北京邮电大学出版社：21世纪高等学校规划教材《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第11章 微分方程 第1节 微分方程的基本概念

第1节 第十一章 微分方程的基本橇念 几何问题 引例 物理问题 微分方程的基本概念 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 微分方程的基本概念 第1节 微分方程的基本概念 引例 几何问题 物理问题 第十一章

例11.1.1一 曲线通过点(1,0)，在该曲线上任一点处的 切线斜率为2x，求这曲线的方程 解：设所求曲线方程为y=(x),则有如下关系式 2x dx (y川1=0 由①得y=∫2xdx=x2+C (C为任意常数) 由②得C=一1，因此所求曲线方程为y=x2-1. BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 例11.1.1 一曲线通过点(1,0) ,在该曲线上任一点处的 解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式: x x y 2 d d  ① (C为任意常数) 由 ② 得 C = －1, 2 因此所求曲线方程为 y x  1. 1 0 x y   ② 由 ① 得 切线斜率为 2x , 求这曲线的方程

例11.1.2列车在平直路上以20m/s的速度行驶，制动时 列车获得加速度0.4m/s2，问列车开始制动后多长时间 列车才能停住？并问在这段时间里列车行驶了多少路 程？ 解：设列车在制动后t秒行驶了s米，求s=s(①) d2、 -0.4 已知 ds l sl-o =0, dit=0 =20 由前一式两次积分，可得s=-0212+C1t+C2 利用后两式可得 C1=20,C2=0 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 下页返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 例11.1.2 列车在平直路上以 的速度行驶, 列车获得加速度 问列车开始制动后多长时间 解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 , 已知 0 , s t0  由前一式两次积分, 可得 1 2 2 s   0.2t C t C 利用后两式可得 求 s = s (t) . 制动时 列车才能停住？并问在这段时间里列车行驶了多少路 程？

把C1,C2的值代入，得：v=-0.4十20， s=-0.22+20t. 20 令v=0,得t= 04 =50s. 再把=50代入，得到列车在制动阶段行驶的路程 s=-0.2×502+20×50=500m. BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 、返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 s＝－0.2t 2＋20t. 令v＝0，得 再把t＝50代入，得到列车在制动阶段行驶的路程 把C1，C2的值代入，得：v＝－0.4t＋20

微分方程的基本概念 凡表示未知函数、未知函数的导数（或微分）与自变 量之间的关系的方程，叫做微分方程 常微分方程 分类 偏微分方程 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数， 叫做微分方程的阶 般地，n阶常微分方程的形式是 F(x,y.y,..y()=0 或ym)=f(x,y,y,,ym-)(n阶显式微分方程) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回

目录 上页 下页 返回 结束 常微分方程 偏微分方程 凡表示未知函数、未知函数的导数(或微分)与自变 量之间的关系的方程，叫做微分方程. 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数， 叫做微分方程的阶． ( , , , , ) 0 ( )   n F x y y  y ( , , , , ) ( ) ( 1)   n n y f x y y  y ( n 阶显式微分方程) 微分方程的基本概念 一般地 , n 阶常微分方程的形式是 分类 或

微分方程的解一 使方程成为恒等式的函数， 通解一解中所含独立的任意常数的个数与方程 的阶数相同 特解一不含任意常数的解，其图形称为积分曲线。 定解条件一确定通解中任意常数的条件 n阶方程的初始条件（或初值条件）： xo)=0,y(xo)=%,,y-》(xo)=m- BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 — 使方程成为恒等式的函数. 通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 ( 1) 0 0 ( 1) 0 0 0 0 ( ) , ( ) , , ( )        n n y x y y x y  y x y — 确定通解中任意常数的条件. n 阶方程的初始条件(或初值条件): 的阶数相同. 特解 微分方程的解 — 不含任意常数的解, 定解条件 其图形称为积分曲线

例11.1.3验证函数y=Ce+C2e2x(C1,C2为常数) 是微分方程y"-3y+2y=0的通解，并求满足初始条件 y0=0,y0=1的特解 解：y'=Ce+2Ce2,y"=Ce+4Ce2 y"-3y'+2y=(Ce+4C2e2)-3(Ce+2C,e2)+2(Ce+C,e2) =(C1-3C+2C)e*+(4C2-6C2+2C,)e2=0. 把条件x=0时，y=0代入，得0=C+C2 把条件x=0时，y=1代入，得1=C,+2C2, ∴.C1=-1,C2=1. 故所求特解为y=-e+e2x. BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 例11.1.3 验证函数 是微分方程 的通解, 0 0 , x y   0 ' 1 x y   的特解. 解: 把条件x＝0时，y＝0代入，得 把条件x＝0时，y′＝1代入，得 ( , ) C1 C2为常数 故所求特解为 2 . x x y e e    并求满足初始条件

作业 P211 2(1),(4) 3(1)月 4(2),(3)；5(2)； BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 第2节目录上页下页 返回结束

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