北京邮电大学出版社：21世纪高等学校规划教材《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第2章 导数与微分 第3节 复合函数的求导法则

第3节 第二章 复合离数的求导法则 复合函数的求导法则 二、反函数的导数 三、基本求导公式和求导法则 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 第3节 二、反函数的导数 一、复合函数的求导法则 三、基本求导公式和求导法则 复合函数的求导法则 第二章

一、复合函数的求导法则 定理1u=p(x)在点x可导，y=f(u)在点u=p(x) 可导>复合函数y=f[p(x]在点x可导，且 dy=f'(u)9(x)= dy du d du dx 证：y=f(w)在点u可导，故1im A)f"(u) △u→0△u ∴.△y=f'(u)△u+a(△u)△u(当△u→0时a→0) 故有 品-fw*aw (△x≠0) △x dy lim =f'(u)0'(x〉 dx BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 在点 x 可导,        lim x 0 x u u x u f u       ( ) ( ) x y x y x      0 lim d d 一、复合函数的求导法则 定理1 u  (x) y  f (u) 在点 u  (x) 可导 复合函数 y  f [(x)] 且 x u u y f u x x y d d d d ( ) '( ) d d      在点 x 可导, 证:  y  f (u) 在点 u 可导, 故 lim ( ) 0 f u u y u       y  f (u)u (u)u（当 u  0 时  0 ) 故有  f (u)'(x) u y    f (u)  ( ) ( ) (  0)           x x u u x u f u x y 

推广：此法则可推广到任意由有限个可导函数复 合而成的函数 例如，y=f(uw),u=p(v),v=(x) dy dy du dv dx du dv dx =f'(u)·p'(v)w(x) X 关键：搞清复合函数结构，由外向内逐层求导 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 例如, y  f (u) , u  (v) , v (x)  x y d d  f (u) (v)(x) y u v x  u y d d  v u d d x v d d 关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导. 推广：此法则可推广到任意由有限个可导函数复 合而成的函数

例2.3.1设y=3sin5x,求y 解：y=3sinu,u=5x, dydy du 3cosu.5=15cosu =15cos5x. dx du dx BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 下返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 例2.3.1 设 y  3sin 5x , 求 y' . 解: y  3sin u,u  5x; 3cos 5 15cos 15cos5 . d d d d d d ' u u x x u u y x y y       

例2.3.5设y=1-3x3,求y. 解：y=1-3y-0-3x=0-3x)0-3xy 0-3x)(9x）=- 3x2 /1-3x3)2 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上负 下负返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 例2.3.5 设 1 3 , 3 3 y   x 求 y' . 解: (1 3 ) (1 3 )' 3 1 ' ( 1 3 )' [(1 3 ) ]' 3 3 2 3 3 1 3 3 3 y   x   x   x  x  . (1 3 ) 3 (1 3 ) ( 9 ) 3 1 3 3 2 2 3 2 2 3 x x x x       

二、反函数的导数 定理2（反函数的求导法则 若单调连续函数x=p(y) 在点处可导，且p'(y)≠0，则它的反函数y=x)在 对应点x处可导，且有 f'(x)= 或 p'(y) d x dx 定理表明，反函数的导数等于直接函数导数的倒数 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 '( ) ( ) y f x  1   二、反函数的导数 . d d d d y x x y 1 或  定理2(反函数的求导法则) 若单调连续函数 在点y处可导，且 ，则它的反函数y＝f(x)在 对应点x处可导，且有 x ( y) '( y)  0 定理表明，反函数的导数等于直接函数导数的倒数．

例.求反三角函数的导数 解：设y=cm,则x=sny.ye-子》 . cosy>0,则 (arcsin x)= 1 (sin y)' cos y v1-sin2 y /1-x2 利用 元 (arccosx)=- arccosx= arcsin x 1-x2 2 类似可求得 (arctan x)'= 1+x2 arccotx)'=- 1+x2 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 1  例. 求反三角函数的导数. 解: 设 y  arcsin x , 则 x  sin y , ) , 2 π , 2 π y ( (arcsin x) (sin y) cos y 1  y 2 1 sin 1   2 1 1 x  类似可求得 (arccos x)  ? , 1 1 (arctan ) 2 x x    2 1 1 (arccot ) x x     2 1 1 x  x arcsin x 2 π arccos   利用  cos y  0 , 则

小结： (aresin) （(arceos)=-万- (arctan x)= 3 1 (arccotx)=-1+x2 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 自录上页 下负返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 ( arcsin x)  2 1 1 x ( arccos x)  2 1 1 x  ( arctan x)  2 1 1  x ( arc cot x)  2 1 1  x  小结:

三、基本求导公式和求导法则 1.常用初等函数的导数 (C)y=0 (x“)/=4x- (sinx)'=cosx (cosx)'=-sinx (tanx)'sec2 x (cotx)'=-csc2 x (secx)'= secxtan x (cscx)'=-cscxcot x (ax)'=axIna (e*)'=e* (loga x)'= xlna (Inx)'= (arcsinx)= (arccosx)'=- V1-x2 (arctan x)=x (arccotx)'=-1 +x2 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 三、基本求导公式和求导法则 1. 常用初等函数的导数 (C)  0 ( )  x 1  x (sin x)  cos x (cos x)   sin x (tan x)  x 2 sec (cot x)  x 2  csc (sec x)  sec x tan x (csc x)   csc x cot x ( )  x a a a x ln (e )  x x e (loga x)  x ln a 1 (ln x)  x 1 (arcsin x)  2 1 1 x (arccos x)  2 1 1 x  (arctan x)  2 1 1  x (arccot x)  2 1 1  x 

2.函数和、差、积、商的求导法则 (u±v)'=W士v (Cu)'=C(C为常数) (uv)'u'v+uv' ()=四 (v≠0) 3.复合函数的求导法则 y=f(u),u=p(x) dy dy. dx du =f'(u）)p'(x) 4.反函数求导法则 @(r) 或 d x dx BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 2. 函数和、差、积、商的求导法则 (u  v)  u   v  (Cu)  Cu  (uv)  u  v  uv      v u 2 v u  v  uv  ( C为常数 ) (v  0) 3. 复合函数的求导法则 y  f (u) , u  (x)  x y d d  f (u)(x) 4. 反函数求导法则 u y d d x u d d  '( ) ( ) y f x  1   . d d d d y x x y 1 或 