北京邮电大学出版社：21世纪高等学校规划教材《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第9章 曲线积分与曲面积分 第2节 对坐标的曲线积分

第2节 第九章 对望标的曲我积分 一、 对坐标的曲线积分的概念与性质 二、 对坐标的曲线积分的计算方法 三、两类曲线积分之间的关系 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 下页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 第2节 一、对坐标的曲线积分的概念与性质 二、 对坐标的曲线积分的计算方法 三、两类曲线积分之间的关系 对坐标的曲线积分 第九章

一、 对坐标的曲线积分的概念与性质 1.引例变力沿曲线所做的功 B=M, 设一个质点受如下变力作用 F(x,y)=P(x,y)i+(x.y)j IA=Mo X 在xOy平面内从点A沿光滑曲线弧L移动到点B,求移 动过程中变力所作的功W 解决办法： 变力沿直线所做的功 “分割” W FABcose “近似” =F.AB 求和” “取极限” BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回

目录 上页 下页 返回 结束 一、 对坐标的曲线积分的概念与性质 1.引例 变力沿曲线所做的功. 设一个质点受如下变力作用 在 xOy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B, 求移 W  F AB cos “分割” “近似” “求和” “取极限” 变力沿直线所做的功 解决办法: 动过程中变力所作的功W. A  F  AB B F  A M 0 B M n L x y F x y P x y i Q x y j ( , ) ( , ) ( , )  

(1)“分割” 把L分成n个小弧段，F沿M,M, F(5,7,) 所做的功为△W,则 W=∑AW △y i=l (2)“近似” X 有向小弧段M,M,用有向线段M,-M,=(△x,△y,) 近似代替，在MM,上任取一点(5,7，)，则有 AW,≈F(5,7,)·M,-M, =P(5,7,)△x,+Q(5,7)Ay BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 下页返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 Mi1 Mi A B x y (1) “分割” (2) “近似” L 把L分成 n 个小弧段, 有向小弧段 近似代替, 则有 ( , ) ( , ) . P x Q y i i i i i i       Δ Δ 所做的功为 F 沿 1 ( , )    W F M M i i i i i    ( , ) F i i   1 n i i W W     则 用有向线段 i y i x 在 上任取一点

(3)“求和” W≈∑LP5,n)Ax+Q(5,7,)Ay] (4)取极限” T=之P(5,%Ax+Qg,nAy] (其中入为n个小弧段的 F(5,7,)） 最大长度) △y BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上页 下页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 (3) “求和” (4) “取极限” 1 n i W   P x Q ( , ) ( , ) .    i i i i i i    ξ y  0 1 lim n i W    P( , , . ξi i i i i i η ) x Q( Δ  ξ η ) y Δ  (其中 为 n 个小弧段的 最大长度) Mi1 Mi A B x y L ( , ) F i i   i y i x

2.对坐标的曲线积分的定义 设L为xOy平面内从点A到点B的一段有向光滑弧 在L上定义了一个向量函数 F(5,7,)=P(5,n)i+Q(5,7)j 若对L的任意分割和在局部弧段上任意取点，极限 册IP5.n△x+05,nAJ 记作 [P(xdx+(xy 都存在，则称此极限为函数F(x,y)在有向曲线弧L上 对坐标的曲线积分，或第二类曲线积分其中，P(x,y), Q(x,)称为被积函数，L叫做积分曲线 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 若环

目录 上页 下页 返回 结束 2. 对坐标的曲线积分的定义 设 L 为xOy 平面内从点A到点B的一段有向光滑弧, 若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点, 都存在, 在有向曲线弧 L 上 对坐标的曲线积分,   L P(x, y)dx Q(x, y)dy  ( , ) P x i i i      Q y ( , )  i i i 1 n i  lim 0  则称此极限为函数 或第二类曲线积分. 其中, 称为被积函数 , L 叫做 积分曲线. 在L 上定义了一个向量函数 极限 记作 ( , ) ( , ) ( , ) F P i Q j i i i i i i        

