北京邮电大学出版社：21世纪高等学校规划教材《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第1章 函数、极限与连续 第8节 函数的连续性

第一章 第8布 菡教的连疾性 函数的连续性 二 函数的间断点 三、 连续函数的和、差、积、商 的连续性 四、 反函数与复合函数的连续性 五、初等函数的连续性 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 二、 函数的间断点 一、 函数的连续性 第8节 函数的连续性 第一章 四、 反函数与复合函数的连续性 三、 连续函数的和、差、积、商 的连续性 五、 初等函数的连续性

一、函数的连续性 定义1设函数y=f(x)在x的某邻域内有定义，且 lim△y=0,则称函数f(x)在点x处连续 △x0 可见，函数(x)在点x0连续必须具备下列条件： (1)f(x)在点xo有定义，即f(xo)存在； (2) 极限limf(x)存在； X-→x0 (3) lim f(x)=f(xo). x→x0 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 可见 , 函数 在点 0 x 一、函数的连续性 定义1 在 的某邻域内有定义 , 则称函数 ( ) . f x 在点x0 处连续 (1) 在点 即 (2) 极限 (3) 设函数 连续必须具备下列条件: 存在 ; 且 有定义 , 存在 ;

定义2设函数y=f(x)在x,的某邻域内有定义，且 mf(x)=f(x,),则称函数f(x)在点x,处连续 定义3设函数y=f(x)在x,的某邻域内有定义， 如果V>0,38>0,当 x-x时5有 f(x)-f(x)<成立，则称函数x)在点x处连续 定义4若mf(x)=f(x),则称函数x)在点x处左 x→X0 连续；若mf(x)=f(x),则称函数x)在点x处右 连续 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 页 下 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 定义2 在 的某邻域内有定义 , 则称函数 ( ) . f x 在点x0 处连续 设函数 且 定义3 在 的某邻域内有定义 , 如果∀ε>0，∃δ>0，当 时，有 成立，则称函数f(x)在点x0处连续． 设函数 定义4 若 则称函数f(x)在点x0处左 连续；若 则称函数f(x)在点x0处右 连续

若f(x)在某区间上每一点都连续，则称它在该区间上 连续，或称它为该区间上的连续函数 在闭区间[a,b]上的连续函数的集合记作C[a,b] 例如，P(x)=ao+a1x+…+anx” (有理整函数) 在(-0，+∞)上连续 又如，有理分式函数R(x)= P(x) 2(x) 在其定义域内连续 只要Q(x)≠0，都有IimR(x)=R(xo） x→X0 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 页 下负 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 ( , ), lim ( ) ( ) continue 0 0 0 x P x P x x x        若 在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上 连续 , 或称它为该区间上的连续函数 . C[a, b]. 例如, 在 上连续 . ( 有理整函数 ) 又如, 有理分式函数 在其定义域内连续. 在闭区间 上的连续函数的集合记作 只要 ( ) 0, Q x0  都有 lim ( ) ( ) 0 0 R x R x x x  

对自变量的增量△x=x-x0, 有函数的增量 △y=f(x)-f(xo)=f(x0+△x)-f(xo） 函数f(x)在点x,连续有下列等价命题 lim f(x)=f(xo) limf(xo+△x)=f(xo) X→X0 △x->0 i0 yy=f(x =f(x0)=f(x)=f(x) 左连续 右连续 Xx =V>0,3δ>0，当x-x=△x<8时，有 f(x)-f()=△y<8 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 对自变量的增量 有函数的增量 y  f (x) O x y 0 x x x y lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x   lim ( ) ( ) 0 0 0 f x x f x x      lim 0 0     y x ( ) ( ) ( ) 0 0 0   f x  f x  f x 左连续 右连续   0,   0, 当 x  x0  x   时, 有 f (x)  f (x )  y   0 函数 在点 连续有下列等价命题:

二、 函数的间断点 设f(x)在点x的某去心邻域内有定义，则下列情形 之一，函数f(x)在点x不连续： (1)函数f(x)在x无定义： (2)函数f(x)在x虽有定义，但imf(x)不存在 x→X0 (3)函数f(x)在x。虽有定义，且1imf(x)存在，但 x今X0 limf(x)≠f(xo) x→Xo 这样的点x,称为间断点. BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 在 在 二、 函数的间断点 (1) 函数 (2) 函数 不存在; (3) 函数 存在 , 但 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x   不连续 : 设 在点 的某去心邻域内有定义 , 则下列情形 这样的点 之一, 函数 f (x) 在点 虽有定义 , 但 虽有定义 , 且 称为间断点 . 在 无定义 ;

间断点分类： 第一类间断点： f(x)及f(x,)均存在 若f(x,)=f(x),称x为可去间断点 若f(x,)≠f(x,),称x,为跳跃间断点 第二类间断点： f(x)及f(x)中至少一个不存在 若其中有一个为0，称x,为无穷间断点 若其中有一个为振荡，称x,为振荡间断点 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上页 下页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 间断点分类: 第一类间断点: 及 均存在 , 若 称 0 x 若 称 0 x 第二类间断点: 及 中至少一个不存在 , 称 0 x 若其中有一个为振荡, 称 0 x 若其中有一个为 , 为可去间断点 . 为跳跃间断点 . 为无穷间断点 . 为振荡间断点

例如： tan x (1)y=tanx x=2 为其无穷间断点. +2 (2)y=sin! 。1 sin X X x=0为其振荡间断点. X x2-1 (3)y= x-1 x=1为可去间断点 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 2 π x  为其无穷间断点 . x  0 为其振荡间断点 . x 1 为可去间断点 . 例如: y  tan x 2  x y O x y x y 1  sin O x y O 1

x,x≠1 ④y=f0=生，x=) 显然lmf(x)=1≠f(0) 112 x->1 x=1为其可去间断点. x-1,x0 f(0)=-1, f(0*)=1 x=O为其跳跃间断点 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 1 lim ( ) 1 (1) 1 f x f x    显然 x 1 为其可去间断点 .        , 1 , 1 ( ) 2 1 x x x (4) y f x O x y 2 1 1 (5)            1 , 0 0 , 0 1 , 0 ( ) x x x x x y f x x y O 1 1 (0 )  1,  f (0 ) 1  f x  0 为其跳跃间断点

三、连续函数的和、差、积、商的连续性 定理1设函数x)和g(x)在x处连续， 则x)士g(x), Ax)g(x), f0 (g(x)≠0)在x,连续 8(x) 证由条件知limf(x)=f(x),lmg(x)=g(x),根据 X→X X0 极限的四则运算规则，有 im[f(x)±g(x)】=limf(x)±limg(x)=f(x)±g(x,), x→X0 →X0 X→X0 所以几x)士gx)在点x,处连续.其他情形类似可证， 例如，sinx,cosx连续 tan x,cot x 在其定义域内连续 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 三、连续函数的和、差、积、商的连续性 定理1 设函数f(x)和g(x)在x0处连续，则f(x)±g(x)， f(x)g(x)， (g(x0 )≠0)在x0连续． ( ) ( ) g x f x lim [ ( ) ( )] lim ( ) lim ( ) ( ) ( ), 0 0 0 0 0 f x g x f x g x f x g x x x x x x x         证 由条件知 根据 极限的四则运算规则，有 lim ( ) ( ), lim ( ) ( ), 0 0 0 0 f x f x g x g x x x x x     所以f(x)±g(x)在点x0处连续．其他情形类似可证． 在其定义域内连续 例如