北京邮电大学出版社：21世纪高等学校规划教材《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第6章 空间解析几何 第1节 预备知识

第1节 第六章 预备为知积 向量的概念及表示 二、向量的运算 三、常用结论 四、举例 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 四、举例 第1节 一、向量的概念及表示 二、向量的运算 三、常用结论 预备知识 第六章

一、向量的概念及表示 1.向量：既有大小，又有方向的量称为向量（又称矢量） 表示法：有向线段AB,或a,或a 向量的模：向量的大小，记作AB,或a,或a, 自由向量：与起点无关的向量 单位向量：模为1的向量，记作e或e 零向量：模为0的向量，记作0，或0 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 表示法: 向量的模 : 向量的大小, 一、向量的概念及表示 1.向量: (又称矢量). A B 既有大小, 又有方向的量称为向量 自由向量:与起点无关的向量. 单位向量: 模为 1 的向量, 零向量: 模为 0 的向量, 有向线段 AB , 或 a , 记作 e或e . 或 a

2.若向量a与b大小相等，方向相同，则称a与b相等 记作a=b, 3.若向量a与b方向相同或相反，则称a与b平行，记作 a/b；规定：零向量与任何向量平行 与a的模相同，但方向相反的向量称为a的负向量 记作一a; 因平行向量可平移到同一直线上，故两向量平行又称 两向量共线 若k(仑3)个向量经平移可移到同一平面上，则称此飞 个向量共面 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 规定: 零向量与任何向量平行 ; 2.若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等, 记作 a＝b ; 3.若向量 a 与 b 方向相同或相反,则称 a 与 b 平行, a∥b ; 与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量, 记作 因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 . 若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 . 记作－a ;

4.向量的坐标表示 设向量a的起点为4(x,y,二)，终点为B(x2,y2,二2)》 a=AB=(x2-xi+(02-乃)j+(2-k={2-x,2-,52-} △ x,-x=4x,2-乃=a,2-三1=a.称为向量a的坐标 a={&,a,a,},向量的模d=Va+a+a. 起点在坐标原点O,终点为M(x,y,)的向量r 向径T=OM=xiyj+k=(x,y,z) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 4. 向量的坐标表示 设向量 a 的起点为 ( , , ), ( , , ) 1 1 1 2 2 2 A x y z 终点为B x y z a  AB  (x2  x1 )i  (y2  y1 ) j  (z2  z1 )k x2  x1 , y2  y1 ,z2  z1   x x ax y y ay z z az 称为向量a的坐标.    2  1  , 2  1  , 2  1   , ,  , . 2 2 2 a  ax ay az 向量的模 a  ax  ay  az 起点在坐标原点O，终点为M(x,y,z)的向量r 向径 r  OM  x i  y j  z k  (x, y ,z)

5.两个向量的夹角 向量与所形成的不超过π的角称为向量a与的 夹角（如图所示），记作(a,或(b,崩(a,b)= 时，称这两个向量垂直，记作4⊥b. B b a A BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 5. 两个向量的夹角 向量a与b所形成的不超过π的角 称为向量a与b的 夹角(如图所示)，记作 或 .当 时，称这两个向量垂直，记作a⊥b.  ( , )  a b ( , )  b a 2 ( , )    a b

6.向量的方向角、方向余弦 向量a与三条坐标轴的夹角a,B,y称为向量a的方 向角（如图）；方向角的余弦cosa,cosB,cosy称为 向量a的方向余弦 设a={a,a,a}则a的方向余弦： M(x,y,z) cosa 1aa,+a,+ lal ataj+a cosy l ataj+a. BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 6. 向量的方向角、方向余弦 向量a与三条坐标轴的夹角α，β，γ称为向量a的方 向角(如图)；方向角的余弦cosα，cosβ，cosγ称为 向量a的方向余弦． , | | cos 2 2 2 x y z x x a a a a a a      设a  ax ,ay ,az ,则a的方向余弦： , | | cos 2 2 2 x y z y y a a a a a a      . | | cos 2 2 2 x y z z z a a a a a a     

方向余弦的性质：cos2a+cos2B+cos2y=1 a={cosa,cos阝，cosy}是与向量a同方向的单 位向量 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 方向余弦的性质: 是与向量a同方向的单 位向量

二、向量的运算 1.向量加法 平行四边形法则： (a+B)+c b/arb. a+(B+c) a a+bic/ 三角形法则： a+b 坐标运算：设a=a,a,a},b={b,b,b},则 atb=a,+byay+by-a.+b.}. BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 二、向量的运算 1. 向量加法 三角形法则: 平行四边形法则: b b a b c a  b b  c a  (b  c ) (a  b)  c a a a  b a  b a  b  c 坐标运算: 设a  ax ,ay ,az ,b  bx ,by ,bz  ,则  , , . a  b  ax  bx ay  by az  bz

运算规律：交换律 a+b=b+a 结合律(a+b)+c=a+(亿+)=a+b+c 不等式性 la+blal+a-bsal+bl. BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 运算规律 : 交换律 结合律 不等式性 a  b  b  a (a  b)  c  a  (b  c )  a  b  c | a b || a |  | b | 及 | a b || a |  | b |

2.向量减法 b-a=b+(-a) b-a 特别当b=a时，有 a a-a=a+(-a)=0 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 2. 向量减法 a