北京邮电大学出版社：21世纪高等学校规划教材《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第5章 定积分 第2节 定积分的基本性质

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目录 上页 下页 返回 结束 第2节 定积分的基本性质 第五章

(设所列定积分都存在) f()d=-f()dx f(x)dx=0 性质1/(x)±gd=心f)dx生gx)ds 证：左端=lim∑Lf(5,)±g(5,)]Ax, 2→01 m∑f(5,)Ax,±1im之g(5,)△x,=右端 =1 01 性质2 kfx)d=k心fx)dx (k是常数) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 (设所列定积分都存在) ( )d  0  a a f x x ( k 是常数)       b a b a b a 性质1 [ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx 证: i i i n i   f  g x   lim [ ( ) ( )] 1 0    左端 i i n i i i n i   f x  g x     lim ( ) lim ( ) 1 0 1 0     = 右端

性质3 ∫ifdr=fx)dx+jfw)dx 证：当a0 j2fx)dr∫6fx)dx+∫f)dx BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 证: 当 a  c  b 时, 因 在 上可积 , 所以在分割区间时, 可以永远取 c 为分点 , 于是   [ , ] ( ) a b i i f  x     [ , ] ( ) a c i i f  x   [ , ] ( ) c b i i f  x 令  0   b a f (x)dx  c a f (x)dx   b c f (x)dx a c b

当a,b,c的相对位置任意时，例如a<b<c, 则有 a j5fxdr=gfx)d+j6f)d ∫fd=6fx)d-j6xd =Jfx)d+∫efx)dx 性质4如果[a,b]上，f()1,则心dx=b-a BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 a b c 当 a , b , c 的相对位置任意时, 例如 a  b  c, 则有   c a f (x)dx  b a f (x)dx   c b f (x)dx   c a f (x)dx   b a f (x)dx   c b f (x)dx   c a f (x)dx   b c f (x)dx [a,b] f (x) 1, dx b a. b a    性质4 如果在 上, 则

性质5如果在[a,]上f(x)≥0，则f(x)dr≥0(a<b) 证：∑f(5)△x,≥0 i=1 fx)dx=1im∑f5)Ax,20 201 推论1如果在[a,b]上f(x)≥g(x),则 fx)d≥jgx)d(a<b BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 性质5 如果在 [a , b] 上 ( ) 0 1     i i n i  f  x 则 证:   b a f (x)d x lim ( ) 0 1 0       i i n i f  x  推论1 如果在 [a , b] 上 则

推论2 ∫rd)d(a<b) 证：-f(x)≤f(x)≤f(x) -f)dk≤fx)d≤∫fx)d 即 d)d 性质6设M=maxf(x),m=minf(x),则 [a,b] [a,b] mb-a)≤f(x)dr≤Mb-a)(a<b) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 推论2 证:   f (x)  f (x)  f (x) (a  b) f x x f x x f x x b a b a b a ( ) d ( )d ( ) d        即 f x x f x x b a b a ( )d ( ) d    性质6 设 max ( ), min ( ) , [ , ] [ , ] M f x m f x a b a b   则 (a  b)

性质7（定积分中值定理 若f(x)∈C[a,b],则至少存在一点5∈[a,b],使 ∫fcx)dr=f5b-a) 证：设f(x)在[a,b]上的最小值与最大值分别为m,M, 则由性质7可得 m b-al"(dxsM 根据闭区间上连续函数介值定理，在[a,b]上至少存在一 点5∈[a,b],使 -d 因此定理成立 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 性质7 (定积分中值定理) 则至少存在一点 使 f (x)dx f ( )(b a) b a     证: 设 f (x)在[a,b]上的最小值与最大值分别为 m,M, 则由性质7 可得 根据闭区间上连续函数介值定理, 在[a,b]上至少存在一 使 因此定理成立

说明： ·积分中值定理对ab都成立 y=f(x) rdx 。可把 =f(5) b-a 理解为f(x)在[a,b]上的平均值.因 0a5 b x ∫fx)d b-a m2e)b,=mΣfG) b-an 故它是有限个数的平均值概念的推广 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 O a b x y y  f (x) 说明: • 可把 ( ) ( )d f  b a f x x b a    故它是有限个数的平均值概念的推广.  • 积分中值定理对 因 ( ) 1 lim 1     n i i n f n 

内容小结 1.定积分的基本性质 2.定积分中值定理 连续函数在区间上的平均值公式 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

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