北京邮电大学出版社：21世纪高等学校规划教材《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第1章 函数、极限与连续 第1节 初等函数

第7章 菡数、极限与连续 函数一 研究对象 分析基础 极限一 研究方法 连续一研究桥梁 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS

第1章 分析基础 函数 极限 连续 — 研究对象 — 研究方法 — 研究桥梁 函数、极限与连续

第1章 第1节 初等画教 一、 邻域 二、函数的概念 三、函数的简单性质 四、反函数与复合函数 五、初等函数 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 第1章 二、函数的概念 三、函数的简单性质 一、邻域 第1节 初等函数 四、反函数与复合函数 五、初等函数

一、 邻域 设a,δ∈R,且δ>0，称数集 {xx-ak为点a的 δ邻域，记为U(a,δ)，即 U(a,δ)={xlx-akδ} 由于|x-akδ相当于a一d<x<a十δ，故U(a,)是 以a为中心，δ为半径的开区间.通常称点a为该邻 域的中心，δ称为该邻域的半径. o+6 为了方便，称开区间(a一δ，a)为a的左δ邻域，称开 区间(a,a十δ)为a的右δ邻域. BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 束

目录 上页 下页 返回 结束 一、邻域 设a，δ∈R，且δ>0，称数集 为点a的 δ邻域，记为U(a，δ)，即 x x a || |    U a x x a ( , ) || |        由于 相当于 a－δ<x<a＋δ，故U(a，δ)是 以a为中心，δ为半径的开区间．通常称点a为该邻 域的中心，δ称为该邻域的半径. | | x a    为了方便，称开区间(a－δ，a)为a的左δ邻域，称开 区间(a，a＋δ)为a的右δ邻域

二、函数的概念 定义设x和y是两个变量，D是一个给定的数 集.如果对于每一个x∈D,变量y按照一定的法则 (或关系)总有唯一确定的数值与它对应，则称是x 的函数，记为y=x).x称为自变量，y称为因变量 (或函数)，数集D称为这个函数的定义域，而因变 量y的变化范围称为函数fx)的值域 函数的对应法是多种多样的，但一般表示一个函数 主要采用解析法、表格法和图示法，这3种方法在 中学都已经比较熟悉了.在高等数学中还常常用到 分段函数，即用几个式子分段来表示一个函数 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回

目录 上页 下页 返回 结束 二、函数的概念 定义 设x和y是两个变量，D是一个给定的数 集．如果对于每一个x∈D，变量y按照一定的法则 (或关系)总有唯一确定的数值与它对应，则称y是x 的函数，记为y＝f(x)．x称为自变量，y称为因变量 (或函数)，数集D称为这个函数的定义域，而因变 量y的变化范围称为函数f(x)的值域． 函数的对应法是多种多样的，但一般表示一个函数 主要采用解析法、表格法和图示法，这3种方法在 中学都已经比较熟悉了．在高等数学中还常常用到 分段函数，即用几个式子分段来表示一个函数．

例1.1.3 函数4,0=0 (a∈R),其定义域 , t>a 为(-o,aU(a,+o, 值域为0,1}.此函数在电 子技术中经常遇到，称为单位阶跃函数.这种用两 个以上解析式表示的函数称为分段函数.该函数的 图形如下图所示 u(t) 4(t) 1 (a) (b) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上页 下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例1.1.3 函数 (a∈R)，其定义域 为(－∞，a)∪(a，＋∞)，值域为{0,1}．此函数在电 子技术中经常遇到，称为单位阶跃函数．这种用两 个以上解析式表示的函数称为分段函数．该函数的 图形如下图所示． 0, , ( ) 1, a t a u t t a      

三、函数的简单性质 设函数y=f(x),x∈D,且有区间IcD 1.单调性 V,x2∈1，x1f(x2),称f(x)为I上的 Ol x x2 x 则称(x)无界.单调减函数 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 三、函数的简单性质 设函数 y  f (x) , xD , 且有区间 I  D . 1.单调性 若对任意正数 M , 均存在 x  D, 使 f (x)  M, 则称 f ( x ) 无界. 称 为有上界 称 为有下界  , f (x)  M,  , M  f (x), x1 , x2  I, x 当 1  x2时， ( ) ( ), 1 2 若 f x  f x 称 f (x) 为 I 上的 ( ) ( ), 1 2 若 f x  f x 称 f (x) 为 I 上的 单调增函数 ; 单调减函数 . 1 x 2 x x y O

2.奇偶性 Vx∈D,且有-x∈D 若f(-x)=f(x),则称f(x)为偶函数； 若f(-x)=-f(x),则称f(x)为奇函数 xx 说明：若∫(x)在x=0有定义，则当 f(x)为奇函数时，必有f(0)=0. 例如， y=f(x)= chx 偶函数 2 chx 双曲余弦 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 2.奇偶性 xD, 且有  xD, 若 则称 f (x) 为偶函数; 若 则称 f (x) 为奇函数. 说明: 若 f (x) 在 x = 0 有定义 , f (x) 为奇函数时, f (0)  0. x y  x O x 则当 必有 例如, 2 e e ( ) x x y f x      ch x 偶函数 x y O x e x e y  ch x 双曲余弦 记

又如，y=f(x)= ex-e-x 奇函数 e 2 y shx 记 shx 双曲正弦 x sh x ex-ex 再如，y= 奇函数 ch x ex+e-x thx 双曲正切 th x X 说明：给定f(x),x∈(-1，) 则f(x)= f(x)+f(-x)f(x)-f(-x) 2 2 偶函数 奇函数 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 又如, 奇函数  sh x 双曲正弦 记 再如, x x y ch sh  奇函数  th x 双曲正切 记 说明: 给定 f (x), x(l, l) 则 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) f x f x f x f x f x       偶函数 奇函数 O y x 1 1 y  th x x y O x e x e 2 y  sh x e e ( ) x x y f x     x x x x      e e e e

3.周期性 Vx∈D,3l>0,且x±l∈D,若 f(x±)=f(x) 则称(x)为周期函数，称1为周期（一般指最小正周期） f(t) 二2元元 2π-兀 0 兀2元 0 周期为π 周期为2π 注：周期函数不一定存在最小正周期 例如，常量函数f(x)=C 秋利克雷函数)=了) x为有理数 x为无理数 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 束

目录 上页 下页 返回 结束 3.周期性 xD, l  0, 且 x  l D, 则称 f (x) 为周期函数 , 2 π π O π π x y  2 若 称 l 为周期 ( 一般指最小正周期 ). 周期为  周期为 注: 周期函数不一定存在最小正周期 . 例如, 常量函数 f (x)  C 狄利克雷函数 x 为有理数 x 为无理数 1, 0

4.有界性 Vx∈D,3M>0,使f(x)≤M,称f(x)为有界函数 Vx∈I,3M>0,使f(x)≤M,称f(x)在I上有界 说明：还可定义有上界、有下界、无界 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 4.有界性  x  D, M  0, 使 f (x)  M , 称 f (x)  x  I , M  0, 使 f (x)  M , 称 f (x) 说明: 还可定义有上界、有下界、无界. 为有界函数. 在 I 上有界