北京邮电大学出版社：21世纪高等学校规划教材《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第9章 曲线积分与曲面积分 第5节 对坐标的曲面积分

第5节 第九章 对业标的曲面积弓 对坐标的曲面积分的概念与性质 二、对坐标的曲面积分的算法 三、两类曲面积分之间的联系 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 下页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 第5节 一、 对坐标的曲面积分的概念与性质 二、对坐标的曲面积分的算法 三、两类曲面积分之间的联系 对坐标的曲面积分 第九章

一、对坐标的曲面积分的概念与性质 1.几个名词 双侧曲面 ·曲面分类 曲面分内侧和 单侧曲面 外侧 莫比鸟斯带 曲面分左侧和 曲面分上侧和 (单侧曲面的典型) 右侧 下侧 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回

目录 上页 下页 返回 结束 一、 对坐标的曲面积分的概念与性质 • 曲面分类 双侧曲面 单侧曲面 莫比乌斯带 曲面分上侧和 下侧 曲面分内侧和 外侧 曲面分左侧和 (单侧曲面的典型) 右侧 1.几个名词

·指定了侧的曲面叫有向曲面，其方向用法向量指向 表示 方向余弦 cosa cos B cosy 封闭曲面 >0为前侧 >0为右侧>0为上侧 外侧 侧的规定 0时 (AS)A) 类似可规定 当cosy<0时 (AS)(AS) 当cosy≡0时 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 其方向用法向量指向 方向余弦 cos cos cos > 0 为前侧 0 为右侧 0 为上侧 < 0 为下侧 外侧 内侧 • 设  为有向曲面, ( ) , S xy S (S) xy  侧的规定 • 指定了侧的曲面叫有向曲面, 表示 : 其面元 在 xOy 面上的投影记为 的面积为 则规定 ( ) ,  xy ( ) ,   xy 0 , 当cos  0时 当cos  0时 当cos  0时 类似可规定 S yz S zx ( ) , ( )

2.引例 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为 (x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k 求单位时间流过有向曲面罗的流量Φ 分析：若∑是面积为A的平面， 法向量：n=(cosa,cosB,cosY） 流速为常向量：下 则流量 D=4-vlcose =Av.n BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为 求单位时间流过有向曲面 的流量 . A  分析: 若 是面积为A 的平面, 则流量 法向量: 流速为常向量: n v 2. 引例

对一般的有向曲面∑，对稳定流动的不可压缩流体的 速度场下=(P(x,y,2),Q(x,y,2),R(x,y,z) 用“分割，近似，求和，取极限” 进行分析可得功=∑·元△S 设，=(cosa,cosB,cosri),则 lim >[P(i,ni)cosai+0(5m)cos B 2→01 +R(Si,n,si)cos Yi ]AS lim λ→0 ∑IP(5,n,5i(△S)z+(5n,5i(△S)as i=1 +R(5,7,57)△S)xy] BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回

目录 上页 下页 返回 结束 Σ 对一般的有向曲面 , 用“分割, 近似, 求和, 取极限”   n i 1 0 lim    0 lim      n i 1  P  i i  i i ( , , )cos R i i i i  ( , , )cos 0 lim      n i 1 Q i i  i  i  ( , , )cos  i S 对稳定流动的不可压缩流体的 速度场 进行分析可得 i n i v i i i v  n S (cos , cos , cos ) i i i i 设 n      , 则

3.定义：设Σ为一光滑的有向曲面，在∑上定义了一个 向量场A=(P(x,y,z),Q(x,y,),R(x,y,),若对∑的任 意分割和在局部面元上任意取点，下列极限都存在 lim】 [P(5,7,Si(△S,)yE 2→0 i=1 +Q(5,7,5)(△S,)Ex+R(5i,7i,Si)(△S)xy] 则称此极限为向量场A在有向曲面上对坐标的曲面积 分，或第二类曲面积分.记作 ∬2 Pdydz+-Qd=dx+Rdxdy PQ,R叫做被积函数，Σ叫做积分曲面 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 设 为一光滑的有向曲面, 在 上定义了一个 意分割和在局部面元上任意取点,   n i 1 Q i i i Si zx  ( , , )( ) 分,     Pdy d z Qd z d x Rdxdy 记作 P, Q, R 叫做被积函数;  叫做积分曲面. 或第二类曲面积分. 下列极限都存在 向量场 A  (P(x, y,z), Q(x, y,z), R(x, y,z)), 若对 的任 则称此极限为向量场 A 在有向曲面上对坐标的曲面积 3. 定义：

