北京邮电大学出版社：21世纪高等学校规划教材《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第5章 定积分 第4节 定积分的换元积分法和分部积分法

第4为 第五章 定积分的换无积分法和 分部积分法 不定积分 换元积分法 换元积分法 → 定积分 分部积分法 分部积分法 一、定积分的换元积分法 二、定积分的分部积分法 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上页 下页返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 二、定积分的分部积分法 第4节 不定积分 一、定积分的换元积分法 换元积分法 分部积分法 定积分 换元积分法 分部积分法 定积分的换元积分法和 分部积分法 第五章

一、定积分的换元积分法 定理 设函数f(x)∈CLa,b],单值函数x=p(t)满足： 1)p(t)∈C[c,β]，p(a)=a,p(β)=b, 2)在[a,B]上a≤o(t)≤b, 则 fxx=f[p]9d 证：所证等式两边被积函数都连续，因此积分都存在， 且它们的原函数也存在.设F(x)是f(x)的一个原函数， 则F[p(t)]是f[p(t)]0(t)的原函数，因此有 ["f(x)dx=F(b)-F(a)=FLp(B)]-FIp(a)] =[fIo()]odt BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 一、定积分的换元积分法 定理 设函数 单值函数 满足: 1) ( ) [ , ], 1  t C   2) 在 [ , ] 上 ()  a,()  b; (t) (t) 证: 所证等式两边被积函数都连续, 因此积分都存在 , 且它们的原函数也存在 . 则 是 的原函数 , 因此有  F(b)  F(a)  F[()]  F[()] (t) (t) (t) (t) (t) 则

心fxdx=fIou]p'u)d 说明： 1)当B<a,即区间换为[B,]时，定理仍成立 2)必需注意换元必换限，原函数中的变量不必代回. 3)换元公式也可反过来使用，即 几oupu)d1=∫f)dx(令x=o) 或配元 ∫fLo(t)12'ud=「fLpt)]dp(t) 配元不换限 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 说明: 1) 当 <  , 即区间换为 [ ,]时， 定理仍成立. 2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 . 3) 换元公式也可反过来使用 , 即 f x x (令x (t)) b a ( )d   或配元 (t) d(t) 配元不换限 (t) (t) (t) (t) (t) (t)

例s.4.1计算a2-x2dr(a>0) 解：令x=asint,.则dx=acostdt,且 当x=0时，t=0;x=a时，t=5 原式=a2j。cos2tdr y[y=va2-x2 号n,w28y a BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例5.4.1 计算 解: 令 x  asint, 则 dx  acost dt , 当x  0时, t  0; , . 2 π x  a 时 t  ∴ 原式 = 2 a t t a (1 cos 2 )d 2 2 π 0 2    sin 2 ) 2 1 ( 2 2 t t a   0 2 π  2 π 0 cos t dt 2 O 2 2 y  a  x x y a 且

例5.4.5设f(x)eC[-a,a 偶倍奇零 ()若f(-x0)=fx),则f(x)d=20f(x)d (2)若f(-)=-f(x),则f(x)dx=0 证： [f()dx=()dx+f)dx =0f(-0d1+J0fx)d 令x=-1 =∫0f(-x)+fx)]d 20f(x)d,f(-x)=fx)时 0 f(-x)=-f(x)时 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 例5.4.5 证: (1) 若     a a a f x x f x x 0 则 ( )d 2 ( )d   f x x a a ( )d (2) 若 ( )d  0  a a 则 f x x f x x a ( )d 0  f x x a ( )d 0   f t t a ( )d 0    f x x a ( )d 0   f x f x x a [ ( ) ( )]d 0     f (x)  f (x)时 f (x)   f (x)时 偶倍奇零 令x  t 

二、定积分的分部积分法 定理设u(x),v(x)在区间a,b]上具有连续的导数， e9Wt=ww8aea 证：[u(x)v(x)]Y=u(x)r(x)+(x)v'(x) 两端在[a,b]上积分 ueu2-aiNmds+uatea "[u(x)v(x)dx =u(x)v(x) -rooos BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 二、定积分的分部积分法 定理 设u(x), v(x)在区间[a, b]上具有连续的导数, a b 证:  [u(x)v(x)]  u (x)v(x)  u(x)v (x) u(x)v(x) a b u x v x x u x v x x b a b a  ( ) ( )d  ( ) ( )d    u(x)v(x) a b    b a u (x) v(x)dx 两端在[a,b]上积分

例5.4.9 计算厂aresin 解：原式=x arcsinx -庐w 子-0-ya0-y - 0 2x5-1 8 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例5.4.9 计算 解: 原式 = x arcsin x 0 2 1   2 1 0 x x x d 1 2  4 π 2 1   (1 ) d (1 ) 2 1 2 0 2 2 1 2 1   x  x   8 2 π  2 1 (1 ) 2   x 0 2 1 1. 2 2 8 2 π   

例54.12证明1n=sin”xdr=cos”xdr …5 n-2 n为偶数 n 阳…， n为奇数 证：令t=-x,则 sn”xd=-月sin™（贤-di=cos”xdx 令u=sin"-x,y'=sinx,则u=(n-1)sin-2 xcoS x, -sws2-时月ne2g V=-COS X BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束   2 π 0 cos t dt n   2 π 0 cos xdx n 例5.4.12 证明 证: 令 , 2 π 2 1 4 3 2 1 3       n n  n n  n 为偶数 n 为奇数 , 2 π t   x 则  2 π 0 sin xdx n     0 2 π 2 π sin ( t)dt n 令 则 ( 1)sin cos , 2 u n x x n    v  cos x [ cos sin ] 1 I x x n n      0 2 π     2 π 0 2 2 (n 1) sin x cos xdx n 0

In =(n-1sin"-2 xcos2xdx =(n-Dsin"-2x(1-sin2 x)dx =(n-1)1m-2-(n-1)1m ln=月sin”xdx 由此得递推公式1n="m1n-2 于是 1m=2m3m…21 2m 2m-2 12m1=2 洲子…1 而 1,=月dk=子，1=月sind=l 故所证结论成立 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束     2 π 0 2 2 I (n 1) sin x cos xdx n n     2  π 0 2 2 (n 1) sin x (1 sin x)dx n 2 ( 1)   n n I 由此得递推公式 2 1    n n n n I I 于是 I 2m  m m 2 2 1 I 2m1  2 1 2 m m 而 I 0   2 π 0 dx , 2 π    2 π 0 I 1 sin xdx 1 故所证结论成立 . 0 I 1 I 2 2  m I 2 2 2 3   m m 2 4  m I   2 1 4 3 2 1  m I 2 1 2 2   m m 2 3  m I    3 2 5 4

内容小结 换元积分法 换元必换限 基本积分法 配元不换限 分部积分法 边积边代限 思考与练习 1.&an(e-0d=smwx 提示：令u=x-t,则 sin(x-）di=-J八sin"dza BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 基本积分法 换元积分法 分部积分法 换元必换限 配元不换限 边积边代限 思考与练习 1. 提示: 令 u  x t, sin ( ) d ________ d d 0 100    x t t x x 则 x t t x sin ( ) d 0 100   u 100 sinx 100 sin