北京邮电大学出版社：21世纪高等学校规划教材《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第7章 多元函数微分及其应用 第6节 微分法在几何上的应用

第6节 第七章 微分法在几何上的应用 空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 一、空间曲线的切线与法平面 第6节 二、曲面的切平面与法线 微分法在几何上的应用 第七章

一、 空间曲线的切线与法平面 定义设M,是空间曲线T上的一个定点，M是T上的 个动点，过M,M俩点作割线MM,当动点沿曲线T 趋向于M,时，割线M,M的极限位置MI称为曲线T在点 M,处的切线；过点M,且与切线垂直的平面，称为曲线 T在点M,处的法平面 设空间曲线的参数方程为： x=p(t),y=W(t),2=0(t), 其中三个函数都可导，且导数不同 时为零 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 一、空间曲线的切线与法平面 定义 设M0是空间曲线Γ上的一个定点，M是Γ上的一 个动点，过M0，M两点作割线M0M，当动点M沿曲线Γ 趋向于M0时，割线M0M的极限位置M0T称为曲线Γ在点 M0处的切线；过点M0且与切线垂直的平面，称为曲线 Γ在点M0处的法平面． 设空间曲线Γ的参数方程为: 其中三个函数都可导，且导数不同 时为零． x   (t), y  (t), z  (t),  T M0 M x y z O

设T上的点M(x,yo,2o)对应t=to,参数t=t对应曲 T上定点Mxo,0,o),参数1=十△对应曲线T上动 点M(x十△x,十△y,0十△)，则割线MM的方程是 x-x=y-=-0 △X y △ 切线方程 X-0三 y-y0- 2-20 p'(o)y'(o)0'(o) 法平面方程 0(o)x-xo)+Ψ'(t0)(y-y0)+0'(t0)2-2o)=0 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 0 0 0 x x y y z  z     ( ) 0   t ( ) 0  t ( ) 0  t ( , , ) , 0 0 0 0 0 设上的点 M x y z 对应t  t Γ上定点M0(x0，y0，z0)，参数t＝t0＋Δt对应曲线Γ上动 点M(x0＋Δx，y0＋Δy，z0＋Δz)，则割线M0M的方程是 ( )( ) 0 0  t x  x ( )( ) 0 0  t y  y (t0 )(z  z0 )  0 法平面方程 切线方程  T M0 M x y z O . 0 0 0 z z z y y y x x x         参数t＝t0对应曲

例7.6.2求曲线x=t,y=t,z=t3在点(1,1,1)处的切线 及法平面方程 解：x=1,y=21,z=32,点(1,1,1)对应于1=1， 故切向量为T=(1,2,3) 思考：光滑曲线 因此所求切线方程为 T:了y=p(x) z=w(x) x-1y-1= z-1 2 3 的切向量有何特点？ 法平面方程为 X=X 答： T:y=o(x) (x-1)+2(y-1)+3(z-1)=0 z=v(x) 即 x+2y+3z=6 切向量T=(1,0',w) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 例7.6.2 求曲线 2 3 x  t, y  t , z  t 在点 (1, 1, 1) 处的切线 及法平面方程. 1, 2 , 3 , 2 解：x   y   t z   t 点(1, 1, 1) 对应于t 1, 故切向量为 T  (1, 2, 3) 因此所求切线方程为 1 1 1    x  y z 1 2 3 法平面方程为 (x 1)  2 ( y 1)  3(z 1)  0 即 x  2y  3z  6      ( ) ( ) : z x y x    思考: 光滑曲线 的切向量有何特点? T  (1,  ,) 答:        ( ) : ( ) z x y x x x    切向量

二、曲面的切平面与法线 设有光滑曲面卫：F(x,y,z)=0 通过其上定点M(x,,o)任意引一条光滑曲线 T:x=p(t),y=W(t),2=o(t),设t=t0对应点M,且 0'(to),w'(to),o'(t)不全为0.则T在 点M,的切向量为 T=('(to),w'(to),@'(to)) 切线方程为 X-0=Y-0=三-20 p'(to)v'(to) o'(to） 下面证明：∑上过点M,的任何曲线在该点的切线都 在同一平面上.此平面称为∑在该点的切平面 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束  : F(x, y,z)  0 二、曲面的切平面与法线 设 有光滑曲面 通过其上定点 ( , , ) 0 0 0 0 M x y z 0 设 t  t 对应点 M0 , ( ), ( ), ( ) 0 0 0  t  t  t 切线方程为 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 t z z t y y t x x        不全为0 . 则  在  : x   (t), y  (t), z  (t) , 且 点 M 0的切向量为 任意引一条光滑曲线  下面证明: 此平面称为  在该点的切平面.  上过点 M 0的任何曲线在该点的切线都 在同一平面上. ( ( ), ( ), ( )) 0 0 0 T   t  t  t M0 T

