北京邮电大学出版社：21世纪高等学校规划教材《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第8章 重积分 第1节 二重积分的概念与性质

第1为 第八章 二重积分的桡念与性质 一、两个实例 二、二重积分的概念 三、二重积分的性质 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 三、二重积分的性质 第1节 一、两个实例 二、二重积分的概念 二重积分的概念与性质 第八章

一、两个实例 z=f(x,y) 1.曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体 底：xOy面上的闭区域D 顶：连续曲面z=f(x,y)≥0 侧面：以D的边界为准线，母线平行于z轴的柱面 求其体积 解法：类似定积分解决问题的思想： “分割，近似，求和，取极限” BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 下负返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 解法: 类似定积分解决问题的思想: 一、两个实例 1.曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体: z  f (x, y)  0 底： xOy 面上的闭区域 D 顶: 连续曲面 侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面 求其体积. “分割，近似，求和，取极限” D z  f (x, y)

(1)分割” 用任意曲线网分D为个小闭区域 2=f(x,y) △O1,△O2,…,△on 以它们为底把曲顶柱体分为n个f(5,n,) 小曲顶柱体 (2)近似” (5,7) △o 在每个△o,中任取一点(5，n,),则 △，≈f(5,7,)△o,(i=1,2,…,n (3)“求和” V=∑AY≈∑/5，n)Ao BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 下负返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 D z  f (x, y) (1)“分割” 用任意曲线网分D为 n 个小闭区域    n , , , 1 2  以它们为底把曲顶柱体分为 n 个 (2)“近似” 在每个 i ( , ), i i (3)“求和”    n i V Vi 1    n i i i i f 1 ( , )  ( , ) i i f   V f ( , ) (i 1, 2, , n)  i  i i  i   中任取一点 则 小曲顶柱体  i ( , ) i i

(4)“取极限” 定义△o,的直径为 (Ao,)=max{PP∥P.P∈△o} 令2=max{2(Ao,)} ≤i≤n z=f(x,y) 7=lm∑5，n)Ag, f(51,7) (5,7,)△o BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上负 下负返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 (4)“取极限” 定义i的直径为 ( i)  max P1P2 P1 ,P2  i 令 max ( )  1 i i n           n i i i i V f 1 0 lim ( , )   z  f (x, y) ( , ) i i f    i ( , ) i i

2.平面薄板的质量 有一个平面薄片，在xOy平面上占有闭区域D,其面密 度为4(x,y)∈C,计算该薄片的质量M 若4(x,y)≡4（常数），设D的面积为o,则 M=u.o 若4(x,y)非常数，仍可用 分割，近似，求和，取极限” 解决， 1)分割” 用任意曲线网分D为n个小区域△o1,△o2,…,△on 相应把薄片也分为小块 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 2. 平面薄板的质量 有一个平面薄片, 在 xOy 平面上占有闭区域 D , 度为  (x, y)C,计算该薄片的质量 M . 若 (x, y)   (常数), 设D 的面积为 , 则 M    若  (x, y)非常数 , 仍可用 其面密 “分割，近似，求和，取极限” 解决. 1)“分割” 用任意曲线网分D 为 n 个小区域 , , , ,  1  2   n 相应把薄片也分为小块 . D y O x

2)近似” 在每个△o,中任取一点(5，n,),则第i小块的质量 △M,≈4(5,7，)Ao(i=1,2,…,n) 3)求和” M=∑AM,≈∑h(5,n)Ag 4)取极限” 令元=max{(Ao,)} (5,7) △o l<i<n M lim →0 ∑4(5，n,)Ao, BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下负返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 y x 2)“近似” 在每个 i中任取一点 ( , ),  i  i 3)“求和”    n i M Mi 1 ( , ) . 1    n i  i i  i 4)“取极限” max ( ) 1 i i n       令 lim ( , ) . 1 0     n i M  i i  i   i ( , ) i i M ( , ) (i 1,2, ,n)  i   i i  i  则第 i 小块的质量 O

两个问题的共性： (1)解决问题的步骤相同 分割，近似，求和，取极限” (2)所求量的结构式相同 曲顶柱体体积： V=lim∑f(5,7,)Ao 2→0 i=1 平面薄片的质量： M=lim 20 ∑4(5,7，)Ao i=l BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 自录上页 下负返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 两个问题的共性： (1) 解决问题的步骤相同 (2) 所求量的结构式相同 “分割，近似，求和，取极限” lim ( , ) . 1 0     n i i i i V f         n i M i i i 1 0 lim  ( , )   曲顶柱体体积: 平面薄片的质量:

二、二重积分的概念 定义设f(x,y)是定义在有界闭区域D上的有界函数， 将区域D任意分成n个小闭区域△o,(i=1,2,…,n), 任取一点(5,7，)∈△o,若存在一个常数I,使 1=1m∑f(5,n,)A,j∬2fx,)dc 则称f(x,y)可积，称I为f(x,y)在D上的二重积分 积分和 被积表达式 x,y称为积分变量 积分区域 被积函数 面积元素 BELJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 二、二重积分的概念 定义 设 f (x, y) 将区域 D 任意分成 n 个小闭区域 (i 1, 2 , , n),  i   任取一点 ( , ) , i i  i 若存在一个常数 I , 使     n i i i i I f 1 0 lim ( , )   则称 f (x, y) 可积 , D f (x, y)d 称I 为 f (x, y)在D上的二重积分. x , y称为积分变量 积分和 D f (x, y)d 积分区域 被积函数 被积表达式 面积元素 记作 是定义在有界闭区域 D上的有界函数

如果f(x,y)在D上可积，可用平行坐标轴的直线来划 分区域D,这时△o,=△x,△y,因此面积 元素do也常记作dxdy,二重积分记作 f()dxdy 实例1中曲顶柱体体积： V=f(xy)d=f(x)dxdy 实例2中平面薄板的质量： M=u(x)d=p()dxdy BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束   D V f (x, y)d 实例1中曲顶柱体体积:   D M  (x, y)d 实例2中平面薄板的质量: 如果 f (x, y)在D上可积, 元素d也常记作 dxdy, 二重积分记作 ( , )d d . D f x y x y , i i i 分区域 D , 这时   x y 因此面积 可用平行坐标轴的直线来划   D f (x, y)d x d y   D  (x, y)d x d y y O x

二重积分存在定理： 定理1.若函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，则 f(x,y)在D上可积 定理2.若有界函数f(x,y)在有界闭区域D上除去有 限个点或有限条光滑曲线外都连续，则f(x,y)在D上可 积 例如，f(x,y)= 上二重积分存在；但f(x,y)= 在D上O 1 x x-V 二重积分不存在 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 录 返回 结

目录 上页 下页 返回 结束 二重积分存在定理: 若函数 f (x, y) f (x, y) 定理2. f (x, y) 则 f (x, y)在D上可 定理1. 在D上可积. 限个点或有限条光滑曲线外都连续 , 积. 在有界闭区域 D上连续, 则 若有界函数 在有界闭区域 D 上除去有 例如, x y x y f x y    2 2 ( , ) 在 D : 0  x 1 0  y 1 上二重积分存在 ; x y f x y   1 但 ( , ) 在D 上 二重积分不存在 . y 1 x 1 D O