北京邮电大学出版社：21世纪高等学校规划教材《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第6章 空间解析几何 第4节 空间直线及其方程

第4为 第六章 空间直线及其方程 直线的一般式方程 二、 直线的对称式方程与参数方程 三、两直线的夹角 四、直线与平面的夹角 五、平面束 六、综合举例 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 第4节 一、直线的一般式方程 二、直线的对称式方程与参数方程 空间直线及其方程 第六章 三、两直线的夹角 四、直线与平面的夹角 五、平面束 六、综合举例

一、直线的一般式方程 直线可视为两平面交线，因此其一般式方程 Ax+B1y+C12+D1=0 A2x+B2y+C2z+D2 =0 (不唯一) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 一、直线的一般式方程 x y z O A1 x  B1 y C1 z  D1  0 1 2 L 直线可视为两平面交线，因此其一般式方程 (不唯一)

二、直线的对称式方程与参数方程 已知直线上一点M(x0,y0,0)和它的方向向量 s=(m,n,p),设直线上的动点为M(x,y,2) 则 MoMlls M(x,y,2) 故有 x-0-y-y0-2-0 m n Mo(x0,y0,20) 此式称为直线的对称式方程（也称为点向式方程） 说明：某些分母为零时，其分子也理解为零.↑2 例如，当m=n=0,p≠0时，直线方程为 x=X0 ly=yo BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 上页 下页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 z y x 0 x 0 y O ( , , ) 0 0 0 0 故有 M x y z 说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为零. m x x  0      0 0 y y x x 设直线上的动点为 则 M (x, y,z) n y y  0  p z z  0  此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程) 直线方程为 已知直线上一点 ( , , ) 0 0 0 0 M x y z M (x, y,z) 例如, 当 m  n  0, p  0 时, 和它的方向向量 s 二、直线的对称式方程与参数方程

参数方程 设x-0=y-0=-0=7 m n 得 x=xo+mt y=Yo+nt 2=20+p1 上式称为直线的参数方程，其中为参数， BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 参数方程 设 得: t p z z n y y m x x       0 0 0 x  x  mt 0 y  y  nt 0 z  z  pt 0 上式称为直线的参数方程，其中t为参数

例6.4.2 用对称式方程及参数方程表示直线 x+y+z+1=0 2x-y+3z+4=0 解：先在直线上找一点。 令x=1,解方程组 y-32=6,得=0,0=-2 y+2=-2 故(1,0，-2)是直线上一点. 再求直线的方向向量3 交已知直线的两平面的法向量为 n1=(1,1,1), n2=(2,-1,3) :s⊥h,sLn2 S=n1×n2 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 例6.4.2 用对称式方程及参数方程表示直线. 解:先在直线上找一点. 3 6 2      y z y z 再求直线的方向向量 令 x y0  0, z0  2 0 = 1, 解方程组 ,得 交已知直线的两平面的法向量为 是直线上一点 . s . 1 n2  s  n ,s  n1 n2  s  

S=n1×n2=111 =(4,-1,-3) 2-13 故所给直线的对称式方程为 z+2 4 -1 -3 x=1+41 直线的参数方程为 了y=-t z=-2-3t 解题思路：先找直线上一点； (1,0,-2) 再找直线的方向向量 是直线上一点 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 故所给直线的对称式方程为 直线的参数方程为  t 4 x 1 1  y 解题思路: 先找直线上一点; 再找直线的方向向量.  (4,1,3) n1 n2 s   2 1 3 1 1 1   i j k 是直线上一点

三、两直线的夹角 两直线的夹角指其方向向量间的夹角（通常取锐角） 设直线L,L2的方向向量分别为 S=(m1,n1,p1),S2=(m2,n2,p2) 则两直线夹角p满足 3·2 C0S0= 1ss2 mm2 +nn2 p p2 2+p2 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 L2 L1  三、两直线的夹角 则两直线夹角  满足 设直线 L1 , L2 的方向向量分别为  两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角) m1m2  n1n2  p1 p2 2 1 2 1 2 m1  n  p 2 2 2 2 2 m2  n  p 1 2 1 2 cos s s s  s   1 s 2 s

特别有： ()L11L2=S12 。=mm2+nn2+p1P2=0才S2 (2)L11∥L2=S/S2 %=乃=P1 m2 n2 p2 =(m1,n,p) S2=(m2,n2,p2〉 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 特别有: 1 2 (1) L  L 1 2 (2) L // L m1m2  n1n2  p1 p2  0 2 1 2 1 2 1 p p n n m m   1 2 s  s 1 2 s //s L2 L1 1 s 2 s L2 L1 1 s 2 s

四、直线与平面的夹角 当直线与平面不垂直时，直线和它在平面上的投影直 线所夹锐角0称为直线与平面的夹角； 当直线与平面垂直时，规定其夹角为2： 设直线L的方向向量为s=(m,n,p) 平面Π的法向量为n=(A,B,C) 则直线与平面夹角0满足 sing cos(s,n) s.n Am+Bn+Cp |sn m2+n2+p2vA2+B2 +C2 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 当直线与平面垂直时,规定其夹角为 线所夹锐角 称为直线与平面的夹角; L  当直线与平面不垂直时, 设直线 L 的方向向量为 平面  的法向量为 则直线与平面夹角  满足  2 2 2 2 2 2 m n p A B C Am Bn C p        直线和它在平面上的投影直 s  (m,n, p) n  (A,B,C) ︿ sin  cos( s , n) s n s  n  s n 四、直线与平面的夹角

特别有： ()L1Π=3/n ABC m n (2)L1/Π，=3Ln，=Am+Bn+Cp=0 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS e-0C④-8 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 特别有: (1) L  (2) L// Am  Bn C p  0 p C n B m A s// n   sn