值 .   证: (1) ( ) 0 f  x 0 0 ( ) ( ) lim 0 x x f x f x x x       0 ( ) lim 0 x x f x x x     ( ) 0 , 由 f  x0  知 存在   0, 0 , 当  x  x0   时 故当 x0   x  x0时，f (x)  0; 当x0  x  x0  时，f (x)  0, 0 x 0 x0  x    由第一充分条件知 ( ) . f x 在x0 取极大值 (2) 类似可证

例3.4.2求函数f(x)=-2x3+6x2+18x+7的极值 解：在函数的定义域(-0，+o)内， f'(x)=-6x2+12x+18=-6(x-3)(x+1) 令fx)=0,求得驻点x=一1及x=3. 由f"(x)=-12x+12, "(-1)=24>0, "(3)=-24<0, 故机一1)=一3是极小值，3)=61是极大值 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例3.4.2 求函数 的极值 . 解: 在函数的定义域(-∞,+∞)内， f ′(x)＝－6x 2＋12x＋18＝－6(x－3)(x＋1)． 令f′(x)＝0，求得驻点 x＝－1及x＝3. 由f″(x)＝－12x＋12， f″(－1)＝24>0， f″(3)＝－24<0， 故f(－1)＝－3是极小值，f(3)＝61是极大值．

*定理4判别法的推广)若函数f(x)在x,点有直到n阶导 数，且f'(x)=f"(x0)=…=fm-)(x0)=0,f”(xo)≠0， 则：1)当n为偶数时，x为极值点，且 f)(x0)>0时，x是极小点， fm(xo)<0时，x是极大点 2)当n为奇数时，x,不是极值点 证：利用f(x)在x点的泰勒公式，可得 f)-f)=(-+o-o) n! 当x充分接近x时，上式左端正负号由右端第一项确定 故结论正确 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 自录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 *定理4 (判别法的推广) ( ) 0, 0 ( ) f x  n 则: 数 , 且 1) 当 n 为偶数时, 是极小点 ; 是极大点 . 2) 当 n 为奇数时, 为极值点 , 且 不是极值点 . f (x)  f (x0 )  f (x0 )(x  x0 )  n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( )  (( ) ) 0 n  o x  x   当 充分接近 时, 上式左端正负号由右端第一项确定 , 故结论正确 . 证: 利用 在 点的泰勒公式 , 可得

二、函数的最大值与最小值问题 若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则其最值只能 在驻点、不可导点以及端点处取得， 求函数最值的方法： (1)求f(x)在(a,b)内的极值可疑点 X1,X2,…,Xm (2)最大值 M=max{f(),f(x2),,f(xm),f(a),f(b) 最小值 m=mintf(x),f(x2),.,f(xm),f(a),f(b) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 二、函数的最大值与最小值问题 则其最值只能 在驻点、不可导点以及端点处取得. 求函数最值的方法: (1) 求 在 内的极值可疑点 (2) 最大值 M  max f (a), f (b ) 最小值

特别： 当f(x)在[a,b]内只有一个极值可疑点时， 若在此点取极大（小）值，则也是最大（小）值 ·当f(x)在[a,b]上单调时，最值必在端点处达到 ·对应用问题，有时可根据实际意义判别求出的可疑点 是否为最大值点或最小值点 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 特别: • 当 在 内只有一个极值可疑点时, • 当 在 上单调时, 最值必在端点处达到. 若在此点取极大 (小)值 , 则也是最大 值 . • 对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的可疑点 是否为最大值点或最小值点 . (小)