P(x) i=1 称为对x的曲线积分： ∫0x,y)dy=1m∑05，n)△y 2→0 i=1 称为对y的曲线积分 若记d7=△x7+△y,对坐标的曲线积分也可写作 F)d=,P(.y)dx+dy 类似地，若T为空间曲线弧，记ds=(dx,dy,d) F(x.y,=)=(P(xy,=),O(x.y.),R(x.y.)) Fds=P(x.y.z)dx+(x.yzdy+R(xyz)dz BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回

目录 上页 下页 返回 结束 L P(x, y)dx 0 1 lim ( , ) , n i i i i P x         L Q(x, y)dy 0 1 lim ( , ) . n i i i i Q y         若  为空间曲线弧 , 记 称为对 x 的曲线积分; 称为对 y 的曲线积分. 若记 , 对坐标的曲线积分也可写作 F(x, y,z)  (P(x, y,z), Q(x, y,z), R(x, y,z)) 类似地, d s  (d x, dy , dz) dl xi yj     ( , ) d ( , )d ( , )d L L F x y l P x y x Q x y y     

3对坐标的曲线积分的性质 (1)若L可分成n条有向光滑曲线弧L,(i=1,…,n) 则 P(dx+(dy =∑JPx,ar+Ox,ydy (2)设L是有向曲线弧，一L是与L方向相反的有向曲 线弧，则 ∫，Px,)dr=-∫Px,dx,∫，x,)dy=-Jjx,)dy. 说明： ·对坐标的曲线积分必须注意积分曲线的方向！ BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回

目录 上页 下页 返回 结束 3.对坐标的曲线积分的性质 (1) 若 L 可分成 n 条有向光滑曲线弧   L P(x, y)dx Q(x, y)dy 1 ( , )d ( , )d i n L i P x y x Q x y y     (2)设L是有向曲线弧，－L是与L方向相反的有向曲 线弧，则 则 说明: • 对坐标的曲线积分必须注意积分曲线的方向 !

二、对坐标的曲线积分的计算方法 定理设P(x,y),Q(x,y)在有向曲线弧L上有定义且 连续，L的参数方程为 x=p(t) t:→B,则曲线积分 ly=y(t) 存在，且有 P(x)d+(xdy =[(PI0.v(+QIo0.vlhdt 证明：下面先证 JPx,=P[o0wo1pu BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回

目录 上页 下页 返回 结束 二、对坐标的曲线积分的计算方法 定理 在有向曲线弧 L 上有定义且 L 的参数方程为      ( ) ( ) y t x t   t :  , 则曲线积分      P[ (t), (t)](t)  Q[ (t), (t)](t)d t 连续, 证明: 下面先证 P[ (t), (t)] dt       (t) 存在, 且有

根据定义P(x,ix=m∑P5,n△x 元0e1 设分点x,对应参数t,点(5，)对应参数，由于 △x,=x,-x-1=p(t,)-p(-1)=0'()△ JP(x,y)=lm∑PLo(r,w(a,】o'(z)△ 2→01 因为L为光滑弧，所以p'(t)连续 P(e).(G】p,Y i=l =∫2PIo0.wep'o 同理可证 J0xy=Loa,we)w0)dr BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回

目录 上页 下页 返回 结束 设分点 对应参数 根据定义 i x , i t , i  由于  i  i  i1 x x x ( ) ( )  i  i1  t  t i i ( )t P[ (t), (t)] dt           n i P i i 1 0 lim [ ( ), ( )]  i i ( )t     n i P i i 1 0 lim [ ( ), ( )]  i i ( )t (t)      n i i i i P x 1 0 lim ( , )  对应参数 因为L 为光滑弧 , 同理可证 Q[ (t), (t)] d t       (t)

特别是，如果L的方程为y=y(x),x:a>b,则 J P(x.)dx+(xdy =∫(PLx,w(xJ+OLx,w(x】w(x)dx 说明： 对坐标的曲线积分的计算方法可以写成：“一 定、二代、三替换，起点必定对下限” BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS ①-8 目录上页 下页返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 特别是, 如果 L 的方程为 y  (x), x : a  b, 则 P x x Q x x  x b a [ , ( )] [ , ( )] d      (x) 说明: •对坐标的曲线积分的计算方法可以写成：“一 定、二代、三替换，起点必定对下限”．