北京邮电大学出版社：21世纪高等学校规划教材《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第9章 曲线积分与曲面积分 第4节 对面积的曲面积分

第4节 第九章 对面积的曲面积分 对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的算法 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 第4节 一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的算法 对面积的曲面积分 第九章

一、对面积的曲面积分的概念与性质 1.引例：设曲面形构件具有连续面密度4(x,y,z),求质 量M 类似求平面薄板质量的思想，采用 (5,1,5) 分割，近似，求和，取极限” 的方法，可得 i)AS 其中，2表示n小块曲面的直径的 最大值（曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者） BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 O x y z 一、对面积的曲面积分的概念与性质 1.引例: 设曲面形构件具有连续面密度 类似求平面薄板质量的思想, 采用 可得 1 ( , , ) n i i i i i     S  M    ( , , ) i i i    求质 “分割, 近似, 求和, 取极限” 的方法,  量 M. 其中,  表示 n 小块曲面的直径的 最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者)

2.对面积的曲面积分的定义 定义：设∑为光滑曲面，fx,y)是定义在∑上的 有界函数，若对∑做任意分割和局部区域任意取点」 乘积和式极限” (5)AS 记作 ∬fx,y,a)ds 都存在，则称此极限为函数f(x,yz)在曲面∑上对面积 的曲面积分或第一类曲面积分.其中f(x,y)叫做被积 函数，∑叫做积分曲面 据此定义，曲面形构件的质量为M=小4(x,y,)dS 曲面面积为s=川ds BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 束

目录 上页 下页 返回 结束 M x y z S ( , , )d    定义: 设  为光滑曲面, “乘积和式极限” 都存在, 的曲面积分   f (x, y,z)d S 其中 f (x, y, z) 叫做被积 据此定义, 曲面形构件的质量为 曲面面积为 f (x, y, z) 是定义在  上的 有界函数, 记作 或第一类曲面积分. 若对 做任意分割和局部区域任意取点, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面  上对面积 函数,  叫做积分曲面. 2.对面积的曲面积分的定义

3.对面积的曲面积分的性质 (1)线性性质 小[f(x,)+hg(x,]dS -kff(x.y.)ds+hg()dS: (2)分域性质 若∑是分片光滑的，例如分成两 片光滑曲面马，2，则有 ∬2fcxa)ds=sfx,y=)ds+∬3，fx,yaas BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 kf x y z hg x y z S ( , , ) ( , , ) d    (1)线性性质 k f x y z S h g x y z S ( , , )d ( , , )d ;       3.对面积的曲面积分的性质 (2)分域性质 , , 1  2 则有   f (x, y,z)d S  1 ( , , )d  f x y z S 若 是分片光滑的, 例如分成两 片光滑曲面

二、对面积的曲面积分的算法 定理：设有光滑曲面 ∑：z=z(x,y),(x,y)∈Dxy (x,yz)在∑上连续，则曲面积分 了f(x,y)s存在，且有 ∬sfx,2)ds (△o) (5,7,5) -.)j1+=)+z,(x.dxdy 证明：由定义知 ∬2f(x,y,2)ds=lim∑f(5,n,5)AS >0 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上页 下页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 O x y z 定理: 设有光滑曲面 f (x, y, z) 在  上连续,  存在, 且有  f (x, y,z)dS   Dxy f (x, y, ) 二、对面积的曲面积分的算法 则曲面积分 证明: 由定义知 1 ( , , ) n i i i i i f S       0 lim  Dxy ( , , ) i i i    ( )  i xy 

而△s=V1+,(,(x,ddy =V1+2(570+2,(5,0(△o), J∬3fx,y,a)ds 1im∑f(57,z5,7》 201 √1+250+，(5)(Aa,), 1im∑f(5,7,z(5,7,》 ②光滑) V1+22(5,7)+,(5,7)(△o)y =j2K,yzx)1+x2(x)+,2(,dy BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回

目录 上页 下页 返回 结束 2 2 ( ) 1 ( , ) ( , ) d d i x y x y z x y z x y x y     2 2 1 ( , ) ( , ) ( ) x i i y i i i x y     z z          2 2 1 ( , ) ( , ) ( ) x i i y i i i x y    z z          2 2 1 ( , ) ( , ) ( ) x i i y i i i x y    z z      f x y z x y z x y x y x y Dx y ( , , ) 1 ( , ) ( , )d d 2 2      f (x, y,z)dS 而 ( 光滑)

说明： 1)如果曲面方程为 x=x(y,z),(y,2)∈D 或y=Jy(x,),(x,)∈Dxz 可有类似的公式 2)若曲面为参数方程，只要求出在参数意义下dS 的表达式，也可将对面积的曲面积分转化为对参数的 二重积分 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 说明: Dyz x  x( y,z), ( y,z) Dxz 或 y  y(x,z), (x,z) 可有类似的公式. 1) 如果曲面方程为 2) 若曲面为参数方程, 只要求出在参数意义下dS 的表达式 , 也可将对面积的曲面积分转化为对参数的 二重积分

例9.1计京曲面积分八2 其中∑是球面x2+y2+z2 =a被平面z=h(0<h<a截出的顶部， 解：：z=a2-x2-y2,(,y)eDy Dyx2+y2≤a2-h2 1++0- 4-g,=0og7 adxdy a2-r2 -2mm-a-) 2-m2 =2元aln BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 Dxy 例9.4.1 计算曲面积分 其中 是球面 被平面 截出的顶部. 解: 2 2 2 2 D : x y a h xy    2 2 1 x y  z  z  z d S   2π 0 a d 2 2 1 2 2 2 π ln( ) 2 0 a h a a r               Dx y a x y a x y 2 2 2 d d    2 2 0 2 2 a h d a r r r  x z y h a

思考： 若Σ是球面x2+y2+z2=a2被平行平面z=±h截 出的上下两部分，则 瓜 0 I袋.oe子 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 思考: 若  是球面 被平行平面 z =±h 截 出的上下两部分, ( ) d   z S ( ) d   z S 0 4 ln π h a a 则  h  h x z y 

例9.4.4计算xyzdS,其中Σ是由平面x+y+z=1与 坐标面所围成的四面体的整个边界曲面 解：设马，2,3，卫4分别表示∑在平面 x=0,y=0,z=0,x+y+z=1上的部分，则 原式= ++八，+e)y=ds -xds 4=1--yeD06 =5可6xd。0-x-yd少y=20 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回

目录 上页 下页 返回 结束 例9.4.4 计算 其中 是由平面 坐标面所围成的四面体的整个边界曲面. 解: 设 上的部分, 则 1 2 3 4  ,  ,  ,       4 d  xyz S : 1 , 4  z   x  y          0 1 0 1 ( , ) : x y x x y Dxy     x y x y y 1 0 (1 ) d 120 3  与   1 0 3 x dx        1  2  3  4  xyz dS   原式 = 分别表示 在平面 z y x 1 1 1