北京邮电大学出版社：21世纪高等学校规划教材《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第1章 函数、极限与连续 第5节 极限的运算法则

第一章 第5节 极限的运算法则 一、 无穷小的运算定理 二、 极限的四则运算法则 三、复合函数求极限的法则 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 第一章 二、 极限的四则运算法则 三、 复合函数求极限的法则 一 、无穷小的运算定理 第5节 极限的运算法则

一、无穷小的运算定理 定理1(1)有限个无穷小的和是无穷小 lim y(x)=0, x->x0 证：考虑三个无穷小的和.设1ima(x)=0,imP(x)=0 x-→X0 x->x0 V6>0,3δ>0，当00，当00，当0<x-x<d时，有|6号 令6=mim{8,ò2，δ2则当0<x-x0<6时，有 a+B+Y≤a++y<号+号+号=8 因此im(a+阝+y)=0. 这说明当x→x时，+B+y为无穷小量 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上页下页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束   min  1 ,  2 ,  3 , 时, 有 一、 无穷小的运算定理 定理1 (1)有限个无穷小的和是无穷小 . 证: 考虑三个无穷小的和 . 设   0, 当 时 , 有 当 时 , 有 令 则当 0  x  x0             3 3 3         因此 这说明当 时, 为无穷小量 . 当 时 , 有

类似可证：有限个无穷小之和仍为无穷小 说明：无限个无穷小之和不一定是无穷小！ 例如， BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 ! 例如，              π 1 2 π 1 π 1 lim 2 2 2 n n n n n n  1 类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小

定理1(2)有界函数与无穷小的乘积是无穷小 证：设Vx∈U(xo,6),a(x)≤M 又设1m(x)=0,即Vε>0,3δ2>0，当x∈U(x0,δ2) x→X0 时，有(x)≤ 取δ=min{δ1，δ2}，则当x∈U(x,δ)时，就有 u(x)a(x)<M·是=e 故1imu(x)c(x)=0,即u(x)(x)是x→xo时的无穷小， 推论(1)常数与无穷小量的乘积是无穷小 (2)有限个无穷小量的乘积是无穷小 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 定理1 (2) 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 证: 设 u(x)  M 又设 lim ( ) 0, 0   x x x  即   0, 当 时, 有 M x  ( )  取 min , ,    1  2 则当 ( , ) x U x0    时 , 就有 u(x)(x)      M M 故 即 是 时的无穷小 . 推论 (1) 常数与无穷小量的乘积是无穷小 . (2) 有限个无穷小量的乘积是无穷小

二、极限的四则运算法则 定理2(1)若1imf(x)=A,l1img(x)=B,则有 lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±B 证：因limf(x)=A,limg(x)=B,则有 f(x)=A+C(x),8(x)=B+(x) (其中a(x),B(x)为无穷小) 于是 f(x)±8(x)=(A+(x)士(B+B(x)) =(A士B)+(C(x)±B(x)) 由定理1可知(x)±(x)也是无穷小，再利用极限与无穷小 的关系定理，知定理结论成立 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 二、 极限的四则运算法则 lim f (x)  A, limg(x)  B , 则有 证: 因 lim f (x)  A, limg(x)  B , 则有 f (x)  A(x) , g(x)  B  (x) (其中 (x) , (x) 为无穷小) 于是 f (x)  g(x)  (A(x))  (B  (x))  (A B)  ((x)  (x)) 由定理 1 可知 (x)  (x) 也是无穷小, 再利用极限与无穷小 的关系定理 , 知定理结论成立 . 定理2 (1)若

定理2(2)若limf(x)=A,limg(x)=B,则有 lim[f(x)g(x)]=lim f(x)limg(x)=AB 提示：利用极限与无穷小关系定理证明 说明：定理2(2)可推广到有限个函数相乘的情形 推论(1)lim[Cf(x)]=Clim f(x) (C为常数) (2)lim[f(x)]"=[limf(x)]" (n为正整数) 例.设n次多项式Pn(x)=a0+ax+…+anx”,试证 lim P (x)=P,(xo). x今X0 证：lim P.(x)=ao+a1limx++an lim x” x-→X0 x→x0 B,(xo) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 定理2 (2)若 lim f (x)  A, limg(x)  B , 则有 提示: 利用极限与无穷小关系定理证明 . 说明: 定理2 (2)可推广到有限个函数相乘的情形. 推论 (1) lim[C f (x)]  Clim f (x) ( C 为常数 ) (2) n n lim[ f (x)]  [lim f (x)] ( n 为正整数 ) 例. 设 n 次多项式 试证 lim ( ) ( ). 0 0 P x P x n n x x   证:   lim ( ) 0 P x n x x

定理2(3)若1imf(x)=A,limg(x)=B,且B≠0，则有 lim f(x) lim f(x) A g(x) limg(x) B 证：因limf(x)=A,limg(x)=B,有 f(x)=A+a(x),g(x)=B+Bx),其中a(x),x)为无穷小 设y= f(x)AA+a(x)A BC(x)-AB(x)》 8(x)B B+B(x B B(B+B(x)) 无穷小 有界 因此y为无穷小， f()-A+y g(x) B 由极限与无穷小关系定理，得lim (x) A lim f(x) g(x)B limg(x) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 为无穷小 (详见书P44) B 2  B   1 ( ) 1 g x  ( ) 0 x U x   定理2 (3)若 lim f (x)  A, limg(x)  B , 且 B≠0 , 则有 证: 因 lim f (x)  A, limg(x)  B , 有 f (x)  A(x) , g(x)  B  (x) , 其中 (x) , (x) 设 B A B x A x     ( ) ( )   ( ( )) 1 B B   x  (B(x)  A(x)) 无穷小 有界 由极限与无穷小关系定理 , 得   B A g x f x ( ) ( ) 因此  为无穷小

6x4-7x3+2 例1.5.5求极限im x-→00 2x4+6x2-1 解：当x→∞时，分别考察分子和分母，均没有极 限，所以无法使用极限的四则运算法则.可将 分子分母同时除以x4 2 lim 6x4-7x3+2 1im(6 X x→00 00 2x4+6x2-1 6 im(2+ 6 x x→00 二 =3. BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例1.5.5 求极限 解: 当x→∞时，分别考察分子和分母，均没有极 限，所以无法使用极限的四则运算法则. 可将 分子分母同时除以x 4

例1.5.8求1im sin x X→00 x sinx X 解：sinx≤l 1im1=0 x→0X sinx 利用定理2可知 lim =0. X→00 X sin x 说明：y=0是y= 的渐近线 X BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例1.5.8 求 解: 0 1 lim  x x 利用定理 2 可知 说明 : y = 0 是 的渐近线 . x x y sin 

三、复合函数求极限的法则 定理3设m(x)=4,且x满足00,37>0,当00,38>0，当 x→ 0<x-x<时，有px)-4<7 取δ=mn{6,δ}，则当0<x-xo<δ时 0<0(x)-4=u-4<7 故 f[p(x)]-A=f(4)-A<8,因此①式成立 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 三、复合函数求极限的法则 定理3 设 且 x 满足 时, ( ) , 0  x  u 又 则有 证:   0,   0, 当 0  u u0  时, 有 f (u)  A   0,  1  当 0   0   1 x x 时, 有 (x) u0  对上述 取 min  , ,    0  1 则当 0  x  x0   时 0 (x) u  u u0  故 0   f (u)  A   , ① 因此①式成立