北京邮电大学出版社：21世纪高等学校规划教材《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第4章 不定积分 第4节 分部积分法

第4节 第四章 分部积分法 由导数公式 (uv)'u'v +uv 积分得： w=∫udr+∫w'dr c 分部积分公式 或「 选取u及v'(或dv)的原则： 1)v容易求得 2)rdr比∫uvd容易计算 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 页 下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 第4节 由导数公式 (uv)  u  v  uv  积分得: uv  u  vdx  uv dx   分部积分公式 uv dx uv u v dx       或 ud v uv v du     1) v 容易求得 ; 容易计算 . 分部积分法 第四章

例4.4.1求xcos x dx. 解：令u=x,v=CoSx, 则'=1，v=sinx ∴.原式=xsinx -sinxdx =xsinx+cosx+C 思考：如何求x2 sinxdx? 提示：令u=x2,v'=sinx,则 原式=-x2cosx+2∫co BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例4.4.1 求 解: 令 u  x, v   cos x, 则 u  1, v  sin x ∴ 原式  xsin x   sin x dx  xsin x  cos x C 思考: 如何求 提示: 令 , 2 u  x v   sin x, 则 原式

例4.4.4求∫Inxdx 解：令u=lnx,v=x 则 w=y= 1x2 原式=2n-xd x+C BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例4.4.4 求 x ln x dx.  解: 令 u  ln x, v   x 则 , 1 x u   2 2 1 v  x 原式 = x ln x 2 1 2   x dx 2 1  x x  x C 2 2 4 1 ln 2 1

例4.4.5求arcsinx dx. 解：令u=arcsin x,dy=dx 原式=xaresinx-了产d =a+打别 xarcsin x+v1-x2 C. BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例4.4.5 求 解: 令 u  arcsin x, dv  d x 原式 = xarcsin x    x x x d 2 1  xarcsin x     (1 ) d(1 ) 2 1 2 2 x x arcsin 1 . 2  x x   x C

例44.6求∫x2 arctanx dx. 解：令u=arctan,dy=x2dx=dx 原式= dx 3 arcm3a-字山 一 3 arca x arctanx-x+1+)+C. 3 6 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例4.4.6 求 arctan d . 2 x x x  解: 令 u  arctan x, 2 3 d 3 1 d v  x d x  x ∴ 原式 x arctan x 3 1 3     x x x d 3 1 1 2 3 x arctan x 3 1 3      2 2 ) d 1 1 (1 6 1 x x x arctan x 3 1 3  ln(1 ) . 6 1 6 1 arctan 3 1 3 2 2  x x  x   x C      2 2 2 1 d(1 ) 6 1 6 1 x x x

例4.4.7求e*sinxdx 解：令u=sinx,v'=ex,则 u'=cosx,v=e* 原式=e*sinx-e*cosxdx 再令l=cosx,v'=ex,则 u'=-sinx,v=ex =e*sinx-e*cosx-e*sinxdx 故原式=e(sinx-cosx)+C 说明：也可设u=ex,y为三角函数，但两次所设类型 必须一致 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例4.4.7 求 e sin x dx. x  解: 令 u  sin x, x v   e , 则 u   cos x, x v  e ∴ 原式 x x  e sin   x x x e cos d 再令 u  cos x, x v   e , 则 u   sin x, x v  e x x  e sin   x  x x x x e cos e sin d 故 原式 = x x C x e (sin  cos )  2 1 说明: 也可设 为三角函数 , 但两次所设类型 必须一致

解题技巧：选取及v的一般方法： 把被积函数视为两个函数之积，按“ 反对幂指三” 顺序，前者为后者为y. 的 反：反三角函数 对：对数函数 幂：幂函数 指：指数函数 三：三角函数 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 解题技巧: 把被积函数视为两个函数之积 , 按 “ 反对幂指三” 的 顺序, 前者为 u 后者为 v  . 反: 反三角函数 对: 对数函数 幂: 幂函数 指: 指数函数 三: 三角函数

例44.12求∫edc. 解：令√x+1=t,则x=t2-1,dx=2tdt 原式=2∫te'di 令n=t,v'=e =2(te'-∫e'du） =2(te'-e)+C =2ex(Vx+1-1)+C BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例4.4.12 求 解: 令 x 1 t , 则 1, 2 x  t  dx  2t d t 原式 t t t 2 e d    t  2 t e 2e ( 1 1) . 1 x C x      u  t , t v   e e ) t  C 令 t  2(t e t  t e d  

例41.13求.-可0其中a>0内整数 du 解当1.1-j7 du arctan +C. a 当n>1时， 1。arot2加-小oy也 du U -ar-ayway du (2+a+2n-lXn-a1, U (n=2,3,… BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 例4.4.13 求 解: 当n=1时, n1 I     2 2 1 ( ) d n u a u u u a u n u a u n n d ( ) 2( 1) ( ) 2 2 2 2 2 1        所以 (2 3) ( 2,3, ). 2 ( 1) ( ) 1 2 2 2 1 1               n I  n u a u a n In n n arctan . d 1 1 2 2 C a u u a a u I      当n>1时, u u a a u a n u a u n n n d ( ) ( ) 1 2( 1) ( ) 2 2 2 2 2 1  2 2 1                2( 1)( ), ( ) 2 2 2 n 1 n 1 n n I a I u a u       

内容小结 分部积分公式 ∫avdx=v-∫ayd 1.使用原则：v易求出，∫dx易积分 2.使用经验：“反对幂指三”，前uv 后 3.题日类型 分部化简；循环解出， 递推公式 4.计算格式： BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 v u  内容小结 分部积分公式 u v dx u v u vdx       1. 使用原则 : v u vdx  易求出,  易积分 2. 使用经验 : “反对幂指三” , 前 u 后 v  3. 题目类型 : 分部化简 ; 循环解出; 递推公式 4. 计算格式 : v u    