证：T:x=0(t),y=w(t),2=o(t)在∑上 F(p(t),w(t),0(t)≡0 两边在t=to处求导，注意t=t,对应点M 得 Fx(x0,y0,20)0'(t0)+Fy(x0,0,20)V'(t0) +F(x0,Jy0,20)o'(t0)=0 令T=(0'(to),Ψ'(to),0'(to)》 n=(Fx(x0,Jy0,20),Fy(x0,y0,20),F2(x0,J0,20) 切向量T上n 由于曲线厂的任意性，表明这些切线都在以为法向量 的平面上，从而切平面存在 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 M0  T 证:  : x   (t), y  (t), z  (t)在  上,  F( (t), (t), (t))  0 , 两边在 t  t0 处求导 , 0 M0 注意t  t 对应点 ( ) 0  t  0 ( , , ) 0 0 0 F x y z x ( , , ) 0 0 0 F x y z  y ( , , ) 0 0 0 F x y z  z ( ) 0  t ( ) 0 得  t ( ( ), ( ), ( )) 0 0 0 T   t  t  t ( ( , , ), ( , , ), ( , , )) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 n F x y z F x y z F x y z  x y z 令 切向量 T  n 由于曲线  的任意性 , 表明这些切线都在以 n 为法向量 的平面上 , 从而切平面存在 . n

曲面∑在点M的法向量： n=(Fx(x0,y0,20),Fy(x0,y0,20),F.(x0,0,20) 切平面方程 Fx(x0,y0,20(x-x0)+y(x0,0,20)(y-y0) +F-(x0,0,20)(2-20)=0 过M点且垂直于切平面的直线 称为曲面∑在点M,的法线. 法线方程 x-X0 y-Yo z-20 Fx(x0,y0,20)Fy(x0,y0,20) F2(x0,y0,20） BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 日录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 ( , , )( ) 0 0 0 0 F x y z x x x  曲面  在点 M0 的法向量: 法线方程 0 0 0 x x y y z  z     ( , , )( ) 0 0 0 0 F x y z y y  y  ( , , )( ) 0  Fz x0 y0 z0 z  z0  切平面方程 ( , , ) 0 0 0 F x y z x ( , , ) 0 0 0 F x y z y ( , , ) 0 0 0 F x y z z ( ( , , ), ( , , ), ( , , )) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 n F x y z F x y z F x y z  x y z 过M0点且垂直于切平面的直线 称为曲面  在点 M0 的法线. M0  T n

例7.6.5求球面x2+y2+z2=14在点(1,2,3)处的切 平面及法线方程 解：令 F(x,y,z)=x2+y2+22-14 法向量 n=(2x,2y,2z) n(1,2.3)=(2,4,6) 所以球面在点(1,2,3)处有： 切平面方程 2(x-1)+4(y-2)+6(2-3)=0 即 x+2y+3z-14=0 法线方程 x-1y-22-3 2 3 即 (可见法线经过原点，即球心) 2 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 例7.6.5 求球面 14 2 2 2 x  y  z  在点(1 , 2 , 3) 处的切 平面及法线方程. 解: 令 ( , , ) 14 2 2 2 F x y z  x  y  z  所以球面在点 (1 , 2 , 3) 处有: 切平面方程 2(x 1) 即 x  2y  3z 14  0 法线方程 1 2  3    x  y z  4( y  2)  6(z  3)  0 1 2 3 法向量 n  (2 x, 2 y, 2 z) (2, 4, 6) (1, 2,3) n  即 1 2 3 x y z   (可见法线经过原点，即球心)

内容小结 1.空间曲线的切线与法平面 x=p(t) 空间光滑曲线 r:y=w(t) z=@(t) 切向量 T=(0'(t0),y'(to),0'(t0) 切线方程 x-x0=y-y0= 2-20 p'(to)v'(to) @'(to) 法平面方程 (to)(x-xo)+'(to)(y-Yo)+@'(to)(=-z0)=0 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 1. 空间曲线的切线与法平面 切线方程 0 0 0 x x y y z  z     法平面方程 ( )( ) 0 0  t x  x        ( ) ( ) ( ) : z t y t x t    空间光滑曲线  切向量 内容小结 ( ) 0  t ( ) 0  t ( ) 0  t ( )( ) 0 0  t y  y ( )( ) 0  t0 z  z0  ( ( ), ( ), ( )) 0 0 0 T   t  t  t

2.曲面的切平面与法线 空间光滑曲面∑：F(x,y,z)=0 曲面∑在点M(x,y,二)的法向量 n=(F(x0,y0,0),F,(x0,y0,20),F(x0,0,20) 切平面方程 Fx(x0,0,0)(x-x0)+Fy(x0,y0,20)(y-0) +F(x0,y0,20)(2-20)=0 法线方程 x-x0 y-Yo 2-20 Fx(x0,y0,20) Fv(x0,y0,20)F≥(x0,J0,20） BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 空间光滑曲面  : F(x, y,z)  0 曲面  在点 法线方程 ( , , ) 0 0 0 0 F x y z x x x  ( , , ) 0 0 0 0 F x y z y y y   ( , , ) 0 0 0 0 F x y z z z z   ( , , )( ) ( , , )( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 F x y z x x F x y z y y x   y  M0 (x0 , y0 ,z0 ) 的法向量 ( , , )( ) 0  Fz x0 y0 z0 z  z0  切平面方程 2. 曲面的切平面与法线 ( ( , , ), ( , , ), ( , , )) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 n F x y z F x y z F x y z  x y z