小Pdd:称为P在有向曲面2上对，的曲面积分： Qdzdx称为Q在有向曲面上对，x的曲面积分； Rdxdy称为R在有向曲面上对x,y的曲面积分. 引例中，流过有向曲面Σ的流体的流量为 D=∬Pdydz+dzdx+Rdxdy 若记Σ正侧的单位法向量为n=(cos&,cos阝，cosY) 令 ds=nds=(d ydz,dzdx,dxdy) A=(P(x,y,),Q(x,y,),R(x,y,2) 则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回

目录 上页 下页 返回 结束 引例中, 流过有向曲面  的流体的流量为  Pd y d z 称为Q 在有向曲面 上对 z, x 的曲面积分;  Rd x d y 称为R 在有向曲面 上对 x, y 的曲面积分. 称为P 在有向曲面 上对 y, z 的曲面积分;       Pdy d z Qd z d x Rdxdy 若记  正侧的单位法向量为 令 n  (cos , cos  , cos ) d S  nd S  (d yd z, d zd x, d xd y) A  (P(x, y,z),Q(x, y,z),R(x, y,z)) 则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式

∬Pdydz+-Qd=dx+Rdxdy =j∬24.nds=j川2A-ds 4.对坐标的曲面积分的性质 (1)(分域性质)如果把分成∑，和2，则 ∬Pdydz+-Qd=dx+-Rdxdy -J:Pdyd:+Qdzdx+Rdxdy Pdyd=+Qdzdx+Rdxd BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上项 下页返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 4. 对坐标的曲面积分的性质 (1) (分域性质)如果把Σ分成Σ1和Σ2，则     Pd y d z Qd z d x Rd xd y     A nd S     A d S P y z Q z x R x y d d d d d d     1 P y z Q z x R x y d d d d d d      2 P y z Q z x R x y d d d d d d .     

(2)设是有向曲面，一表示与取相反侧的有向曲面， 则 ∬Px,ya)dyda=-∬八Px,,a)dyd ∬x,y,z)dzdx=-J∬(x,y,a)dzdk, ∬Rx,ya)dxdy=-∬R(x,y,a)dxdy BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 (2)设Σ是有向曲面，－Σ表示与Σ取相反侧的有向曲面， 则 P x y z y z P x y z y z ( , , )d d ( , , )d d ,       Q x y z z x Q x y z z x ( , , )d d ( , , )d d ,       R x y z x y R x y z x y ( , , )d d ( , , )d d .      

二、对坐标的曲面积分的算法 定理1 设光滑曲面卫：z=z(x,y),(x,y)∈Dxy取上侧 R(x,y,z)是∑上的连续函数，则 ∬sRx,.)dxdy=-∬n R(x,y,=(x,y))dxdy 证：J「2R(x,y,)dxdy=lim -0 R(5,7,5(AS,xy i=1 Σ取上侧，∴(AS,)x=(Ao)x 5,=z(5,7) lim 元0 ∑R(5,7,z(5,7)(△o)xy R(x,y,z(x,y))dxdy BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上页 下页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 二、对坐标的曲面积分的算法 定理1 设光滑曲面 取上侧, 是  上的连续函数, 则  R(x, y,z)d xd y ( , , )   D x y R x y z(x, y) d xd y 证: 0 lim      n i 1 Si xy ( ) i xy ∵ 取上侧  ( ) , ( , ) i i i   z   0 lim      n i 1 ( , , ) R i i ( , ) i i z   i xy ( ) R x y z x,y x y Dxy ( , , ( ))d d    R(x, y,z)d xd y