北京邮电大学出版社：21世纪高等学校规划教材《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第6章 空间解析几何 第5节 曲面及其方程

第5为 第六章 曲面及其方程 曲面方程的概念 二、几种特殊的曲面 三、几种常见的二次曲面 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 第5节 一、曲面方程的概念 二、几种特殊的曲面 三、几种常见的二次曲面 曲面及其方程 第六章

一、曲面方程的概念 引例：求到两定点4(1,2,3)和B(2,-1,4)等距离的点的 轨迹方程. 解：设轨迹上的动点为M(x,y,z),则AM=BM,即 V(x-1)2+(y-2)2+(z-3)2 =V(x-2)2+(y+1)2+(z-4)2 化简得 2x-6y+2z-7=0 说明：动点轨迹为线段AB的垂直平分面. 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程， 不在此平面上的点的坐标不满足此方程 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 下页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 一、曲面方程的概念 求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的 2 2 2 (x 1)  (y  2)  (z  3) 化简得 2x  6y  2z  7  0 即 说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面. 引例: 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程. 2 2 2  (x  2)  ( y 1)  (z  4) 解:设轨迹上的动点为 M (x, y,z),则 AM  BM , 轨迹方程

定义如果曲面S与三元方程F(x,yz)=0有下述关系： (1)曲面S上的任一点的坐标都满足此方程 (2)不在曲面S上的点的坐标都不满足此方程 则F(x,yz)=0叫做曲面S的方程， F(xy,2)=0 曲面S叫做方程F(x,yz)=0的图形 两个基本问题 (1)己知一曲面作为点的几何轨迹时」 求曲面方程 (2)已知方程时，研究它所表示的曲面形代 (必要时需作图) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 定义 F(x, y,z)  0 如果曲面 S 与三元方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系: (1) 曲面 S 上的任一点的坐标都满足此方程 则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形. 两个基本问题 : (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时, (2) 不在曲面 S 上的点的坐标都不满足此方程 求曲面方程. (2) 已知方程时 , 研究它所表示的曲面形状 ( 必要时需作图 ). S z y x O

二、几种特殊的曲面 1.球面 设动点Mx,y,z)到定点Mxo,o,)距离恒等于常 数R,那么，动点M的运动轨迹是中心在点M,、半径 为R的球面 RMM=V(x-x)2+(y-y)2+(z-2) (x-x)2+(y-%2+(z-)=R2 如果球心在坐标原点，即x=%=0=0, 则球面方程 x2+y2+z2=R2 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下列 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 1.球面 二、几种特殊的曲面 设动点M(x，y，z)到定点M0 (x0，y0，z0 )距离恒等于常 数R，那么，动点M的运动轨迹是中心在点M0、半径 为R的球面. ( ) ( ) ( ) . 2 2 0 2 0 2 x  x0  y  y  z  z  R 如果球心在坐标原点，即x0 ＝y0 ＝z0 ＝0，则球面方程 . 2 2 2 2 x  y  z  R

例6.5.1方程x2+y2+z2-2x-4y-4=0表示怎样 的曲面！ 解：配方得(x-1)2+(y-2)2+z2=9 可见此方程表示一个球面 球心为M(1,2,0), 半径为3 说明：如下形式的三元二次方程(A≠0) A(x2+y2+22)+Dx+Ey+Fz+G=0 都可通过配方研究它的图形.其图形可能是 一个球面或虚轨迹， BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例6.5.1 方程 解: 配方得 M0 (1,2, 0), 3 可见此方程表示一个球面 说明:如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 ) 都可通过配方研究它的图形.其图形可能是 的曲面. 表示怎样 球心为 半径为 一个球面, 或虚轨迹

2.旋转曲面 定义1一条平面曲线绕其平面上一条固定直线旋转 一周所形成的曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转 轴. 例如： BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 定义1 一条平面曲线 绕其平面上一条固定直线旋转 一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转 轴. 例如 : 2.旋转曲面

建立yOz面上曲线C绕z轴旋转所成曲面的方程 给定yOz面上曲线C:f(y,z)=0 若点M(0,y1,)∈C,则有 f,)=0 当绕z轴旋转时，该点转到 三M(0,y1,21） M(x,y,),列有 M(x,2月 z=z vx2+y2= 故旋转曲面方程为 f(±Vx2+y2,z)=0 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 建立yOz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程: 故旋转曲面方程为 M (x, y,z) , 当绕 z 轴旋转时, f (y1 ,z1 )  0 (0, , ) , 若点 M1 y1 z1 C 给定 yOz 面上曲线 C: (0, , ) 1 1 1 M y z 1 2 2 1 z  z , x  y  y 则有 ( , ) 0 2 2 f  x  y z  则有 该点转到 f (y,z)  0 O z y x C M (x, y,z)

思考：当曲线C绕y轴旋转时，方程如何？ Z C:f(y,z)=0 f(y,士Vx2+z2)=0 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？ C : f (y,z)  0 O y x z ( , ) 0 2 2 f y  x  z 

例6.5.2试建立顶点在原点，旋转轴为z轴，半顶角为 的圆锥面方程 解：在yOz面上直线L的方程为 z=ycota 绕z轴旋转时，圆锥面的方程为 M(0,y,z) z=±Vx2+y2cota 令k=cota 两边平方 22=k2(x2+y2) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 x y z O 例6.5.2 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为 的圆锥面方程. 解: 在yOz面上直线L 的方程为 绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为 ( ) 2 2 2 2 z  k x  y  两边平方 L M (0, y,z)

例6.5.3求坐标面xOz上的双曲线 x2 z2 =1分别绕x c2 轴和z轴旋转一周所生成的旋转曲面方程 解：绕x轴旋转所成曲面方程为 x2 y2+z2 绕z轴旋转所成曲面方程为 x2+y2 52 这两种曲面都叫做旋转双曲面. BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 x y z O x y z O 例6.5.3 求坐标面 xOz 上的双曲线 分别绕 x 轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解: 绕 x 轴旋转 1 2 2 2 2 2    c y z a x 绕 z 轴旋转 1 2 2 2 2 2    c z a x y 这两种曲面都叫做旋转双曲面. 所成曲面方程为 所成曲面方程为 x y z O