北京邮电大学出版社：21世纪高等学校规划教材《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第1章 函数、极限与连续 第3节 函数的极限

第3为 第一章 益数的极限 对y=f(x),自变量变化过程的六种形式 () x→00 (4)x→x0 (2)x→+0 (5)x→x0 (3)x→-0 (6)x→x0 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 第一章 第3节 自变量变化过程的六种形式: 函数的极限

第3节 第一章 益数的极限 一、x→o时函数的极限 二、x→x时函数的极限 三、函数极限的性质 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 第一章 第3节 函数的极限 一、x→∞时函数的极限 二、x→x0时函数的极限 三、函数极限的性质

一、x→∞时函数的极限 定义1设函数f(x)当x大于某一正数时有定义，若 >0,3X>0,当x>X时，有f(x)-AA(当x>o) X→00 xX A-8<f(x)<A+8 几何解释： =f(x) 二8 X 直线y=A为曲线y=f(x)的水平渐近线 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上页 下页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束  X X A  A O x y y  f (x) A 定义1 设函数 大于某一正数时有定义, 若 X  0, 则称常数 时的极限, f x A x   lim ( ) 几何解释: x  X 或x  X A  f (x)  A 记作 直线 y = A 为曲线 的水平渐近线 .   0, A 为函数 一、x→∞时函数的极限

例1.3.1用定义证明 lim-=0. x->ooX Y= 证： X X 故Vs>0,欲使 -0 取X=上，当x>X时，就有 0 <8 因此 1im=0 x→00X 注：y=0为y=的水平渐近线. X BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例1.3.1 用定义证明 0. 1 lim  x x 证: 0 1  x x 1  取 , 1  X  因此 注: 就有 故   0, 欲使 只要 O x y x y 1 

两种特殊情况： 1imf(x)=A二V8>0,3X>0,当x>X时，有 X>+00 f(x)-AKε 1imf(x)=A二8>0,3X>0,当x<-X时，有 f(x)-A<8 几何意义：直线y=A仍是曲线y=f(x)的渐近线 例如，= g)=1-X y+2 都有水平渐近线y=0, 又如，f(x)=1-2x,g(x)=1+2x 都有水平渐近线y=1. BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回 结

目录 上页 下页 返回 结束 x 1 1 x 1 直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 . 两种特殊情况 : f x A x   lim ( )   0, X  0, 当 时, 有 f (x)  A     0, X  0, 当 x  X 时, 有 f (x)  A   几何意义 : 例如， 都有水平渐近线 y  0; 都有水平渐近线 y 1. 又如

二、x→x时函数的极限 引例.测量正方形面积（真值：边长为x;面积为A) 直接观测值 确定直接观测值精度δ： 边长x |x-xo<δ 间接观测值 任给精度6，要求x2-A< 面积x2 A Xo BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 二、x→x0时函数的极限 引例. 测量正方形面积. (真值: 边长为 面积为A ) 边长 面积 直接观测值 间接观测值 任给精度  , 要求 x  A   2 确定直接观测值精度  : x  x0   0 A x

定义2设函数f(x)在点x的某去心邻域内有定义， 若Ve>0,3δ>0，当0x,时的极限，记作 limf(x)=A或f(x)→A(当x→xo)） x→x0 即 1imf(x)=A=Vε>0,3δ>0，当x∈U(xo,δ） x→x0 时，有f(x)-A<8 几何解释： y=f(x) A+8 这表明： 4- 极限存在 函数局部有界 0 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 定义2 设函数 在点 的某去心邻域内有定义 ,   0,   0, 当 0  x  x0   时, 有 f (x)  A   则称常数 A 为函数 当 时的极限, f x A x x   lim ( ) 0 或 即 当 时, 有 若 记作 极限存在 函数局部有界 A   这表明: A   几何解释: O A x0 x y y  f (x)

例1.3.2证明：1imC=C(C为常数) x→X0 证： |f(x)-A=C-C=0 故Vε>0，对任意的δ>0，当0<x-<8时， 总有 C-C=0<8 所以 lim C=C x→X0 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例1.3.2 证明: 证: f (x)  A 故   0, 对任意的   0, 当 时 , 所以 总有

例1.3.4证明：当x>0时1imVx=Vxo x→X0 -A=水-0= x-xo 证： x-X0 V8>0,欲使f(x)-A<6,只要x-x0<V8,且 x≥0.而x≥0可用x-x0≤x0保证.故取 δ=mm{&,√玉c},则当0<x-x<δ时，必有 vx-vxo <8 所以 lim√x=√x xXo X-→X0 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页 返回 结

目录 上页 下页 返回 结束 例1.3.4 证明: 当 证: 0 0 1 x x x     0, 欲使 且 而 可用 所以 只要 0 0 lim x x x x   时 故取 min  , , 0 0   x x  则当 0  x  x0   时, 保证 . 必有 O x 0 x x

三、函数极限的性质 定理1（唯一性）如果mf(x)存在，则极限是唯 的 定理2（有界性） 如果1imf(x)=A,则存在常数 Mf0和>0，使得当0<x-x<时， 有f(x)sM BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 三、函数极限的性质 定理1(唯一性) 如果 存在，则极限是唯一 的. 0  x  x0   定理2(有界性) 如果 则存在常数 M>0和δ>0，使得当 时， 有